H thng bi tp gii tớch 12
(Phn 1)
Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:
Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x
0
đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x x
0
= 2
b) y =
x
1
x
0
= 2
c) y =
1
1
+

x
x
x
0
= 0
Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R)
a) y =
x

( )
43
2
+ xx
( )
352
23
+ xxx
2) y =
( ) ( ) ( )( )
45342312 ++++ xxxx
3) y =
( )
( )
3
2
23
12133 ++ xxxx
4) y =
( ) ( )
( )
3
2
44
342312 ++++ xxxx
5) y =
( ) ( ) ( )
432
321 +++ xxx
6) y =

1
12






−
+
+






−
+
x
x
x
x
10) y =
2
2
2
2
1
1

53
62
31
−−
−−
xx
xx
14) y =
xcosxsin
xcosxsin
+
−
15) y =
( )
[ ]
xsinsinsin
16) y =
( )
x
excos
x
xsin
x
−







2
3
xlnx
Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
1) y =
xln
x
2) y =
xcos
xsin
3) y =
x
x
2
2
1






+
4) y =
x
xx
xxx
xxx ++
5) y =
7

xcos1
1) XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i x = 0.
2) XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x) t¹i x = 0.
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) =
13
32
2
−
+−
x
xx
.
Chøng minh r»ng f(x) liªn tôc t¹i x = -3 nhng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x = -3.
Bµi5: Cho f(x) =
( )





≤+
>+
−
0x nÕu 1ax-x-
0x nÕu ex
2
x
1
. T×m a ®Ó ∃f'(0)
Bµi6: Cho f(x) =

xxx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài3: Cho f(x) =
107
942
24
23
+
+
xx
xxx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài4: Cho f(x) =
189
1153
24
2
+

xx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài5: Cho f(x) = cosx. Tính: f


Bài2: Cho y =
xsine
x
. CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x
2
y" = 0
Bài4: Cho f(x) = sin
3
2x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)
Bài5: Cho f(x) =
12
5
2
1
+x
; g(x) =
545 lnx
x
+
. Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)
Bài6: Cho y =
11
22
22
2
+++++ xxlnx
xx
CMR: 2y = xy' + lny'

2121
x
xx
lim
x
++

4)
xx
xsinx
lim
x
+
++

243
121
0
Khảo sát hàm số và các ứng dụng
3
I) Tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu:
Bài1: Tìm m để hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1)
Bài2: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(2m + 1)x

đồng biến trên R
Bài5: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(m - 1)x
2
+ 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng thoả
mãn: 1
x
2
2) Ph ơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:
Bài1: Cho phơng trình: x
2
- (m + 2)x + 5m + 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1.
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn:
x
> 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2.
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1).
Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x
2
- (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm (0;1)
Bài3: Tìm m để phơng trình:
( )
048369
222
222
=+
xxxxxx
m.m

có ít nhất một nghiệm
x
[ ]
3
31;

Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm:
1)
( ) ( )
( )
2321
2
=+ mxxxx
2)
( )
01242
234
=+++ mxxmmxx

Bài8: Tìm a để:
12
12
13
2
=


x
x
x






+
+

< 0 x
Bài12: Tìm m để
( )
xxxxxx
m.m

++
222
222
46129
0 nghiệm đúng với x thoả mãn:
2
1
x
Bài13: Tìm m để bất phơng trình:
3 xmx
m + 1 có nghiệm
3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng
trình, hệ bất ph ơng trình:
Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau:
1)
4259 +>+ xx


Bài3: Giải hệ bất phơng trình:
( )





>++
<
0953
3
1
0
23
2
2
2
2
xxx
xlogxlog

Bài4: Giải hệ phơng trình:








x
xe
n
x
++++>
2
1
2
x > 0; n N
*
3) 1 - x
x
e

1 - x +
2
2
x
x [0; 1]
5
4) 1 - x
x
e
x
+

1
2
1 - x +
( )

x
xx
3) y =
2
xx
ee

+
4) y = x
3
(1 - x)
2

Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
1) y = x
3
- 2ax
2
+ a
2
x 2) y = x - 1 +
1x
a

Bài3: Chứng minh rằng hàm số: y =
2
2
2
2
+

++
Bài2: Cho phơng trình: 12x
2
- 6mx + m
2
- 4 +
2
12
m
= 0
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S =
3
2
3
1
xx +

Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y =
a
b
b
a
a
b
b
a


Bài5: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Min của: S =
y
y
x
x

+
11
Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin
6
x + cos
6
x + asinx.cosx
IV) tiệp cận:
Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
6
1) y =
12
23
2
2
+
++
xx
xx
2) y =
1
1

2
+x

Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham số m)
1) y =
1
4
2
2
+

mxx
x
2) y =
32
2
2
+
+
mxx
x

Bài3: Cho (C): y =
( )
2
312
2

++++
x

+ 3x
2
- 4x + 3
5) y = -
3
3
x
- x
2
+ 3x - 4
Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = x
4
- 2x
2
2) y = -x
4
+ 2x
2
- 1
3) y = x
4
+
10
3
x
2
+ 1 4) y =
2
4

2) y =
1
2
x
x
3) y =
1
2
2
+
+
x
xx
4) y =
12
136
2
+
++
x
xx

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
3
5
3
1
4
1

5) y =
xx
xx
22
12
2
2

++
6) y = x +
12
2
+x

VI) phép biến đổi đồ thị:
Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =
1
1
2
+
+
x
xx
2) y =
2
92
2

+

x
x
7)
( )
21
2
+= xxxy
VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài1: Cho hàm số: y = x
3
- 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp
tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
xcosxx +++ 42
2
tại giao điểm của đờng cong
với trục tung.
Bài3: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1
a) Tìm m để (C
m
) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.

5
1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x
M
= a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C) là
nghiệm của phơng trình:
( )
( )
0632
22
2
=++ aaxxax
8
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =
( )
mx
mmxm
+
++
2
13
với trục Ox tiếp tuyến của (C)
song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.
Bài7: Cho (C) : y =
1
12


x
x

+
++
x
xx
1) Điểm M (C) với x
M
= m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t
m
) tại M.
2) Tìm m để (t
m
) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai
tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm cận
tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
trên (C).
2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
- 3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với đờng
thẳng: y =
3
1
x.
Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) =
2
4
x

Bài5: Cho đồ thị (C): y =
1
12
2

+
x
xx
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng
tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (C
m
): y = x
4
+ mx
2
- m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố định
của (C
m
) có hoành độ dơng.
Bài7: Cho đồ thị (C
a
): y =
1
3
2
+
++
x

3
+ 3x
2
+ 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x - 1
Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 2
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A






2
9
23
;
đến (C).
2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2

- a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm
lớn hơn 1.
Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phơng trình: x
4
-2x
2
- 2b + 2 = 0
Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình: x
2
+ (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh các nghiệm
đó với -3 và -1
Bài6: Tìm m để
8102
2
+ xx
= x
2
- 5x + m có 4 nghiệm phân biệt.
2) Sự tơng giao của hai đồ thị hàm số:
Bài toán về số giao điểm
Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =
2
34
2
+
++
x
xx
tại hai điểm phân biệt.
Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x

m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài5: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 3(m
2
+ 1)x - (m
3
+ 1)
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại đúng một điểm.
Bài6: Tìm m để (C
m
): y = x
3
+ m(x
2
- 1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài7: Tìm m để (C
m
): y =
3
1
3
x

Bài2: Tìm m để (C
m
): y = f(x) = x
3
- (2m + 1)x
2
- 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập thành
cấp số cộng.
Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x
4
- 5x
2
+ 4 tại A, B, C, D phân biệt
mà AB = BC = CD
3) Các điểm đặc biệt:
Bài1: Tìm điểm cố định của (C
m
): y = x
3
- (m + 1)x
2
- (2m
2
- 3m + 2)x + 2m(2m - 1)
Bài2: CMR: (C
m
): y = (m + 2)x
3
- 3(m + 2)x
2

Tìm các điểm Oxy mà không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua
Bài6: Cho (C
m
): y = 2x
3
- 3(m + 3)x
2
+ 18mx + 6. CMR: trên Parabol (P): y = x
2
+ 14 có 2 điểm mà
không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua.
Bài7: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
mx
mmxx

+
22
Tìm các điểm Oxy có đúng 2 đờng cong của họ (C
m
) đi qua.
Bài8: Tìm M (C): y =
2
1
2

Bài3: Tìm m để (C
m
): y =
( )
2
632
2

++
x
xmx
có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực
tiểu.
Bài4: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
( )
54
12
22
22
+++
++
mmx
mmxmx
. Tìm quỹ tích giao điểm của (C
m
) với
các trục Ox, Oy khi m thay đổi.
Bài5: Cho (C): y = x

Bài2: Cho (C
m
): y = x
3
+ mx
2
+ 9x + 4 Tìm m để trên (C
m
) có một cặp điểm đối xứng nhau qua
gốc toạ độ.
Bài3: Tìm trên (C): y =
1
2
2

++
x
xx
các cặp điểm đối xứng nhau qua I






2
5
0;

Bài4: CMR: đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y =

++++
22
22
víi a ≠ 0
lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè: f(x) =
ax +
2

Bµi3: X¸c ®Þnh a, b, c ®Ó hµm sè: F(x) =
( )
32
2
−++ xcbxax
lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè:
f(x) =
32
73020
2
−
+−
x
xx

Bµi4: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:
1)
∫





3
4)
( )
∫
+ dxxx
3
3
2
5)
( )
( )
∫
++
dx2x-xx 1
3
6)
∫






+ dx
x
x
3
1
7)
∫

dx
x
xx
4
3
4
2

11)
( ) ( )
∫
++ dxbxaxx
12)
dxe2
xx
∫
13)
( )
∫
− dxe
xx
2
2
14)
∫
++ dxee
x-x
2
15)
∫

2) Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1)
( )

+ dxx
4
13
2)

+

dx
xx
x
24
42
2

3)

xlnx
dx

4)

+
dx
xx
x


+
dx
xx
x
2
3
12
10)


+
dx
x
1x
2
11)
( )

+
3
1x
xdx
12)

+ dxxx
2
1
13)


5
19)

xdxtg
3
20)

dxe
x
1
x
21)

dx
xcos
e
tgx
2
22)
dx
x
x
ln
x
1


+

1

xdxln
4)

xdxsine
x
5)
( )

dxxlncos
6)

dxxe
x
7)







dx
xln
xln
11
2
8)

xdxsine
x 22


++ 1xx
dx
2
3)

++
dx
xx
x
2
1
4)


2
ax
dx
2
5)

+ 23xx
dx
2
6)

+
++
dx
xx

1
10)

++ 34
24
xx
dx

11)
( )

+
dx
1-xx
1x
2
12)

+ 3-2xx
dx
2
13)



dx
x4x
x
3
3

21
1
2
+
+

+

x
C
x
B
x
A
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho
( ) ( ) ( )
233
111
13
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A

x
cos.xcos
5)
∫
++ 52cosx4sinx
dx
6)
∫
+ xcos-2sinxcosxxsin
dx
22
7)
∫
dxxcos
6
8)
∫
dxxtg
5
9)
∫
xcos
dx
6
10)
∫
xsin
dx
6
11)

xdxtg
2
19)
∫
x.cosxdxsin
2
20)
∫
dx
xcos
tgx
3
21)
∫
+
+
xcosxsin
xcos
3
14
2
6) Nguyªn hµm hµm v« tû:
TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:
1)
∫
−
2
4 x
dx
2)

2
2
7)
∫
+++
3
xx
dx
11
8)
∫
+++ 11 xx
dx
9)
∫
− dxx
2
4
10)
∫
−− dxxx
2
4
11)
∫
−+− 143
2
xx
dx
17

4)
∫
π
0
3
5xdxcosxcosx
5)
∫
π
2
0
23
xdxsinxcos
6)
∫
π
4
0
4
xdxsin
Bµi2: Cho f(x) =
xcosxsin
xsin
+
1) T×m A, B sao cho f(x) = A + B






2
2
2) TÝnh: I =
( )
∫
π
0
2
dxxh
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx
1) T×m A, B ®Ó g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
2) TÝnh: I =
( )
( )
∫
π
4
0
dx
xf
xg

Bµi5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
∫
+
1
0
2
1x

4
1
dx
x
e
x
6)
dx
x
xln
e
∫
+
1
1
Bµi6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
( )
∫
π
+
2
0
4
1
dx
xsin
xcos
2)
∫

π
+
2
0
2 xsin
dx
7)
∫
π
+
4
0
2222
xsinbxcosa
dx
8)
∫
−
2
0
2
4 dxx
9)
∫
−
1
2
2
2
2

x
3)
( )
∫
+
1
0
2
2
1 dxex
x
4)
( )
∫
e
dxxlnx
1
2
5)
( )
∫
+
1
0
2
1 dxxlnx
6)
( )
∫
π

+
9
1
0
52
3
14
1
12
5 dx
x
xsin
x
x

2) TÝnh ph©n vµ ®¼ng thøc:
19
Bµi1: CMR: NÕu f(x) lµ hµm lÎ liªn tôc trªn [-a; a] th×: I =
( )
∫
−
a
a
dxxf
= 0
VD: TÝnh: I =
∫
−



( )
∫∫
=
+
−
aa
a
x
dxxf
b
dxxf
0
1
VD: TÝnh: I =
∫
−
+
++
2
2
24
12
12
dx
xx
x

Bµi4: Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn [0; 1]. CMR:
( ) ( )
∫∫

2

Bµi6: NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = -f(x) th×: I =
( )
0=
∫
b
a
dxxf
VD: TÝnh: I =
∫
π






+
+
2
0
1
1
dx
xcos
xsin
ln
J =
( )

dxxcosf
VD: TÝnh: I =
∫
π
+
2
0
xsinxcos
xdxcos
nn
n
J =
∫
π
+
2
0
xsinxcos
xdxsin
nn
n

Bµi8: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu kú T th×:
( ) ( )
∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0

1)

+
3
0
23
2 dxxxx
2)


+
2
0
1 dxxsin

Bài3: Cho I(t) =


1
0
dxte
x
với t R.
1) Tính: I(t).
2) Tìm minI(t).
Bài4: Tính các tích phân sau:
1)

+
2

Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau:
1)
8
2
1
0
2

<
++

xx
dx
2)
8
2
1
6
2
1
0
32

<

<


xx
dx




Bài3: Cho hàm số: f(x) =
1
2
2
x
x
. CMR:
( )
4
29
2
5
3
2
<<

dxxf

5) Tích phân truy hồi:
21
Bài1: Cho I
n
=
dxxtg
n



n
. áp dụng tính I
11
=


2
0
11
xdxsin

Bài3: Cho I
n
=
( )


1
0
2
1 dxx
n
1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 1
2) Tính I
n
.
Bài4: Cho I


2
0
xdxcosx
n

III) ứng dụng của tích phân:
1) Tính diện tích hình phẳng:
Bài1: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đờng sau đây:
1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x
2
- 2x 2)






==
==
2
x 0;x
0y ;xcosxsiny
32
3)






=+
=+
02
0
2
yxx
yx
6)





+=
=
5
1
2
xy
xy

Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x
3
- 3x + 2 (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến (d
1
) với (C) tại A có x
A
= 2. Viết phơng trình tiếp tuyến (d
2

.
Bài4: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
1) Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
2) Hypebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
Elíp (E
1
):
1
2
2

b
y
a
x
và (E
2
):
1
2
2
2
2
=+
a
y
b
x
2) Tính thể tích vật thể:
Bài1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn bởi
các đờng:



==
==
10
0
x;x
y;e.xy
x

2
+ y
2
= 8 và Parabol (P): y
2
=2x
1) Tính diện tích S của miền D.
2) Tính thể tích V sinh ra bởi A khi quay quanh Ox.
Bài5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
quanh Ox.
24