Trờng THCS Thái Phơng Giáo án Bồi toán Hình học9
Bài tập bồi dỡng HSG chơng I - hình học 9
Chủ đề 1 : Hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
A. Kiến thức : Vận dụng các hệ thức trong tam giác vuông.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình thang ABCD có đờng cao AD = 12cm . Hai đờng chéo AC và BD vuông góc với
nhau , BD = 15cm . Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A
1) Biết hai trung tuyến AM = 3cm , BN = 4cm . Tính các cạnh của tam giác ABC.
2) Biết AB = a , hai đờng trung tuyến AM , BN vuông góc với nhau . Tính hai cạnh AC, BC theo
a.
3) Biết BC = 2a , BM, CN là hai trung tuyến . Tình MB
2
+ MC
2
theo a, từ đó tìm GTLN của
MB + MC theo a.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A ,đờng cao AH . Gọi HE, HF lần lợt là các đờng
cao của tam giác AHB và tam giác AHC .
1) Chứng minh BC
2
= 3 AH
2
+ BE
2
+ CF
2
2) Cho BC = 2a không đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của BE
2
+ CF
2

Bài 6 . Cho hình thoi ABCD , đờng cao AH . Cho biết AC = m ; BD = n và AH = h .
Chớng minh rằng :
1 1 1
= +
2 2 2
h m n
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A , AH và BK là hai đờng cao . Chứng minh rằng :

1 1 1
= +
2 2 2
BK BC 4AH
Bài 8 ,. Cho tam giác ABC nhọn , BD và CE là hai đờng cao cắt nhau tại H. Các điểm M và N nằm
trên các đờng thẳng HB và HC sao cho
ã
ã
0
AMC = ANB = 90
. Chứng minh AM = AN .
Bài 9 . Cho tam giác ABC nhọn , AH là đờng cao , trung tuyến AM. Chứng minh rằng :

2 2 2
) 2 .a BC AB AC AB AH= +
b)
2
2 2 2
2
2
BC
AM AB AC+ = +

Bài 2 .Cho tam giác ABC nhọn BC = a , AB = c , AC = b. Chứng minh rằng :
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cosA
Bài 3. Cho tam giác ABC có các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Chứng minh rằng :
cotgB + cotg C
2
3

.
Bài 4 . Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , AB = c , AC = b. Chứng minh :

2 2
2
2
2
) ) l =
( )
a
b b c
a tgB b
a c b c
=
+ +
( l
a

A B C
S
=
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b, BC = a . Chứng minh rằng :
a)
A A B C 1
sin b) sin .sin .sin
2 2 2 2 8
2
a
bc

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , AD là phân giác ( AB < AC ) . Chứng minh :

1 1 2
+ =
AB AC AD
Bài 9. Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4cm. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB
, AC . Nối CM vad DN cắt nhau tại P .
a) Chứng minh CM

DN .
b) Tính tỉ số lợng giác của góc CMN.
c) Tính diện tich tam giác MDN.
Bài 10.Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng :
a) sin
2011
B + cosB
5
4

=2S
AGO
Bài 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a . Gọi R và r lần lợt là hai bán kính của đờng tròn ngoại tiếp các
tam giác ABD và ABC.
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 4
R r a
+ =
Bài 4 . Cho hình vuông ABCD cạnh a , gọi E và F là hai điểm di động trên cạnh AB và AD sao cho
AE + EF + AF = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên EF .
a) Chứng minh H thuộc một đờng tròn cố định .
b) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất .
Bài 5. Chứng minh rằng trong một tam giác , chín điểm gồm trung điểm của ba cạnh , chân các đ-
ờng cao , trung điểm của các đoạn thẳng nối từ các đỉnh tam giác đến trực tâm cùng thuộc một đ-
ờng tròn ( Đờng tròn Euler)
Bài 6. Trong mặt phẳng cho 2011 điểm và trong ba điểm bất kì bao giờ cũng tìm đợc hai điểm có
khoảng cách giữa chúng bé hơn 1. Chứng minh rắng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa
không ít hơn 1006 điểm .
II. Đờng kính và dây của đờng tròn.
Bài 1. Cho nửa đờng tròn (O) , đờng kính AB và một dây CD . Vẽ AP và BS vuông góc với CD ( P ,
S thuộc CD ) . Chứng minh rắng :
a) P và S nằm ngoài đờng tròn tâm (O) .
b) PC = DS
c) S
APSB
= S
ACB
+S
ADB

. Vẽ OM và PH
vuông góc với AB .
a) Tính MP
2

+ MO
2
và HP
2
+ HO
2
theo R
b) Gọi I là trung điểm OP . Tính IM
c) Tìm vị trí của M để diện tích của tam giác OMP lớn nhất . Tìm giá trị lớn nhất đó.
GV : Đặng Văn Phơng Năm Học 2010 - 2011
Trờng THCS Thái Phơng Giáo án Bồi toán Hình học9
Bài 9 . Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định nằm trong (O) . Hai dây AC và BD
thay đổi nhng luôn vuông góc với nhau tại P .
a) Chứng minh : AC
2
+ BD
2
không đổi .
b) Xác định vị trí của AC và BD sao cho diện tích của tứ giác ABCD lớn nhất .
Bài 10. Cho hình vuông OAPQ . Trên cạnh PQ và PA lần lợt lấy điểm E và F di động sao cho
QE + AF = EF . Vẽ đờng thẳng qua O vuông góc với OE cắt đờng thẳng AP tại G .
1) Chứng minh :
OQE OAG =

2) Kẻ OH vuông góc với EF tại H . Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đờng tròn cố định .

A. Kiến thức cần nhớ .
1. Ba vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn , hệ thức liên hệ giữa d và R .
2. Tiếp tuyến của đờng tròn , tính chất của tiếp tuyến
3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến .
4. Cách vẽ tiếp tuyến .
5. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
6. Đờng tròn nội tiếp tam giác , tam giác ngoại tiếp đờng tròn , đờng tròn bàng tiếp.
B. Bài tập
I . Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn.
Bài 1 .Cho đờng tròn (O ; R ) và đờng thẳng d không giao nhau . A là điểm bất kì trên (O) .
Xác định điểm A để khoảng cách từ A đến đờng thẳng d là lớn nhất .
Bài 2 . Cho điểm A nằm ngoài (O ; R ) . Đờng thẳng d đi qua A , gọi B ,C là giao điểm của đờng
thẳng d và đờng tròn (O) . Xác định vị trí của đờng thẳng d để tổng AB + AC nhỏ nhất .

GV : Đặng Văn Phơng Năm Học 2010 - 2011
Trêng THCS Th¸i Ph¬ng Gi¸o ¸n Båi to¸n H×nh häc9
GV : §Æng V¨n Ph¬ng N¨m Häc 2010 - 2011