( )
( trung điểm BC)
(cạnh chung)
AB AC gt
BM CM M ABM ACM
AM
=


= ⇒ =



V V
ƠN TẬP HÌNH HỌC 7 HỌC KỲ II.
1. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC.
BÀI TẬP THAM KH Ả O.
BÀI 1.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM là
phân giác góc A.
Hướng dẫn:
Xét
và ABM ACMV V
A Ta có:

(cạnh-cạnh-cạnh)
B M C
Suy ra:
·
·
ABM ACM=

chung
( )
OB OD gt
O OBC ODA
OC OA gt
=


⇒ =


=

V V
(c-g-c)
Suy ra AD = BC (cạnh tương ứng)
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương
1
b/ Chứng minh:
EAB ECD
=
V V
.
Ta có:
AB = OB – OA
CD = OD – OC
Mà OB = OD (gt), OA = OC (gt)
Suy ra AB = CD (1)
Mặt khác:
¶

µ
( ) (3)B D OBC ODA= =V V
Từ (1), (2), (3) suy ra
EAB ECD=V V
(g- c- g)
c/ OE là phân giác của góc xOy.
Xét
và OAE OCEV V
Ta có:
( )
cạnh chung
( EAB= ECD)
OA OC gt
OE OAE OCE
EA EC
=


⇒ =


=

V V
V V
(c-c-c)
Suy ra
µ
¶
1 2

·
·
0
90 (BH AC)
BH cạnh chung
( ABC đêù)
AHB CHB
OAE OCE
AB CB

= = ⊥

⇒ =


=

V V
V
(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra
·
·
=ABH CBH
(góc tương ứng)
Đo đó:
·
·
µ
0

a/ Chứng minh rằng: BE = CD.
b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD, chứng minh IB = IC.
Hướng dẫn:
A
a/ Xét
ADCV
và
AEBV
D E Ta có:
I AD = AE (gt)
B C Â chung
AB = AC (
ABCV
cân)
Suy ra
ADCV
=
AEBV
(c-g-c)
Do đó BE = CD (cạnh tương ứng).
b/ Ta có
ADCV
=
AEBV
(c m t)
Suy ra:
·
·
ABE ACD=
(góc tương ứng).

= 225; 12
2
= 144
Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông.
b/ 5
2
= 25; 13
2
= 169; 12
2
= 144
Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông.
c/ 7
2
= 49; 10
2
= 100; 12
2
= 144
Ta thấy 100
≠
49 + 49 nên tam giác có ba cạnh đã cho không là tam giác vuông.
Bài tập 60/113 SGK.
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC
( )H BC∈
. Cho biết AB = 13cm,
AH = 12cm, HC = 16cm. Tính độ dài AC, BC.
Hướng dẫn:
A
13 12

2
13 12
12, 13
13 12
169 144
25
5
AB BH HA
BH
AH AB
BH
BH
BH
BH

= +
⇒ = +

= =

⇒ − =
⇒ − =
⇒ =
⇒ =
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương
4
Ta có H nằm giữa B và C
Do đó: BH +HC = BC
Mà BH = 5cm, HC = 16
Ta tính được BC = 21cm.

a) Chứng minh
=V VABH ACK

Xét
và ABH ACKV V
Ta có:
·
·
µ
0
=90 (BH AC, CK AB)
( cân tại A)
A góc chung
AHB AKC
AB AC ABC ABH ACK

= ⊥ ⊥

= ⇒ =



V V V
(cạnh huyền,góc nhọn)
Suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)
b) Chứng minh AI là phân giác góc A.
Xét
và AKI AHIV V
Ta có:
·

.
c/ AK là tia phân giác của góc A.
d/
KBCV
là tam giác cân
Hướng dẫn:
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương
5
·
µ
·
·
µ
·
µ
µ
·
·
·
·
( )
( )
DBK B EBC
ECK C DCB
B C ABCcan
EBC DCB KBD KCE
DBK ECK

= −


(c.g.c)
Xét tam giác DBC và tam giác ECB.
Ta có:
( )
( )
DB AB AD
DB AC AE
DB EC
AB AC gt
AD AE gt
= −


= −

⇒ =

=


=

(1)
µ
µ
B C=
(
ABCV
cân tại A) (2)
BC (cạnh chung) (3)

c/ AK là tia phân giác của góc A.

ADK AEK=V V
(c.c.c)
Suy ra
·
·
DAK EAK=
(góc tương ứng)
Vậy AK là phân giác góc A.
d/
KBCV
cân.
Ta có
KBD KCE
=
V V
(cm câu b).
Suy ra KB = KC (cạnh tương ứng).
Vậy
KBCV
cân tại I.
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương
6
Bài tập 2.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(5; 4); B(2; 3); C(6; 1). Tính các cạnh và các
góc của tam giác ABC.
y
4 A
3 B

Vậy
ABCV
cân tại A.
Ta lại có:
AB
2
+ AC
2
= 20 (4)
BC
2
= 20 (5)
Từ (4) và (5) suy ra:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
Do đó
ABCV
vuông tại A.
Vậy
ABCV
vuông cân tại A.
Suy ra
µ
µ
0
45B C= =

HD
⊥
AB (D
∈
AB)
D E GT HE
⊥
AC (E
∈
AC)
AB = AC = 5, BC = 6
B H C
KL a/ HB = HC và
·
·
BAH CAH=
.
b/
HDEV
cân.
c/ Tính độ dài AH
d/AH là phân giác góc DHE.

a/HB = HC và
·
·
BAH CAH=
Xét
V V và AHB AHC
Ta có:

Xét
V V và HBD HCE
Ta có:
·
·
µ
µ

= = ⊥ ⊥

= ⇒


=

V V
V
0
90 ( ; )
(cmt) = (cạnh huyền-góc nhọn)
( ABC cân taiï A)
HDB HEC HD AB HE AC
HB HC HBD HCE
B C
Ta có
BHD CHE
=
V V
(cmt)
Suy ra HD = HE (cạnh tương ứng).

= AH
2
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương
8
25 – 9 = AH
2
16 = AH
2

4 = AH
Vậy AH = 4 cm
d/AH là phân giác góc DHE
Xét
V V và AHD AHE
Ta có:
·
·

= = ⊥ ⊥

⇒



V V
0
90 ( ; )
(cạnh chung) AHD= AHE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
HD = HE (cmt)
ADH AEH HD AB HE AC

0
40B =
100
0
KL a/Tìm cạnh lớn
A C b/
ABCV
?
a/ Trong tam giác ABC ta có:
Góc A là góc tù, vậy cạnh lớn nhất là cạnh BC.
b/Tam giác ABC là tam giác gì?
Xét tam giác ABC ta có:
µ µ
µ
µ µ
µ
0
0
0 0
180
40
100 , 40
A B C
C
A B

+ + =

⇒ =


Xét
DBCV
ta có:
µ
µ
0
2
0
90
90 ( )
DBC
B
C gt


⇒ <

>


V
Do đó
µ
µ
2
C B>
DB DC
⇒ >
(1)
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác).



V
(2)
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra DA > DB > DC
(tính chất bắt cầu)
Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất.
Bài 3.
Cho tam giác ABC có AB < AC.
a/Gọi M là trung điểm của BC. So sánh
·
BAM
và
·
CAM
.
b/Gọi AI là tia phân giác của góc A
(I
∈
BC). Chứng minh IB < IC.
Hướng dẫn:
A A

1 2

1

1


·
CAM
b/ IB < IC
a/Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = AM.
Ta có
AMB DMC
=
V V
(c-g-c)
Suy ra
µ
µ
1
A D=
(góc tương ứng).
AB = DC (cạnh tương ứng).
Tam giác ABC có AB <AC (gt)
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương
10
Mà AB = DC (cmt)
Suy ra DC < AC
Trong tam giác ADC có DC < AC
Do đó
µ
µ
2
D A>
(quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác).
Mà
µ

¶
0
1 2
0
1 2
180
180
B B
E E
+ =
+ =
Suy ra
µ
¶
2 2
B E=
Tam giác ABC ta có
µ
µ
2
B C>
(tính chất góc ngoài của tam giác).
Do đó
¶
µ
2
E C>

⇒
IC > IE (quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác) (2)

Cho tam giác ABC có
µ
B
và
µ
C
là hai góc nhọn. Gọi D là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, gọi
H và K là chân đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD.
a/ So sánh các độ dài BH và BD. Có khi nào BH = BD không?
b/ So sánh tổng BH + CK với BC.
A
H
B D C

K

ABCV
,
µ
B
và
µ
C
nhọn
D
∈
BC, BH
⊥
AD (H
∈

AD
⊥
BC.
-Bài tập 11/60 SGK
A
Chứng minh rằng:
Nếu BC < BD thì AC < AD

B C D
Ta có:
BC < BD
⇒
C nằm giữa B và D.
µ
·
0
90
ABC
ACB
B


⇒

=


V
nhọn
TRƯỜNG THCS PHƯỚC LONG –GIỒNG TRƠM-tp BẾN TRE. GV:Nguyễn Văn Tương

6. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Bài 18/63 SGK.
a/ 2cm, 3cm, 4cm.
Ta có 4cm < 2cm + 3cm
Do đó vẽ được tam giác.
b/ 2cm, 3,5cm, 1cm.
Ta có 3,5cm > 2cm + 1cm
Do đó không vẽ được tam giác.
c/ 2,2cm, 2cm, 4,2cm.
Ta có 4,2cm = 2cm + 2,2cm
Do đó không vẽ được tam giác.
Bài tập 19/63 SGK.
Hướng dẫn:
-Chu vi của tam giác cân là tổng ba cạnh của tam giác ấy.
-Gọi độ dài cạnh thứ ba của tam giác cân là x (cm) ,x > 0.
p dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
7,9 – 3,9 < x < 7,9 – 3,9
4 < x < 11,8
Vậy x = 7,9 cm.
Chu vi của tam giác cân là 19,7 cm.
7. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC.

Bài tập 24/66 SGK.

M
S
G
N R P
a)
2 1

= 5
2

⇒
BC = 5.
Bài tập 28 SGK
D
E I F
a/
)( . . )DEI DFI c c c=V V

b/ Từ a/ ta có:
·
·
DIE DIF=
Ta lại có:
·
·
0
180DIE DIF+ =
Nên
·
·
0
90DIE DIF= =
Vậy các góc đó là góc vuông.
c/
1 10
5 .
2 2

·
MBE MCE=
=45
0
suy ra tam giác BEC vuông cân tại E.
b/
·
·
BEH CEK=
vì cùng phụ với góc BEK.
c/
BEH CEK
=
V V
(cạnh huyền- góc nhọn).
Suy ra EH = EK
⇒
AE là tia phân giác của góc A.
9. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Bài tập 40/73 SGK.
a / ∆ ABD = ∆ ACD (c - g - c )
b / Từ a) suy ra BD = CD , Do đó ∆ BCD cân tạiD , Suy ra
·
DBC
=
·
DCB
Tam giác ABC cân tại A.
Suy ra Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc AM
Điểm I nằm trong tam giác ABC và cách đều ba cạnh của tam giác

A
C
M