đề cơng ôn tập cuối năm
Môn toán lớp 9
A . Phần đại số
* Những kiến thức cần nhớ
1. Căn bâc hai :
x là căn bậc hai của a

x
2
= a

a
là căn bậc hai dơng hay căn bậc hai số học của a
-
a
là căn bậc hai âm của số a

a
chỉ có nghĩa ( xác định ) khi a

0

( )
0; bababa

AA =
2
với A là một số hoặc một biểu thức chứa biến

( )
0;0 = BABABA

BA
B
A
( Khử mẫu của biểu thức lấy căn )

( )
0
.
>= B
B
BA
B
A
( Trục căn thức ở mẫu )

( )
BABA
BA
BA
BA


=

;0;0
1
( Trục căn thức ở mẫu )

( )
( )

x
) < f(
2
x
)
* Hàm số y = f(x) nghịch biến trên ( a ; b ) nếu với mọi
21
xx <
trên ( a ; b ) ta có
f(
1
x
) > f(
2
x
)
3. Hàm số bậc nhất
Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b
Trong đó a;b là các số thực xác định và a

0 ( Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax)
Tính chất
* Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R
* Trên tập hợp số thực R ,hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi
a < 0.
Đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc tọa độ
Đờng thẳng y = ax nằm trong góc ( I ) và ( III ) khi a > 0, nằm trong góc ( II ) và ( IV ) khi a
< 0.
Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax
* Xác định tọa độ điểm A(1;a)

- Cho x = - 1

y = - a + b , ta có điểm B (- 1 ; - a + b)
* Cách 2. Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ :
- Cho x = 0

y = b , ta có điểm P ( 0 ; b )
- Cho y = 0

x =
a
b
, ta có điểm Q (
a
b
; 0 )
Vẽ đờng thẳng qua A và B hoặc qua P và Q ta đợc đồ thị của hàm số y = ax + b
Hệ số góc của đờng thẳng Hai đờng thẳng song song Hai đờng thẳng cắt nhau
Hai đờng thẳng trùng nhau :
* Hai đờng thẳng song song : Đờng thẳng y = ax + b ( a

0 ) song song với đờng thẳng y
,
= a
,
x + b
,
( b
,


= a
,
x + b
,
( b
,


0 ) khi và chỉ khi a = a
,
và b = b
,
Hệ số góc của đờng thẳng :
* Góc hợp bởi đờng thẳng y = ax + b và tia 0x
- Nếu a > 0 thì nhọn , a càng lớn thì càng lớn , nhng < 90
0
- Nếu a < 0 thì tù , a càng lớn thì càng lớn , nhng < 180
0
* Các đờng thẳng song song với nhau sẽ tạo ra những góc bằng nhau. Hay các đờng thẳng
có các hệ số a bằng nhau thì tạo với tia 0x những góc bằng nhau.
* Ngời ta gọi a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b ( a

0 ) và a còn gọi là hệ số về độ
dốc của đờng thẳng này.
4. Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn :
Định nghĩa :
* Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng : ax + by = c ( 1)
( Trong đó a , b và c là các số đã biết ; a

0 hoặc b

* Trong công thức ( 2 )
b
c
x
b
a
y +=
là một hàm bậc nhất với biến x nên đồ thị của nó là một
đờng thẳng : - Đi qua gốc tọa độ nếu c = 0 .
- Không đi qua gôc tọa độ nếu c

0.
Nh vậy mỗi nghiệm của phơng trình ( 2 ) đợc biểu diễn tại một điểm trên đờng thẳng d và
tập hợp nghiệm của ( 2 ) là đờng thằng d.
* Nếu a = 0 ; b

0 ta có y =
b
c
. Nên phơng trình (1) có nghiệm là :





=

b
c
y

)1(
,,,
cybxa
cbyax
Trong đó ax + by = c và a
,
x + b
,
y = c
,
là những phơng trình bậc nhất hai ẩn.
* Nghiệm của hệ phơng trình là nghiệm chung của hai phơng trình ( 1 ) và ( 2 )
Nếu hai phơng trình này không có nghiệm chung thì hệ ( I ) vô nghiệm .
*Giải hệ phơng trình là tìm tập hợp nghiệm của nó.
Minh hoạ hình học
*Các cặp số thoả mãn cả hai phơng trình ( 1 ) và ( 2 ) phải đồng thời nằm trên cả hai đờng
thẳng ( 1 ) và ( 2 ) . Vậy chúng là điểm chung của hai đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 ).
Nh vậy ta có cách giải nh sau :
-Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 )
- Xác định giao điểm ( nếu có ) của hai đờng thẳng ( 1) và ( 2 )
- Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phơng trình.
*Hai đờng thẳng ( 1 ) và ( 2 ) có thể :
- Cắt nhau tại 1 điểm . Hệ phơng trình ( I ) có một nghiệm duy nhất.
- Song song với nhau . Hệ phơng trình ( I ) vô nghiệm .
- Trùng nhau . Hệ phơng trình vô số nghiệm .
Hệ phơng trình tơng đơng :
* Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Nghĩa là
mỗi nghiệm của phơng trình này cũng là nghiệm của phơng trình kia và ngợc lại .
( Kí hiệu để chỉ sự tơng đơng là


đồng biến khi x < 0 ; nghịch biến khi x > 0.
* Chú ý :
- Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x 0 và y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x 0 và y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số .
8. Ph ơng trình bậc hai một ẩn :
Định nghĩa .
Phơng trình bâc hai một ẩn là phơng trình có dạng : ax
2
+ bx + c = 0 ( x là ẩn số , a; b ;c là
hệ số ; a 0 )
Cách giải :
* Trờng hợp c = 0 , phơng trình có dạng ax
2
+ bx = 0

x( a x + b ) = 0. Giải phơng trình
này ta tìm đợc nghiệm của phơng trình
* Trờng hợp b = 0 , phơng trình có dạng ax
2
+ c = 0

x
2
=
a
c
, muốn gải phơng trình
phải khia phơng hai vế
- Nếu c và a khác dấu thì
a

2
=
a
b
2

* Công thức nghiệm thu gọn : ( b = 2b
,
) Ta có :
,
= b
,2
ac
- Nếu
,
< 0 thì phuơng trình vô nghiệm
- Nếu
,
= 0 thì phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b

- Nếu
,
> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x
1

1
= 1
và x
2
=
a
c

* Phơng trình ax
2
+ bx +c = 0 (a 0) có a b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1 và x
2
= -
a
c
* Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P , ta chỉ cần giải
phơng trình x
2
Sx + P = 0 . Nếu phơng trình có hai nghệm thì hai số đó là nghiệm của phơng
trình này, nếu phơng trình vô nghiệm thì bài toán không có lời giải.
10. Ph ơng trình quy về bậc hai
Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta làm nh sau :
- Bớc 1. Tìm điều kiện xác định của phơng trình.
- Bớc 2. Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu.
- Bớc 3. Giải phơng trình vừa tìm đợc.
- Bớc 4. Trong các giá trị tìm đợc của ẩn , loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác

của ẩn số và đó là lời giải của bài toán .