Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

4

22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác
có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở đòa điểm A, 2 người ở đòa điểm B, còn 4 người
thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghò Hội sinh viên của trường sao
cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau
vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh
nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường
B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp
sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5
chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong
mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số
bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh
nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ
riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

2

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp
thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

3

được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau
từng đôi một.
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
15. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán
học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số
trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.

cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó
phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bò 2)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ
số 1, 5.
64. (ĐH khối D 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần
chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc
không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)
Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và
đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân
biệt?
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng
của tất cả các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho 2 đường thẳng d
1
, d
2
song song với nhau. Trên đường thẳng d
1


em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho
ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số
5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6
chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

6

bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học
sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có
9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vò trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

7

ít nhất một em được chọn.
51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi
số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn
tổng của 3 chữ số cuối một đơn vò.
53. (ĐH khối B 2003 dự bò 2)
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy?
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp
các đường nói trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò)
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp
đôi số cạnh.

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
10. (HV BCVT 1999)
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:
-
65
1010
AA
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:

6
9
A
= 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:
-
65
99
AA
= 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có
3

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

9

BÀI GIẢI

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.
{}
{ }
Ì
ì
ì
=È
ïï
ỴÛ
íí
Ì
ï
ï
ỵ
Ï
ỵ
XA
X1Y
1X
Y3,4,5,6,7,8
2X
.
Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}

, a
3
, a
4
, a
5
từ 7 số còn lại của A ® có
4
7
A
= 7.6.5.4 = 840 cách
Do đó: m = 4.840 = 3360.
· Tính n: Lập một số chẵn
21
123aa
bắt đầu bởi 123; a
1
,a
2
Ỵ A; a
1
≠ a
2

Lấy a
1
từ {4,6,8} ® có 3 cách
Lấy a
2
từ A \ {1,2,3,a

v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức
abcde
(kể cả a = 0), có 4 cách chọn e
Ỵ {0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là:
4
7
A
= 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng
0bcde
. Có 3 cách chọn e, và
3
6
A
cách
chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có 3.
3
6
A
= 360 số chẵn có dạng
0bcde
.
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.

.
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:
4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
211
456
CCC
= 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
121
456
CCC
= 240
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

11

* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
112
456
CCC
= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =

d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có
9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

16

1234567
aaaaaaa
mà tổng các chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.10
5
.5 = 45.10
5
số.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào
nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1
cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số các số cần tìm là: =
5
9
9!
C
5!4!

nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống
nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.
3
4
C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh
đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ
với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và
các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:

A.A
= 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
33
69
A.A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:
* 2 nữ, 4 nam ® có
24
1530
C.C
cách
hoặc * 3 nữ, 3 nam ® có
33
1530
C.C
cách
hoặc * 4 nữ, 2 nam ® có
42
1530
C.C
cách
hoặc * 5 nữ, 1 nam ® có
51
1530
C.C
cách

.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:

abc0
hoặc
abc2
hoặc
abc4

* Với số
abc0
ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
Þ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số
abc2
hoặc
abc4
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3
cách chọn c.
Þ Có 4.4.3 = 48 số
abc2
và 48 số
abc4

Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng
ab0
hoặc
ab5

Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
12
34
C.C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
21
34
C.C
= 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số
12345
aaaaa

1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có
4
5
A
= 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có
2
5
A
cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có
3

Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các
số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại
này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục
7 cách chọn chữ số hàng đơn vò
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.
Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có
mặt đủ các chữ số 2, 3, 4.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

15

19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho
1234
aaaa
. Có hai khả năng:
1. Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số chẵn thì có thể lấy a

5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng ® có
33
95
C.C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng ® có
222
954
C.C.C
cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng ® có
114

23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số
123456
aaaaaa
là 9.10
5
số
Với mỗi số có 6 chữ số
123456
aaaaaa
ta lập được 5 số có 7 chữ số
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

20

· Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là:
4
5
A

Þ Số các số thu được là: 5.
4
5
A
= 600 số.
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,

Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Ta chỉ có 1 cách chọn vò trí cho chữ số 9.
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Số được xét có dạng:
123456
aaaaaa
. Xếp chữ số 0 vào các vò trí từ
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

17

29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x =
123456
aaaaaa

Từ giả thiết Þ a
1
Ỵ {5,6,7,8,9}, a
6
Ỵ {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1. a
1
lẻ:
* a

aaaa
có
4
8
A
cách chọn
Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.
4
8
A
= 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0,
1, 2, 3, 4, 5 là: 5.
3
5
A
= 300
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:

4
5
A
= 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam: có
3
9

18

chọn cho 3 chữ số còn lại.
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vò trí mà thôi thì số cách
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là:
32
64
C.C
= 120
2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là:
5
6
C
= 6
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:

41
64
C.C
= 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.

. Khi đó các vò trí
khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn
4
6
A
số khác nhau. Vậy trường
hợp này có 6.5.
4
6
A
= 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
· Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
· Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên
a000
với a Ỵ
{1,2,3, ,9} Þ có 9 số
+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
*
a111
với a Ỵ {2,3,4, …,9} Þ có 8 số
*
1b11
với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
*
11c1
với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
*

38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ
nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh
trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học
sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
· Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có
2
5
C
= 10 cách chọn 2 học sinh khá.
* Có
5
8
C
= 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
· Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có
3
5
C
= 10 cách chọn 3 học sinh khá.
* Có
4
8
C
= 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.

5
– P
4
) =
192 số.
52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1)
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số
đã cho có dạng:
123456
aaaaaa
(a
i
Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; a
i
≠ a
j
)
sao cho: a
1
+ a
2
+ a
3
= a
4
+ a
5
+ a
6
– 1

+ a
6
= 11 Þ a
1
+ a
2
+ a
3
= 10 (1)
Vì a
1
, a
2
a
3
Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn
trong 3 khả năng sau:
· a
1
, a
2
, a
3
Ỵ {1; 3; 6}
· a
1
, a
2
, a
3

cách
· 4 nam và 2 nữ: có
42
57
C.C
cách
· 3 nam và 3 nữ: có
33
57
C.C
cách
Vậy tất cả có:
51
57
C.C
+
42
57
C.C
+
33
57
C.C
= 7 + 5.21 + 10.35 = 462
cách.
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc
2, 4, 6, 8.
· Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh
hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đó có

2
7
C
cách.
Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
5
C
cách.
Còn 2 vò trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vò trí này: có 2!
2
8
C

cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

2
7
C
.
3
5
C
.2!
2
8
C
= 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.

aaaaa
Ỵ X.
Nếu chọn a
5
= 1 thì
1234
aaaa
ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5
phần tử 3, 4, 5, 7, 8 Þ có
4
5
A
số có chứ hàng đơn vò là 1.
Tương tự có
4
5
A
số có chứ hàng đơn vò là 3; …
Þ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vò của các phần tử x Ỵ X là:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).
4
5
A
= 3360.
Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x Ỵ
X là: 3360.10; …
Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)

202020
CC C

Þ ++++
01220
20202020
CCC C
= 2
(
)
++++
02420
20202020
CCC C
Þ T = +++
2420
202020
CC C
= -
20
0
20
2
C
2
= 2
19
– 1.
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Xét các số chẵn x =

< 345 Û
{
}
é
=Ỵ
ê
==
ë
b1hoặc2;cE\a,b
b4;c1hoặc2

Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh
nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có
23
1010
C.C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
32
1010
C.C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
23
1010
C.C

C.C
+ 2.
23
1010
C.C
= 15000 cách.
49. (ĐH Y HN 2001)
Ta xét các trường hợp sau:
1. Chữ số hàng đơn vò là 2, 4, 6 Þ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn
vò.
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng
đơn vò và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
Þ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 6 cách chọn chữ số hàng chục.
Þ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.
2. Chữ số hàng đơn vò là 8:
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.
Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng
chục.
Þ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục.
Þ Số các số thu được là: 6 số.
Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số.
50. (ĐH khối D dự bò 1 2002)
Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là:
8
18
C

13
C
+
8
12
C
+
8
11
C
) = 41811 cách.
51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

28

· Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn
bất kì là:
13
25
C
= 5200300
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là:
49
1510
CC

Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là:
310
1510

66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Chọn 2 vò trí xếp chữ số 0: có
2
4
C
cách.
Chọn 1 vò trí xếp chữ số 1: có 3 cách.
Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vò trí còn lại: có cách.
Vậy tất cả có:
2
4
C
.3.
2
8
A
= 1008 số thoả yêu cầu đề bài.
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
· Gọi
ab
là số tự nhiên phải tìm Þ a ≠ 0
Do
ab
chẵn nên b Ỵ {0, 2, 4, 6, 8}
Có 2 trường hợp:
* Nếu b = 0 thì a Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ có 9 cách chọn a.
Þ có 9 số
a0

* Nếu b ≠ 0 thì b Ỵ {2, 4, 6, 8} Þ có 4 cách chọn b.

tam giác
Vậy tất cả có:
2
10
C.8
+
2
8
C.10
= 640 tam giác.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

25

chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là: 4.
(
)
-
65
87
AA
.
Vậy tất cả có:
6
8
A
+ 4.
(
)
-

chéo
Þ
2
n
C
= n + 2n Û
-
n(n1)
2
= 3n Û n
2
– n = 6n
Û n
2
– 7n = 0 Û
=
é
ê
=
ë
n7
n0(loại)

Vậy n = 7.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Gọi số cần tìm là: x =
123
aaa

Vì x < 245 nên a

2
< 4 Þ a
2
Ỵ {1, 3} Þ a
2
có 2 cách chọn, a
3
có 3 cách chọn trong 3
số còn lại Þ Có 2.3 = 6 số
* a
2
= 4; a
3
≠ 5, 2, 4 Þ a
3
có 2 cách chọn Þ Có 2 số
Þ Có 6 + 2 = 8 số x =
23
2aa

Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

26

58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Số cần tìm có dạng:
1234
aaaa
.

15105
C.C.C
đề.
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó Þ có
212
15105
C.C.C
đề.
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó Þ có
311
15105
C.C.C
đề.
Vậy tất cả có:

221
15105
C.C.C
+
212
15105
C.C.C
+
311
15105
C.C.C
= 23625 + 10500 + 22750
= 56875 đề.
60. (ĐH khối B 2005)
Có

61. (ĐH khối A 2005 dự bò 1)
Gọi x =
123456
aaaaaa
là số cần lập.
YCBT: a
3
+ a
4
+ a
5
= 8 Þ a
3
, a
4
, a
5
Ỵ {1, 2, 5} hoặc a
3
, a
4
, a
5
Ỵ {1, 3,
4}
a) Khi a
3
, a
4
, a

Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x.
62. (ĐH khối B 2005 dự bò 1)
Ta có các trường hợp:
· 3 nữ và 5 nam: có
35
510
CC
= 2520 cách.
· 4 nữ và 4 nam: có
44
510
CC
= 1050 cách.
· 5 nữ và 3 nam: có
53
510
CC
= 120 cách.
Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.
63. (ĐH khối B 2005 dự bò 2)
· Cách 1: Gọi x =
12345
aaaaa
là số cần lập.
Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vò trí: có
2
5
A
= 20 cách.
Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại đầu tiên.

· Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
Þ Số cách chọn là:
121
543
CCC
= 90
· Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:
Þ Số cách chọn là:
112
543
CCC
= 60
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)
· Số cách chọn 2 học sinh khối C là:
2
5
C
= 10
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

32

nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá
+
n1
2
.

(
)
(
)
(
)
--

-
+=+++
++
n
nn1
xx
x1x1x1
01
33
222
nn
n1n
xxx1
n1n
33
2
nn
22C2C22
C22C2

34. (ĐH khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho:
++++
012nn
nnnn
C2C4C 2C
= 243
35. (ĐH dự bò 2 2002)
Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình:
-
+
3n2
nn
A2C ≤ 9n.
36. (ĐH dự bò 4 2002)
Giả sử n là số nguyên dương và:
(1 + x)
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
k
x
k

2
x
9
+ … + a
11
.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

29

Phần II. BIỂU THỨC TỔ HP – NHỊ THỨC NEWTON

1. (CĐSP TPHCM 1999)
Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức:
++
+=
kk2k1
141414
CC2C
2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
Tính tổng: ++++
678910
1010101010
CCCCC

trong đó
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử.

èø
17
4
3
3
2
1
x
x
, x ≠ 0
7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Giải bất phương trình: -£+
223
2xxx
16
AA.C10
2x

8. (ĐHSP HN khối A 2000)
Trong khai triển nhò thức
-
ỉư
ç÷
+
ç÷
èø
n
28
3
15


11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Chứng minh:

+++++=
n11n12n33n44nn1
nnnnn
2C2C2C2C nCn.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Tìm hệ số của x
31
trong khai triển của f(x) =
ỉư
+
ç÷
èø
40
2
1
x
x

13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có:

-
++++=
2222
234n

.
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)
Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
1. ++++
012n
nnnn
CCC C
= 2
n

2.
-
++++
1352n1
2n2n2n2n
CCC C = ++++
0242n
2n2n2n2n
CCC C

16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)
Tính tổng: S = ++++
0122000
2000200020002000
C2C3C 2001C
17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)
12
thành dạng:
a

-+-++=
++
n
0123n
nnnnn
1111(1)1
CCCC C
24682(n1)2(n1)

19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6
+ (x + 1)
7

20. (ĐH An Ninh khối A 2001)
Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x
2
, …, x
n
, … với

22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Giải hệ phương trình:
ì
+=
ï
í
-=
ï
ỵ
yy
xx
yy
xx
2A5C90
5A2C80

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
1. Tính tích phân: I = +
ò
1
6
0
(x2)dx

2. Tính tổng: S = ++++++
65432
0123456
6666666
2222221
CCCCCCC

-
++++=+
022442n2n2n12n
2n2n2n2n
CC.3C.3 C.32(21)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: ++++
1n12n23n3n
nnnn
C.32.C.33.C.3 n.C
= n.4
n–1

28. (ĐHSP HN khối A 2001)
Trong khai triển của
ỉư
+
ç÷
èø
10
12
x
33
thành đa thức:
a
0

Cho A =
ỉưỉư
-+-
ç÷
ç÷
èø
èø
2010
3
2
11
xx
x
x
. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu
thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
69. (CĐ KT Y tế I 2006)
Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau: ++++++=+
0222k2k2n22n22n2n1516
2n2n2n2n2n
CC3 C3 C3C32(21)

70. (CĐ Xây dựng số 2 2006)
Chứng minh:
-
-++-=+++
0n1n1nn01n

2
x
2
+ … + a
n
x
n

Tìm hệ số của x
5
, biết a
0
+ a
1
+ a
2
= 71. BÀI GIẢI

1. (CĐSP TPHCM 1999)

++
+=
kk2k1
141414
CC2C (0 ≤ k ≤ 12, k Ỵ N)
Û +=
-+-+-

= -
105
10
11
.2C
22
= 386.
3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
++=-
1232
xxx
C6C6C9x14x
(x Ỵ N, x ≥ 3)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

33

Hãy tính hệ số a
5
.
38. (ĐH khối A 2003)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Newton của
ỉư
+
ç÷
èø
n
5

3n–3
trong khai triển
thành đa thức của (x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n–3
= 26n.
41. (ĐH khối D 2003 dự bò 2)
Tìm số tự nhiên n thoả mãn: ++
2n2233n3
nnnnnn
CC2CCCC = 100
42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:

-
++++=++++
1352n10242n
2n2n2n2n2n2n2n2n
CCC CCCC C

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Giải phương trình: ++

-
£
ç÷
è-ø
n1
n
01n
nnn
22
CC C
n1

46. (CĐ Giao thông III 2003)
1. Tính tổng: S =
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1)nC
(n > 2)
2. Tính tổng: T = ++++
+
012n
nnnn
111
CCC C
23n1

biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện:


2003
. Khai triển đa thức đó dưới dạng:
P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
2003
x
2003

Tính tổng S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ … + a
2003
.
50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)
Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: +=
32
nn
A2C16n


8
.
54. (ĐH khối D 2004)
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Newton của:

ỉư
+
ç÷
èø
7
3
4
1
x
x
với x > 0
55. (ĐH khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho:

+
+++++
-+-+++
1223342n2n1
2n12n12n12n12n1
C2.2C3.2C4.2C (2n1).2C = 2005
56. (ĐH khối D 2005)
Tính giá trò của biểu thức: M =
+
+
+

Tìm k Ỵ {0; 1; 2; …; 2005} sao cho
k
2005
C đạt giá trò lớn nhất.
59. (ĐH khối D 2005 dự bò 2)
Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2P
n
+ 6 -
22
nnn
APA
= 12.
60. (ĐH khối A 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhò thức Newton của
ỉư
+
ç÷
èø
n
7
4
1
x
x
, biết rằng:
+++
+++=-
12n20

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)
Tìm số tự nhiên n sao cho: -=
nnn
456
111
CCC

64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)
Tính tổng S =
+
+
++++
012n
nnnn
1111
123n1
1.C2.C3.C(n1).C

AAAA

Biết rằng: ++=
012
nnn
CCC211

65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)
Khai triển biểu thức (1 – 2x)
n
ta được đa thức có dạng:
a

1
x
x
, biết
rằng: +=
13
nn
CC13n
(n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0).
67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)
Tìm n Ỵ N sao cho:
++++
++++=
0242n
4n24n24n24n2
CCC C256

68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

40

Thật vậy,
++
-
+++++=+
222222
234kk1k1
11111k11


= 1 + ++++
99999
1011121314
CCCCC

= 1 + ++++
12345
1011121314
CCCCC

= 1 + 10 + +++
11.1012.11.1013.12.11.1014.13.12.11.10
2624120

= 3003
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)
1. (1 + x)
n
= ++++
0122nn
nnnn
CCxCx Cx

Cho x = 1 Þ ++++
012n
nnnn
CCC C
= 2
n


Đạo hàm 2 vế của (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)
1999
=
-
=
å
2000
ii1
2000
i1
i.Cx

Cho x = 1 ta được:
=
å
2000
i
2000
i1
i.C = 2000.2
1999
= 1000.2
2000

Do đó: S =
==
+
åå
20002000
ii

k+1
Û k <
23
3

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

37

Û x + 3x
2
– 3x + x
3
– 3x
2
+ 2x = 9x
2
– 14x
Û x(x
2
– 9x + 14) = 0 Û
=
é
ê
=
ê
ê
=
ë
x0(loại)

=
-
å
n
k1kk1
n
k1
(1).kC.x

Cho x = 1 ta được: 0 =
-
=
-
å
n
k1k
n
k1
(1).kC

=
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1).nC
= S
Vậy: S = 0
5. (ĐHQG HN khối A 2000)
Ta sẽ chứng tỏ:

+
£
k11001
20012001
CC, "k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức Û
=
é
ê
=
ë
k999
k1000
)
Þ
+
+£+
kk110001001
2001200120012001
CCCC (đẳng thức Û k = 1000)
6. (ĐHQG HN khối B 2000)
Số hạng tổng quát của khai triển là:

(
)
(
)
(
)
- -
-

£Ỵ
ì
ï
Û
íí
£³
ỵ
ï
ï
£
ỵ
xN
22xxN
2xx3
3x

Ta có: -£+
223
2xxx
16
AA.C10
2x

Û
1
2
.2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤

+
6x(x1)(x2)

* Ta có:
-

=
ỉưỉưỉư
ç÷ç÷ç÷
+=
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
å
12k12k
28428
12
k
3
15315
12
k0
xxxCxx =
-
=
å
48112
12
k
k
155
12
k0
Cx

2k
Þ k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì
=
å
n
k
n
k0
C
= 2
n

Từ giả thiết Þ
=
å
n
k
n
k0
C
= 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10
Vậy hệ số cần tìm là:
6
10
C
= 210.
10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp


ç÷
+
èø
1
2n1
01n
nnn
0
xx
CxC C
2n1

= ++++
+
012n
nnnn
111
CCC C
23n1
= S
Vậy: S =
+
-
+
n1
21
n1
.
11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Ta có: (1 + x)

nC2C.23C24C.2 nC2
2

Þ

+++++=
n11n12n33n44nn1
nnnnn
2C2C3.2C4.2C nCn.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

ỉư
+
ç÷
èø
40
2
1
x
x
=
-
=
ỉư
ç÷
èø
å
40k
40

1.2.3
= 40.13.19 = 9880.
13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
* Với n = 2, đpcm Û
=Û=
2
2
2
2
11
A2
2
A
đúng
* Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có:

-
++++=
2222
234k
1111k1

k
AAAA

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

44

= 2
(
)
++++
0224420002000
2001200120012001
CxCxC xC
Cho x = 3 ta được:
4
2001
– 2
2001
= 2
(
)
++++
0224420002000
2001200120012001
C3C3C 3C
Þ
++++=-
022442000200020002001
2001200120012001
C3C3C 3C2(21)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Đặt a
k
=
+-

Û 2nk + n > 0
Ta được BĐT đúng Þ (2) đúng Þ (1) đúng.
Do đó: a
k
=
(
)
+-
£
2
nnn
2nk2nk2n
C.CC= a
0

Dấu “=” xảy ra Û k = 0.
32. (ĐH khối A 2002)
Từ =
31
nn
C5C
ta có n ≥ 3 và =

n!n!
5
3!(n3)!(n1)!
Û

=
n(n1)(n2)

.2
–x
= 140
Û 2
x–2
= 4 Û x = 4.
Vậy n = 7, x = 4.
33. (ĐH khối B 2002)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

41

Þ
=
==
8
i812
i1,12
max(a)aC
= 126720
18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
· Tính I bằng 2 cách:
* Đổi biến: t = 1 – x
2
Þ dt = –2xdx
Þ I =
ỉư
-
ç÷
èø

n
= x
(
)
-+-++-
0122436nn2n
nnnnn
CCxCxCx (1)Cx
Þ I =
+
ỉư
-+-++-
ç÷
ç÷
+
èø
1
24682n2
0123nn
nnnnn
0
xxxxx
C.C.C.C (1)C.
24682n2

=
-
-+-++
+
n

x
n
=
+
+
-
4
n4
n2n
A
143
P4P
< 0 Û (n + 3).(n + 4) –
143
4
< 0
Û 4n
2
+ 28n – 95 < 0 Û
-<<
195
n
22

Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 Þ các số hạng âm của
dãy là x
1
, x
2
.

(đpcm)
22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

42

Đặt u =
y
x
A
; v =
y
x
C
Þ
+==
ìì
Þ
íí
-==
ỵỵ
2u5v90u20
5u2v80v10

Mà u = y!v Þ y! = 2 Þ y = 2
Þ ==-=
-
2
x
x!

+-
=
1
777
0
(x2)32
77

2. Ta có:
I = +
ò
1
6
0
(x2)dx
=
=
( )
++++++
ò
1
06152423334245566
6666666
0
C.2C2xC2xC2xC2xC2xCxdx

=
éù
++++++
êú

ỉư
=
ç÷
èø
å
n
n
kk
n
n
k0
u11
Cu
2
2
Û (u + 1)
n
=
=
å
n
kk
n
k0
Cu
. Đẳng thức đúng.
25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)
Có
+
==

22
nnn
kkkkkk
nnn
k0k0k0
00
111
C.2CxdxCxdx
k122
=
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

43

=
+
+
+=
+
ò
2
2
n1
n
0
0
11(x1)
(x1)dx.
22n1
=

+++
0222n2n
2n2n2n
CC.3 C.3
Từ đó ta được:
-
++++=+
022442n2n2n12n
2n2n2n2n
CC.3C.3 C.32(21)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
Xét hàm số: f(x) = (x + 3)
n
=
-
+++
0n1n1nn
nnn
C3C.3x C.x

Ta có: f¢(x) = n(x + 3)
n–1
=

+++
1n12n2nn1
nnn
C.32C.3x nCx


Vậy hệ số a
7
là lớn nhất: a
7
=
77
10
10
1
.C.2
3
.
29. (ĐH Vinh khối AB 2001)
Ta có:
k
n
C
=
-
n!
k!(nk)!
và
-
k1
n
C =
+
n!
(k1)!(nk1)!
Þ


Bảng biến thiên:

k
n
C
+
n1
2

Þ
k
n
C
lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá
+
n1
2
.
30. (ĐH Vinh khối DTM 2001)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

48

Û x(x
2
– 9x + 14) – 0 Û
=
é
ê

CC C
; B = +++
1319
202020
CC C

Þ A = B (1)
* Ta có: (1 + x)
20
= +++++
012219192020
2020202020
CCxCx CxCx

Cho x = 1 ta có: +++++
0121920
2020202020
CCC CC
= 2
20

Þ A + B = 2
20
(2)
Từ (1) và (2) suy ra A =
20
2
2
= 2
19

· Cách 1:
Ta có: P
n+1
– [nP
n
+ (n – 1)P
n–1
+ … + 2P
2
+ P
1
] =
= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1!
= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1!
= …
= 2! – 1.1! = 1
Vậy: P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ nP
n
= P
n+1
– 1.

– 1
Thật vậy, P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ kP
k
+ (k +1)P
k+1
= P
k+1
– 1 + (k +1)P
k+1

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

45

Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …, A
2n
là
3
2n
C

Theo giả thiết thì:
=Û=

32
2nn
(2n)!n!
C20C20.
3!(2n3)!2!(n2)!

Û

=
2n(2n1)(2n2)n(n1)
20
62
Û 2n – 1 = 15 Û n = 8.
34. (ĐH khối D 2002)
Ta có: (x + 1)
n
=
=
å
n
kk
n
k0
Cx

Cho x = 2 ta được: 3
n

n- 2n - 8 0

Û 3 ≤ n ≤ 4 Û n = 3 hoặc n = 4.
36. (ĐH dự bò 4 2002)
Ta có:
-+
==
k1kk1
aaa
2924
(1) (1 ≤ k ≤ n – 1)
Û
-+
==
k1kk1
nnn
CCC
2924

Û ==
+-+
1n!1n!1n!
2(k1)!(nk1)!9k!(nk)!24(k1)!(nk1)!

Û 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
Û 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
Û
-+=
ì
í

Ta có: (x + 1)
10
= x
10
+
+++++
1928379
10101010
CxCxCx Cx1

Þ (x + 1)
10
(x + 2) = x
11
+
+++++
110293892
10101010
CxCxCx Cxx
+
+
(
)
++++++
101928379
10101010
2xCxCxCx Cx1

= x
11

1
x
10
+ a
2
x
9
+ … + a
11

Vậy a
5
= +
54
1010
C2C
= 672.
38. (ĐH khối A 2003)
Ta có:
+
++
-=+
n1n
n4n3
CC7(n3)
Û
(
)
+
+++

Û
-
6011k
2
= 8 Û k = 4.
Do đó hệ số của số hạng chứa x
8
là =
-
4
12
12!
C
4!(124)!
= 495.
39. (ĐH khối B 2003)
Ta có: (1 + x)
n
= ++++
0122nn
nnnn
CCxCx Cx

Þ
( )
+=++++
òò
22
n0122nn
nnnn

212121
CCC C
23n1
=
++
-
+
n1n1
32
n1

40. (ĐH khối D 2003)
Ta có: (x
2
+ 1)
n
=

++++
02n12n222n4n
nnnn
CxCxCx C

(x + 2)
n
=

+++++
0n1n122n233n3nn
nnnnn

3n–3
= +
30311
nnnn
2.C.C2.C.C

Þ a
3n–3
= 26n Û
-+
=
2
2n(2n3n4)
26n
3
Û
=
é
ê
ê
=-
ê
ë
n5
7
n(loại)
2

Vậy: n = 5.
41. (ĐH khối D 2003 dự bò 2)

10
26

Û 3n(n – 1) + (n
2
– n)(n – 2) = 60
Û (n
2
– n)(n + 1) = 60
Û (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5
Û n = 4.
42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Ta có khai triển:
(x + 1)
2n
=

+++++
02n12n122n22n12n
2n2n2n2n2n
CxCxCx CxC

Cho x = –1 ta được:
0 =
-
-+-+ +
012342n12n
2n2n2n2n2n2n2n
CCCCC CC


x!x!
66
2!(x2)!3!(x3)!
= 9x
2
– 14x
Û x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x
2
– 14x
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

52

Thay x = –2, ta có:

+
++++
-+-++
12232n2n1
2n12n12n12n1
C2.2C3.2C (2n1)2C = 2n + 1
Theo giả thiết ta có: 2n + 1 = 2005 Þ n = 1002.
56. (ĐH khối D 2005)
Điều kiện: n ≥ 3.
Ta có:
++++
+++
2222
n1n2n3n4
C2C2CC = 149

Cho x = 1 ta có: 2
2n+1
=
+
+++++
+++++
01232n1
2n12n12n12n12n1
CCCC C (1)
Cho x = –1 ta có: 0 =
+
+++++
-+-+-
01232n1
2n12n12n12n12n1
CCCC C (2)
Lấy (1) – (2) Þ 2
2n+1
=
(
)
+
+++
+++
132n1
2n12n12n1
2CC C
Þ 2
2n
=

C lớn nhất Û
+
-
ì
³
ï
Ỵ
í
³
ï
ỵ
kk1
20052005
kk1
20052005
CC
(kN)
CC

Û
ì
³
ï
-+-
ï
í
ï
³
ï


APA
= 12 (n Ỵ N, n > 1)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

49

= (k + 2)P
k+1
– 1 = P
k+2
– 1. (đpcm)
45. (CĐ Giao thông II 2003)
Do
==
0n
nn
CC1
nên ta có:
-
=
01n12n1
nnnnnn
CC CCC C
Áp dụng BĐT Côsi ta có:

-
-
-
ỉư
+++

-
+++
12n1
nnn
CC C
= 2
n
– 2
Suy ra:
-
-
ỉư
-
£
ç÷
è-ø
n1
n
12n1
nnn
22
CC C
n1
(đpcm).
46. (CĐ Giao thông III 2003)
1. Ta có: (1 + x)
n
= +++++
012233nn
nnnnn

+=+++++
òò
11
n012233nn
nnnnn
00
(1x)dxCCxCxCx Cxdx

Þ
+
+
+
ỉư
=++++
ç÷
=+
èø
1
1
n1
01223nn1
nnnn
0
0
(1x)111
CxCxCx Cx
n123n1

Þ
+

++=
ï
ỵ
nN,n2
n(n1)
1n79
2
Û n = 12
Vậy: T =
-
13
21
13
.