Một số kinh nghiệm dạy học đinh lí Toán ở trường T.H.C.S
A . ĐẶT VẤN ĐỀ
Ở bậc học THCS như chúng ta đã biết, dạy tốn là hoạt động tốn học cho học
sinh, trong đó việc dạy học các định lí tốn được thể hiện dưới nhiều hình dạng khác
nhau, được có mạt ngay từ đầu trong chương trình tốn phổ thơng. Việc dạy học các định
lí tốn nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ mơn.
Đây cũng là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng
minh góp phần phát triển năng lực , trí tuệ.
Việc dạy học các định lí tốn giữ một vai trò quan trọng trong chương trình tốn:
a. Làm cơ sở lí luận cho sự tồn tại của một khái niệm mới được định nghĩa sau đó.
Ví dụ: Tính chất : “Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt”
(tốn 6 tập 1) là tiên đề về xác định đường thẳng. Nhờ tính chất này người ta chứng minh
được định lí : “ Hai đường thẳng phân biệt hoặc có một điểm chung hoặc khơng có điểm
chung nào” ( chứng minh bằng phương pháp phản chứng). Từ đó ta có các định nghĩa:
+/ Hai đường thẳng phân biệt có một và chỉ một điểm chung được gọi là hai đường thẳng
cắt nhau.
+/ Hai đường thẳng trùng nhau là hai đường thẳng có nhiều hơn một điểm chung
Định lí : “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong các góc tạo thành có một
cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song
song với nhau” (Tốn 7 trang 90) là cơ sở cho sự tồn tại của:
Định nghĩa :”Hai đường thẳng song song (cùng nằm trong một mặt phẳng ) là hai
đường thẳng khơng có điểm chung”.
b. Nêu rõ mối quan hệ giữa các khái niệm với nhau, qua đó nêu lên những thuộc
tính bản chất của khái niệm mà trong định nghĩa khơng thể nêu lên được .
Ví dụ: Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
(Tốn 9)
c. Làm cơ sở lí luận cho một quy tắc hay một phương pháp giải một lớp bài tốn
nào đó
Ví dụ: Định lí Viet : “Nếu x
1
, x

chứng minh nó.
b. Làm cho học sinh biết cách chứng minh định lí : Tổng hợp, quy nạp, phản
chứng….
Đỗ Hồng Hải – THCS Giang Sơn Trang - 1 -
Một số kinh nghiệm dạy học đinh lí Toán ở trường T.H.C.S
c. Làm cho học sinh biết phát biểu định lí một cách ngắn gọn, chính xác về ngơn từ
cũng như nội dung và biết được dạng của định lí (điều kiện cần, đủ , cần và đủ ).
d. Làm cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các định lí, định nghĩa của một
vấn đề có liên quan , tạo thành một hệ thống dấu hiệu nhận biết vấn đề đó.
Ví dụ : Nhận biết một tứ giác nội tiếp đường tròn
µ
A
+
µ
C
= 180
0 A, B cùng nhìn CD dưói những
. .MA MB MC MD=

Hay
µ
B
+
µ
D
= 180
0

O O
A
S
C
D
C
M
A
B
O
D
Một số kinh nghiệm dạy học đinh lí Toán ở trường T.H.C.S
Điểm O nằm Điểm O nằm Điểm O nằm
trên 1 cạnh của góc trong góc ngồi góc
( tốn 9 trang 74)
+ Quy nạp tốn học: dựa trên ngun lí quy nạp tốn học, nó bao gồm các bước
tiến hành như sau:
Bước 1: Thử nghiệm mệnh đề đó đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k nào đó và từ giả sử này chứng minh mệnh
đề đúng với n = k+1
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n
* Suy luận “nghe có lí” : Mặc dù đây khơng thể coi là những suy luận chứng minh
như các phép suy luận đã nói, nhưng nó lại có tác dụng lớn trong khi dạy học tốn vì nó
giúp chúng ta hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét để đưa ra những dự đốn, giả thuyết
để đi đến những định lí sẽ học. Trong suy luận “nghe có lí” có hai kiểu suy luận là phép
quy nạp khơng hồn tồn và phép tương tự
Tương tự là suy luận mà trong đó từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu
hiệu , ta rút ra “kết luận” rằng các đối tượng này giống nhau ở một số điểm khác .Tương
tự cũng là một dạng của quy nạp nhưng là quy nạp khơng hồn tồn, nên kết luận rút ra
được cũng chỉ có tính chất một dự đốn, một giả thuyết mà thơi.

các nội dung sau:
Đỗ Hồng Hải – THCS Giang Sơn Trang - 3 -
A
B
O
I
A
B
O
I
I
B
O
A
Một số kinh nghiệm dạy học đinh lí Toán ở trường T.H.C.S
a. Phép tổng hợp : Sơ đồ : A
1
-> A
2
- > A
3
->… >A
n
- > X
Mệnh đề đã biết , giả thiết Mệnh đề phải chứng minh
Phép chứng minh này có ưu điểm : Trình bày gọn gàng , chặt chẽ, có hệ thống.
Về nhược điểm : Cách chứng minh này thiếu tự nhiên, học sinh khơng hiểu lí do vì sao
lại bắt đầu từ A
1
, hơn nữa sử dụng phương pháp này giáo viên phải giảng giải nhiều, học

A
2
Sđ
»
SD
+Sđ
¼
ACD
+Sđ
»
SB
=180
0

A3 Sđ
¼
¼
º
0
d 180SBD S ACD Sd SA+ + =
Vì
º
»
SA SB=
(GT)
A
4
Sđ của cả đường tròn =
0 0
1

B
C
D
1
Một số kinh nghiệm dạy học đinh lí Toán ở trường T.H.C.S
Với bài tốn này tơi hướng dẫn học sinh dùng phép phản chứng để chứng minh
như sau :
Gọi ba đường thẳng đó lần lượt là a,b,c
Giả sử a khơng song song với b . Vậy a cắt b ở điểm C , như vậy qua C kẻ được hai
đường thẳng a và b cùng song song với c , Điều này trái với tiên đề Euclitde. Vậy a song
song với b.
Lưu ý: Khi xét phủ định của B phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra ,khơng được bỏ
sót.
3. Định lí và chứng minh định lí ở trường THCS
Chứng minh tốn ở bậc học THCS được xây dựng theo một hệ thống logic từ lớp 6
, rõ nét nhất là ở phân mơn hình học . Ngay từ cuối lớp 6 đã đưa các mệnh đề thừa nhận
mà thực chất là các tiên đề. Đến lớp 7 có các mệnh đề thực ra là các định lí được viết
dưới dạng bài tốn và việc giải bài tốn đó, thực ra là chứng minh định lí.
Ví dụ 1 : Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
( Tốn 6 tập 2).
Ví dụ 2 : Bài tốn : Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau ở O
a. So sánh hai cặp góc đối đỉnh xOy và x’Oy’ , yOx’ và xOy’
b. Trong trường hợp
·
xOy
=90
0
.Tính số đo các góc yOx’ , xOy’ ,x’Oy’.
Thực chất đây là tính chất của hai góc đối đỉnh mà học sinh đã được học , chúng được
phát biểu lại dưới dạng một bài tốn nhằm khắc sâu kiến thức cho học sinh . Với câu b thì

phải thực hiện từ thấp đến cao , từ đơn giản đến phức tạp tuỳ theo trình độ học sinh ở
từng khối lớp, tuỳ vào từng định lí cụ thể . Nhưng chúng ta cần tn theo một số u cầu
chung như sau :
a. Đối với học sinh mới làm quen với việc chứng minh định lí ( lớp 6; 7;8)
- Qua từng bài cụ thể giáo viên phải làm cho học sinh hiểu rõ thế nào là định lí,
định lí và tiên đề khác nhau ở chỗ nào ? Tại sao phải chứng minh nó,mặc dù xem ra rất
“hiển nhiên”.
Ví dụ : Khi giải bài tốn lớp 6 sau đây
Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm D,
trên cạnh BC lấy điểm E, ( D và E khơng trùng
với đỉnh nào của tam giác)
a.Đường thảng BD có cắt đoạn AE khơng? Vì sao?
b.Đường thẳng AE có cắt đoạn BC khơng? Vì sao?
c. Hai đoạn thẳng AE và BC có cắt nhau khơng? Vì sao?
Trong bài tốn chưa nêu u cầu “chứng minh rằng” nhưng thực chất là chứng
minh mặc dù những điều này xem ra rất hiển nhiên.
- Tập cho học sinh liệt kê các giả thiết , kết luận
Giải thích rõ cho học sinh chứng minh là gì ? và hướng dẫn cho học sinh dần dần
làm quen với hai quy tắc chứng minh : Phương pháp tổng hợp ( trực tiếp ) và phương
pháp phản chứng ( gián tiếp)
-Cho các em biết thế nào là mệnh đề, mệnh đề dảo , định lí đảo , cách lập mệnh đề
đảo , nhất là với những định lí có nhiều giả thiết . Ví dụ sách tốn 9 tập 1 trang 103 có
định lí “Trong một dường tròn , đường kính vng góc với một dây thì đi qua trung điểm
của dây đó”. Giáo viên nên cho học sinh thử thành lập mệnh đề đảo , đưa ra nhận xét tính
đúng – sai, sau đó hướng dẫn học sinh đi tìm hiểu định lí 3, so sánh với mệnh đề đảo các
em đã lập và so sánh để từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.
-Dần dần tập cho học sinh kĩ năng chứng minh như vận dụng giả thiết, các tiên đề,
các định lí đã học để vẽ thêm đường phụ, hoặc tìm cách chứng minh khác
Ví dụ : Khi hướng dẫn học sinh lớp 7 làm bài tập : “Cho tam giác cân ABC (AB =
AC).Gọi M là trung điểm của đường cao AH và D là giao điểm của AB với CM. Chứng

Bước 1: Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết của định lí sắp học, bước này
nhằm gây hứng thú , tạo động cơ cho học sinh học tập. Sách tốn 9 tập 2 trang 50 bài “
Hệ thức Vi-et và ứng dụng” có đưa ra câu dẫn “Nghiệm và hệ số của phương trình có
quan hệ kì diệu” nhằm gây hứng thú , tò mò cho học sinh vậy nghiệm và hệ số của
phương trình bậc hai có quan hệ thế nào đây ? chúng ta cùng đi tìm hiểu
- Xét một vấn đề tổng qt hơn , hồn chỉnh hơn so với điều đã biết, chẳng hạn
:Đã biết cách giải các phương trình bậc hai dạng ax
2
+ bx = 0 và ax
2
+ bc = 0 , còn
phương trình bậc hai tổng qt?
-Tìm tòi và phát hiện mối liên hệ giữa các đại lưọng
Vị trí tương đối của hai đường tròn phụ thuộc và những yếu tố nào đã biết.
Diện tích tam giác còn được tính theo những yếu tố cạnh và góc nào ngòi cạnh và
đường cao tưong ứng mà ta đã biết. Thử lập mệnh đề đảo cuả định lí Thalès đảo
Bước 2: Phát hiện và tìm hướng chứng minh
Từ bước trên cho học sinh phát hiện , dự đốn và phát biểu thành một mệnh đề .
Hướng dẫn học sinh tìm hướng chứng minh mệnh đề trên.
Bước 3 :Tập cho học sinh biết cách trình bày nội dung chứng minh (các suy luận
logic)sao cho :
Gọn và rõ, có luận chứng chặt chẽ, khơng bị nhầm lẫn bởi “dễ dàng có” “hiển
nhiên là”
Trình bày đúng các phép chứng minh mà các em đã biết , chú ý xem xét kĩ các
trường hợp có thể xảy ra để tránh các sai lầm . Sau đó cho học sinh phát biểu định lí
Bước 4 : Tập cho học sinh nắm được một số biện pháp chủ yếu để củng cố kiến
thức : Nhận dạng và thể hiện định lí , hoạt động ngơn ngữ, xét xem mọi tình huống đã
phù hợp với định lí đã học hay khơng , sau đó cho học sinh thực hiện các hoạt động củng
cố khác như đặc biệt hố , khái qt hố hệ thống hố và vận dụng định lí trong giải
tốn, đặc biệt là trong chứng minh tốn học

2
2
b
x
a
b
x
a
− + ∆
=
− − ∆
=
Khi đó
1 2
2 2
b b b
x x
a a a
− + ∆ − − ∆
+ = + = −
2
1 2
2
. .
2 2 4
b b b c
x x
a a a a
− + ∆ − − ∆ − ∆
= = =

Hoạt động 3 : Phát biểu định lí
Hoạt động 4 : Củng cố định lí : Ví dụ
8 2
8.2
2
+
≥
Hoạt động 5 : Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức
2
a b
ab
+
≥
Hoạt động 6 : Vận dụng vào bài tốn : “Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi
hãy tìm hình có diện tích lớn nhất”.
C. KẾT LUẬN
So sánh kết quả trước và sau nghiên cứu đề tài
Bảng số liệu so sánh
Số lưọng học sinh
(Số liệu sau khi hết HKI) 390 em
Trước khi thực hiện
sáng kiến (%)
Sau khi thực hiện sáng
kiến (%)
HS biết cách ghi GT/KL bằng ngơn
ngữ Tốn
234em/390em = 60% 358em/390em =91,79%
HS nắm được cách chứng minh 195em/390em=50% 367em/390em=94,1%
Qua việc nghiên cứu kĩ các định lí , các nội dung có liên quan như đã trình bày ở
trên , vận dụng chúng vào thực tế giảng dạy ở các lớp mà tơi phụ trách , bản thân tơi