Số mũ
1. a
n
= a.a a ( n số a , n ∈ Z , n > 1 ) “ đọc là : a lũy thừa n hay a mũ n”.* Qui ước: a
1
= a
2. Với a ≠ 0 và n là số nguyên dương ta có đònh nghóa sau: a
0
= 1 ; a
–n
=
n
a
1
3. Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Cho a,b ∈ R, a ≠ 0 , b ≠ 0 và m , n ∈ Z
* a
m
.a
n
= a
m+n
*
nm
n
m
a
a
a
−
=
.
n
m
n
m
aa =
( a > 0 ) (
2
1
aa =
,
n
n
aa
1
=
)
Bài tập
I. Thực hiện phép tính
1/
242123
2.4.8
−−−+
2/
5,0
75,0
3
2
25
333
33
: baab
ba
ba
B −
−
+
+
=
2
31
13
13
3
.
−
−−
+
−
aa
a
E
,
7172
72
5.2
10
++
+
=F
G =
33
257257 −++
, H =
324324 −−+
, K =
33
809809 −++
LÔGARIT
I. Đònh nghóa lôgrit:
Cho 0 < a ≠ 1 và b > 0. Lôgirt theo cơ số a của b là một số , số đó ký hiệu là:
log
a
b .
bamb
m
a
=⇔=
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
( x
1
, x
2
∈ ( 0 ; + ∞ ) )
*
2a1a
2
1
a
xlogxlog
x
x
log −=
( x
1
, x
2
b.log
b
a = 1 ;
xlogxlog
a
a
β
α
=
α
β
( trong điều kiện có nghóa )
n
a
a
xx
n
loglog =
log
a
x
2
= 2log
a
| x | ( x ≠ 0 )
1/ logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân . Thay vì viết log
10
x, ta viết : lgx , hay logx
đọc là lôgarít thập phân của x
1
81log
5/
3log1
5
5
+
6/
10log18log15log
999
−+
7/
3
333
45log3400log
2
1
6log2 +−
8/ Cho log
a
b = 3 và log
a
c = –2. Tính:
a/
( )
cba
a
23
log
b/
cba
a
9/
6log
1
6log
1
32
+
10/
6log
1
6log
1
94
+
11/
)(log
1
)(log
1
abab
ba
+
12/ Cho a, b, c dương và khác 1. Chứng minh:
ab
cc
ba
loglog
=
aaa
xx
ln.
/
=
( )
aaua
uu
ln.
/
/
=
( )
xx
ee =
/
( )
uu
eue .
/
/
=
( )
ax
x
a
ln
1
log
/
1
log
/
=
( )
au
u
u
a
ln.
log
/
/
=
( )
x
x
1
ln
/
=
( )
u
u
u
/
/
ln =
Tính đạo hàm các hàm số sau.
1/
cos1
sin
ln
+
=
7/
x
x
y
−
+
=
1
1
ln
8/
(
)
4ln
2
++= xxy
Phương trình mũ và logarit
I/ Đưa về cùng cơ số: Cho a > 0 và a ≠ 1
* a
x
= a
y
⇔ x = y *
( )
0log >=⇔= mmxma
( )
21272log
2
2
=+− xx
3/ 3
x + 4
+ 3.5
x + 3
= 5
x + 4
+ 3
x + 3
4/ log
2
x(x –1) = 1 5/ log
2
x + log
2
(x –1) = 1 6/
505
5lglg
=+ x
x
ĐS: x = 100
7/
xxxx 232
2.113.23.104 −=−
++
ĐS: x = 3 8/
65log
3
3
2
2
9
−+
−
=+− x
x
xx
ĐS:
3
5
11/ log
2
x + log
3
x + log
4
x = log
5
x ĐS: x = 1
12/ log
4
(log
2
x) + log
2
(log
–17.4
x
+ 16 = 0 2/
14487487 =
−+
+
xx
3/
33loglog4
9
=+
x
x
4/
( )
12log.9log
2
3
=−+−+
−−
xx
xx
ĐS:
2
7
;3
8/
( )
03510325.3
22
=−+−+
−−
xx
xx
9/
x
x
x
x
2
2
1
8;4;
4
1
;
8
1
10/
02.96.453
2242
=−+
++ xxx
ĐS: x = –2
11/
1444
7325623
222
+=+
+++++− xxxxxx
ĐS: {–5 ; –1 ; 1 ; 2 }
12/
( ) ( )
251lg1lg
3
2
263
+−+−+−
=+
xxxxxx
ĐS: {1 ; 2}
16/
( )
x
x
x
4
4
log
2
10log.2log21 =−+
ĐS: {2 ; 8}
17/
1loglog3log1
244
−=−+ xxx
ĐS: {2}
III/ Sử dụng tính đơn điệu. Cho hai hàm số f(x) và g(x)
1/ Nếu f luôn đồng biến và g luôn nghòch biến thì phương trình :
f(x) = g(x) không quá một nghiệm
2/ Nếu f luôn đồng biến ( hoặc luôn nghòch biến) thì phương trình:
f(x) = k ( k: hằng số) không quá một nghiệm
Giải các phương trình sau
1/ 2
x
= 11 –x 2/ log
loglog =+
Hệ phương trình mũ và logrit
Giải các hệ phương trình sau
1/
+=+
=+
15log1loglog
11
222
yx
yx
ĐS: (5 ; 6), (6 ; 5)
2/
( )
( ) ( )
=−−+
+=+
3lglglg
8lg1lg
22
yxyx
yx
ĐS: (8 ; 4) 3/
( )
=+−
=−
+
023.64
523
1
yx
xy
ĐS: (2 ; 1)
6/
=
=
+ yx
yx
273
322.4
18
ĐS: (1 ; 3) 7/
=−
=+
x
> a
y
⇔ x > y
• a
x
> m . * m ≤ 0 ⇒ x∈ R * m > 0. a
x
> m ⇔ x > log
a
m
•
>
>
⇔>
yx
y
yx
aa
0
loglog
*
m
a
axmx >⇔>log
• a
x
a
x là các hàm số nghòch biến trên tập xác đònh của nó)
• a
x
> a
y
⇔ x < y
• a
x
> m . * m ≤ 0 ⇒x∈ R * m > 0. a
x
> m ⇔ x < log
a
m
•
<
>
⇔>
yx
x
yx
aa
0
loglog
*
m
a
Giải các bất phương trình sau
I/ Cùng cơ số
1/
4
2
1
45
2
>
+− xx
ĐS: 2 < x < 3 2/
13732
3.26
−++
<
xxx
ĐS: x > 4
3/
0
1
21
loglog
2
3
≤
x
ĐS:
4
1
0 ≤< x
5/
( )
( )
86log105log
2
5,05,0
++<+ xxx
ĐS: –2 < x < 1
6/
( ) ( )
12log3log
22
≤−+− xx
ĐS: 3 < x ≤ 4
7/
( )( )
123log
2
1
log ≥
−x
x
ĐS:
1
4
1
<< x
11/
1loglog1log
9
9
12
<
−+ xx
6
2
6
<+
ĐS:
6x
6
1
<<
16/
125.3.2
2x1xx
≥
−−
ĐS: x ≥ 2
II/ Đặt ẩn phụ. Giải các bất phương trình sau
1/
0833
2
>+−
+−xx
ĐS: x > 0
2/
044loglog
2
2
2
≥−+ xx
ĐS:
2
1
−≥+
+
ĐS: x ≥ 2
6/
( ) ( )
1
1
1
223223
+
−
−
−≥+
x
x
x
ĐS:
[
)
[
)
∞+∪−− ;11;2
7/
2
lg2lglg1
3.264
xxx ++
>−
10/
4log.27log.
9
2
+> xxx
x
ĐS: x > 2
11/
13
1
53
1
1
−
≤
+
+xx
ĐS:
(
]
1;1−
12/
( )
101
243
1
14/
233
5lglg2
2
−<
++ xx
ĐS:
100
1
>x
15/
04.66.139.6
xx2xx2xx2
222
≤+−
−−−
ĐS:
1x
2
1
≤≤−
III/ Một số bài toán có tham số
1/ Tìm m để phương trình:
0121loglog
2
3
2
3
5/ Xác đònh các giá trò của m để bpt sau có nghiệm: 4
x
– m2
x+1
+ 3 –2m ≤ 0
ĐS: m ≥ 1
6/ Tìm để phương trình sau có nghiệm .
( )
( )
023log6log
2
25,0
=−−++ xxxm
ĐS: –6 < m < 18
7/ Xác đònh m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
m
xx
=−++ 3232
ĐS : m ≥ 2
8/ Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
0
1
log12
1
log12
1
log2
22
m
m
x
m
m
ĐS: 0 < m < 1
9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
3lglg
2
−=+ xmxx
ĐS: m > –3
10/Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x:
0323)1(29 >−−+− mm
xx
ĐS:
2
3
−≤m
11/ Tìm m để với mọi x thuộc đoạn [0 ; 2] đều thỏa mãn bất phương trình:
( )
5mx2xlog4mx2xlog
2
4
2
2
≤+−++−
ĐS: 2 ≤ m ≤ 4
IV. Một số bài toán khác
2
2
2
4
2
4
3xlog103xlog239xlog8 −+=++−
ĐS: x = –7
5/ Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( )
( )
++=+
=−
y3xlog
2
1
y4x4log
224
4
22
4
xylogxylog
33
ĐS:
ĐS: (2 ; 1)
7/ Giải bất phương trình:
( ) ( )
x
3
2
110110
xlogxlog
33
≥−−+
ĐS: x ≥ 3
8/ Giải hệ phương trình:
( )
=+
=++
−++ 1x3y2yx
2
2.1728.2
67x3ylog
ĐS:
( ) ( )
2
2
2
21x22
2
2
1
−++−=−−+−
+
ĐS:
−= 2;
2
1
;
4
1
S
11/ Giải phương trình:
( )
1224
2
22
1xx1xx
+=+
=
=
3lg4lg
ylgxlg
y3x4
43
ĐS:
3
1
;
4
1
15/ Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
=−−
=+−−+
++
0224
01yx3xy2x2
2222
yxyx
2
ĐS:
( ) ( ) ( )
2222.2.2
12422223324212233
===
−−−++−−−+
2/
5,0
75,0
3
2
25
16
1
27 −
+
−
=
12589251627
4
3
3
2
=−+=−+
3/
5152
+−+++−= aaaaaaA
=
( )( )( )
111
44
+−++−+ aaaaaa
=
( )( )
11211
22
++=−++=−+++ aaaaaaaaa
( )
2
333
33
: baab
ba
ba
B −
−
+
+
+−+
=
( ) ( ) ( )
1:.2
2
33
2
33
2
3
=−
+− bababa
2
31
13
13
3
.
−
−−+
5152
53
3.2
6
++
+
=D
=
183.2
3.2
3.2
21
5152
5353
==
++
++
( )
2327
15
15
.
+−−
−
+
=
aa
a
E
33
257257 −++=G
⇔
GG .257.257.3257257
33
3
−++−++=
⇔
20143
3
=⇔=−+ GGG
324324 −−+=H
=
( ) ( ) ( ) ( )
2131313131313
22
=−−+=−−+=−−+
33
809809 −++=K
⇔
KK .809.809.3809809
33
3
−++−++=
⇔
30183
3
=⇔=−− KKK
Thực hiện phép tính
2
=
( )
62log
6
2
=
4/
3
3
1
81log
=
3
4
3
1
3log
=
3
4
3log
1
3
4
3log
3
3
4
3
27log
10
270
log
399
===
7/
3
333
45log3400log
2
1
6log2 +
=
481log
20
45.36
log45log20log36log
33333
===+
8/ Cho log
a
b = 3 vaứ log
a
c = 2. ( 0 < a 1).Tớnh:
a/
( )
cba
a
11614log3log
3
1
4logloglog
34
3
1
=++=+=+ cbcba
aaaaa
c/
3
3 45 22
log
bc
cba
a
=
1
2
+=
cba
a
=
15
38
9/
6log
1
6log
1
32
+
=
16log3log2log
666
==+
10/
6log
1
aacc
baaa
log
log
loglog.loglog
===
13/ Cho a = log
3
15 vaứ b = log
3
10. Tớnh:
50log
3
theo a vaứ b
( )
3log15.10log
3
1
3
15.10
log
3
1
50log
333
3
==
=
( )
3log15log10log
(5.3) = 1 + b c/ log
5
12 = log
5
(2
2
.3) = 2a + b
d/ log
5
30 = log
5
(5.2.3) = 1 + a + b
Tớnh ủaùo haứm caực haứm soỏ sau.
1/
x
ey
sin
=
x
xey
sin/
cos=
2/ y = (sin2x + cos2x)e
2x
( ) ( )
xx
exxexxy
22/
+
+
=
=
( )
2
4
xx
ee
+
4/
x
e
x
y
1
=
( )
( )
x
x
xx
e
x
e
exe
y
x
x
x
x
y
cos1
sin
sin
cos
/
+
=
=
( )
xx
xxx
cos1sin
sincoscos
22
+
++
=
xsin
1
7/
x
x
y
y
−
=
+−
=
−
−
−
+
=
8/
(
)
4ln
2
++= xxy
⇒
4
1
4
4
1
22
2
>>
⇔=
yx
yhayx
yx
aa
0:0
loglog
*
m
a
axmx =⇔=log
Giải các phương trình sau.
1/
2162
2
5
6
2
=
−− xx
⇔
2
9
2
5
6
22
2
=
5
3
5.23.2
3
33
=⇔=+⇔=
⇔=
+
++
xx
x
xx
4/ log
2
x(x –1) = 1 ⇔ x
2
–x = 2 ⇔ x
2
–x –2 = 0 ⇔ x = –1 ∨ x = 2
5/ log
2
x + log
2
(x –1) = 1 . Điều kiện:
x
xx
xxx
lg
lg
5log5log.log
5lg
5
10
===
505
5lglg
=+ x
x
⇔
2lglg
55505.2 =⇔=
xx
⇔ lgx = 2 ⇔ x = 100
7/
xxxx 232
2.113.23.104 −=−
++
⇔
xxxx
4.113.543.104.16 −=−
⇔
xx
3.644.27 =
⇔
( )
10lg12lg9212lg
2
++=++ xxx
⇔
( )
( )
1210lg9212lg
2
+=++ xxx
⇔
+=++
>+
20209212
012
2
xxx
x
⇔
=−+
−>
0112
−>
<
−≠
⇔
>+
>−
≠+
x
x
x
x
x
x
x
( ) ( ) ( )
3
4
1
3
4
x
⇔
24224
2
+−−=+ xxx
Với
( )
2;6 −−∈x
.Phương trình trở thành:
( )
24224
2
+−−=+− xxx
⇔ x
2
–2x –32 = 0
Với
( )
4;2−∈x
.Phương trình trở thành:
( )
24224
2
+−−=+ xxx
⇔ x
2
+6x –16 = 0
ĐS: 2 ;
331−
≠−
>−
≠+−
1
32
03
01
065
x
xx
x
x
xx
3log
2
1
log65log
33
2
3
−+
−
=+− x
x
xx
⇔
3.
2
1
5
=x
11/ log
2
x + log
3
x + log
4
x = log
5
x
⇔
xxxx
5545352
loglog.5loglog.5loglog.5log =++
⇔
xx
55432
loglog)5log5log5(log =++
⇔ log
5
x = 0 ⇔ x = 1
12/ log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
2
1
loglog
44
=x
⇔ log
4
x = 2 ⇔ x = 16
13/ 3.log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x = 2 ⇔
16log2log.
4
1
.
3
1
.
2
1
.3
4
2
4
mx
= t
m
Nết đặt: t = log
a
x thì không có điều kiện của t, khi đó:
mm
a
tx =log
Giải các phương trình sau:
1/ 16
x
–17.4
x
+ 16 = 0⇔
=
=
⇔
=
=
⇔=+−
2
0
−
+
xx
14487487 =
−+
+
xx
⇔
+= tt
x
.Phương trình trở thành
( )
+=−=
+=
⇔=+−
−1
2
487487
487
0114
t
t
tt
Với
2
487487
+=+=t
⇒ x = 2
x
⇔
3
log
1
log2
3
3
=+
x
x
⇔
01log3log2
3
2
3
=+− xx
⇔
=
=
2
1
log
1log
3
3
129log.log.log
2
33
=xxx
x
⇔
( )
129log.log
2
33
=xx
⇔
( )
12log22.log
33
=+ xx
⇔
−=
=
⇔=−+
3log
2log
06loglog
3
3
3
2
=
=
2log
1log
3
3
x
x
⇔
=
=
4log
1log
3
3
x
x
⇔
=
=
81
3
x
x
xx
xx
Đặt
( )
04
3
>=
−
tt
x
. Phương trình trở thành
( )
0286
2
=−+−+ xtxt
.
( ) ( ) ( )
2
2
2
2442846 −=+−=−−−=∆ xxxxx
. Khi đó:
( )
0286
2
=−+−+ xtxt
⇔
x
Với t = 4 –x ta được
x
x
−=
−
44
3
• x = 3 là nghiệm
• x > 3 hay x –3 > 0. Vì:
x
x
x
x
−>⇒
<−
>
−
−
44
14
14
3
3
• x < 3 hay x –3 < 0. Vì:
x
x
=−+−+
−−
xx
xx
Đặt
( )
05
2
>=
−
tt
x
. Phương trình trở thành
( )
031033
2
=−+−+ xtxt
.
( ) ( ) ( )
2
2
2
8364489312103 −=+−=−−−=∆ xxxxx
. Khi đó:
( )
031033
2
=−+−+ xtxt
⇔
5
5
2
−=⇔=
−
x
x
Với t = 3 –x ta được
x
x
−=
−
35
2
• x = 2 là nghiệm
• x > 2 hay x –2 > 0. Vì:
x
x
x
x
−>⇒
<−
>
−
−
35
13
3log2
5
−
9/
x
x
x
x
2
2
1
2
2
3
2
2
1
4
2
log4
32
log9
8
loglog =
loglog =
+
−
⇔
( )
( )
2
2
2
22
2
3
2
4
2
2
log4log259
2
log3log =−+
−
⇔
[ ]
xxxx
2
22
2
2
4
2
log4log18451log9log =−+−−
⇔
036log13log
2
8;4;
4
1
;
8
1
10/
02.96.453
2242
=−+
++ xxx
⇔
04.366.459.81 =−+
xxx
⇔
036
2
3
.45
4
9
.81 =−
xx
⇔
=
−=
9
4
x
11/
1444
7325623
222
+=+
+++++− xxxxxx
⇔
14.444
56235623
2222
+=+
+++−+++− xxxxxxxx
Đặt:
( )
0;0
4
4
56
23
2
2
>>
=
=
23
2
2
xx
xx
⇔
=++
=+−
056
023
2
2
xx
xx
ĐS: {–5 ; –1 ; 1 ; 2 }
12/
( ) ( )
251lg1lg
3
2
2
4
=−+− xx
Điều kiện: x > 1
( ) ( )
251lg1lg
25
lg
1lg
2
2
x
x
ĐS: { 11 ;
10
11
}
13/ log
2
x.log
3
x = 2log
2
x + 3log
3
x –6 Điều kiện : x > 0
log
2
x.log
3
x = 2log
2
x + 3log
3
x –6 ⇔ log
2
93.11log33log3log1
5
1
55
−=++−
+ xx
x
⇔
( ) ( )
93.11log33log3log
5
1
5
1
5
−=++
+− xxx
⇔ ⇔
( ) ( )
93.11log333log
5
11
5
−=+
+− xxx
⇔
( )
93.11333
11
+−+−+−
=+
xxxxxx
⇔
2
2
3
4
9
.3
1313
22
=
+
+−+− xxxx
⇔
02
2
=
−=
+−
+−
3
2
2
3
1
2
3
13
13
2
2
xx
xx
loai
log
2
10log.2log21 =−+
Điều kiện:
>−
≠<
010
10
x
x
⇔
<
≠<
10
10
x
x
( )
x
x
x
4
4
log
Điều kiện: x ≥ 1
1loglog3log1
244
−=−+ xxx
⇔
( )
( )
1log2log3log1log21
4444
−++=− xxxx
⇔
( )
( )
01log21log3log1
444
=−+++ xxx
III/ Sử dụng tính đơn điệu.
1/ 2
x
= 11 –x
• x = 3 là nghiệm
• x > 3
x
x
x
x
−>⇒
<−
=>
3log
83
12loglog
2
22
• 0< x < 2
xx
x
x
−<⇒
>−
<
3log
13
1log
2
2
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
3/ 3
x
+ 4
x
5
4
5
4
5
3
5
3
2
2
<
+
⇒
x
• x < 2
1
5
4
5
3
5
4
5
4
5
3
5
3
2
2
>
+
xx
x
x
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
4/ 9
x
+ 2( x –2).3
x
+ 2x –5 = 0 ⇔ 3
2x
+ 2( x –2).3
x
+ 2x –5 = 0
Đặt
( )
03 >= tt
x
. Phương trình trở thành
( )
05222
2
=−+−+ xtxt
.
( ) ( ) ( )
2
253
325
33
−>⇒
<−
>
• x < 1 . Vì:
x
x
x
x
253
325
33
−<⇒
>−
<
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
5/ 25
x
–2(3 –x ).5
x
+ 2x –7 = 0
Đặt
143
Với t = 7 –2x ta được
x
x
275 −=
• x = 1 là nghiệm
• x > 1. Vì:
x
x
x
x
275
525
55
−>⇒
<−
>
• x < 1. Vì:
x
x
x
x
275
525
55
−<⇒
( )
0265
2
=−+−+ xtxt
⇔
−=
+−+−
=
=
−++−
=
x
xx
t
xx
t
3
2
15
2
2
15
Với
2=t
( )
xx
x
x
−<+⇒
>−
=<+
31log
13
13log1log
3
33
• Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (1)
Tập nghiệm của phương trình đã cho S = { 2 ; 8}
7/
( )
xxx
64
63
6
loglog =+
Điều kiện: x > 0
Đặt:
t
xxt 64log
64
=⇔=
⇔=+⇔=+
tt
ttttt
t
(1)
• t = 1 là nghiệm
• t > 1
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
1
1
1
<
<
t
x
t
• t < 1
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
>
>
t
x
t
• t = 1 là nghiệm duy nhất của (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 64
Hệ phương trình mũ và logrit
22
xy
yx
⇔
=
=+
30
11
xy
yx
.
x, y là nghiệm phương trình: X
2
–11X + 30 = 0 ⇔
=
=
6
5
X
X
. Nghiệm của hệ:(5 ; 6), (6 ; 5)
2/
( )
( ) ( )
+=+
yxyx
yx
lg3lglg
8lg10lglg
22
⇔
( )
( ) ( )
−=+
=+
yxyx
yx
3lglg
80lglg
22
⇔
=
=+
⇔
−=+
y
2
16
2
⇔
−=
−=
=
=
8
4
8
4
x
y
x
y
=
+
3
9722.3
3
yx
yy
⇔
+=
=
3
366
yx
y
⇔
=
=
5
2
x
y
ĐS: (5 ; 2)
4/
( ) ( )
=−−+
=++−
1log.3loglog
1loglog
353
33
yxyx
yxyx
Đặt
( )
( )
−=
+=
yxv
yxu
3
3
log
log
hệ trở thành
=−
=+
1.3log
1
=−
=+
1log
0log
3
3
yx
yx
⇔
=−
=+
3
1
yx
yx
⇔
=
=
1
2
y
x
5/
=++−
=−
025222
523.3
2 xx
xy
⇔
=−−
=−
082.22
523.3
2 xx
xy
⇔
x
ĐS: (2 ; 1)
6/
=
=
+ yx
yx
273
322.4
18
⇔
=
=
+
+
yx
yx
318
2
33
44
loglog
88
yx
yx
xy
Điều kiện: 0 < y ≠ 1 và x > 0
=−
=+
1loglog
4
44
loglog
88
yx
yx
xy
⇔
=−
=
1loglog
2
44
log
+=
=+
yx
yy
22
22
log2log
3loglog2
⇔
+=
=−+
yx
yy
22
2
2
2
log2log
03log2log
⇔
=
=
3log
1log
1log
3log
2
2
2
2
y
x
y
x
ĐS:
( )
2;8
,
8
1
;
2
>
xx
⇔ x
2
–5x + 6 < 0 ĐS: 2 < x < 3
2/
1373232
3.23.2
−+++
<
xxxx
⇔
13.2
44
<
−− xx
⇔
1
3
2
4
<
<
+
−
>
+
−
1
1
21
log
0
1
21
log
2
2
x
x
x
x
⇔
+
−
0
1
41
0
1
3
x
x
x
x
⇔
−>∨−<
<<−
4
1
1
01
xx
x
ĐS:
0
4
1
≥
−
x
x
⇔
4
1
0 ≤< x
5/
( )
( )
86log105log
2
5,05,0
++<+ xxx
⇔
++>+
>++
86105
086
2
2
xxx
xx
⇔
( ) ( )
12log3log
22
≤−+− xx
⇔
( )( )
123log
2
≤−− xx
⇔
045
2
≤+− xx
⇔ 1 ≤ x ≤ 4
So lại điều kiện, ta được:: 3 < x ≤ 4
7/
( )( )
123log
2
≤−− xx
⇔
≤+−
>+−
045
065
>
+
−
>
<
+
−
<<
1
1
>+−
<<
023
1
023
1
3
1
2
2
xx
x
xx
x
⇔
1
x
x
⇔ x ∈ (
3
1
; 2) \ {1}
9/
12
42
+−
>
xx
⇔
122
22
+−
>
xx
⇔
122 +>− xx
⇔ 3x
2
+12x < 0 ⇔
04 <<− x
10/
2
4
1
log ≥
≤
−
<<
012
1
4
14
1
4
1
2
2
x
x
x
x
x
⇔
1
4
1
<< x
11/
1loglog1log
9
9
12
<
2
1
log
2
1
log
9
9
x
x
⇔
3
3
1
<< x
12/
( )
21log
3
1
−≥−x
⇔
≤−
>−
91
01
x
x
⇔
<−
−>−
13log
13log
4
4
x
x
⇔
<
>
4log
2log
4
4
x
x
⇔
<
−x
⇔ x < 2
15/ Điều kiện:x > 0, x = 1 là nghiệm bất phương trình đã cho
12x6
xlogxlog
6
2
6
<+
⇔
(
)
12x6
xlog
xlog
xlog
6
6
6
<+
⇔
( )
12xx
xlog
xlog
08
3
9
3 >+−
x
x
⇔
093.83
2
>−+
xx
⇔
>
−<
13
33
x
x
⇔ x > 0
2/
044loglog
2
2
2
≥−+ xx
⇔
ÑS:
2
4
1
0 ≥∨≤< xx
3/
xxx
111
9.46.54.9
−−−
<+
⇔
xx
11
4
9
.4
2
3
.5.9
−−
<
−
xx
⇔
>
−<
4/
424
255
22
−≤−
+−+−+ xxxx
⇔
≤+−
−+−+
42.44
55
22
xxxx
0 ⇔
(
)
022
2
5
2
≤−
−+ xx
⇔
022
5
2
=−
−+ xx
⇔
125
1
22
xxx
x
⇔
=
−≥
x
x
24
1
⇔ x = 2
5/
( ) ( )
xxx
2.32log44log
12
2
1
2
1
−≥+
+
⇔
xxx
2.32.242
x
x
x
⇔
( ) ( )
1
1
1
223223
+
−
−
+≥+
x
x
x
⇔
1
1
1
+
−
≥−
x
x
x
⇔
01
1
1
)
∞+∪−−∈ ;11;2x
7/
2
lg2lglg1
3.264
xxx ++
>−
⇔
xxx lglglg
9.1864.4 >−
⇔
xx lglg
4
9
18
2
3
4
>
3
2
1
lg
<
<−
x
⇔ lgx < –2 . Vaäy:
∈
100
1
;0x
8/
( )
1log32log
44
2
−−
( )
1log.log125log
252525
<+ xx
⇔
( )
4log.log3
55
<+ xx
⇔
04log3log
5
2
5
<−+ xx
⇔
1log4
5
<<− x
. Vaäy:
∈ 5;
625
1
x
1
−
≤
+
+xx
⇔
0
13.3
1
53
1
≤
−
−
+
xx
⇔
( )( )
0
13.353
63.2
≤
−+
−
xx
x
⇔
331 ≤<
x
12/
ÑS: a > 1 ⇒ x > a
2
; 0 < a < 1 ⇒ 0 < x < a
2
13/ Ñieàu kieän: x > 0
243
3
log4
<
+ x
x
⇔
243loglog
3
log4
3
3
<
+ x
x
⇔
( )
5loglog4
33
<+ xx
⇔
1log505log4log
33
2
3
>
−<
9
1
3
27
2
3
lg
lg
x
x
⇔
100
1
2lg >⇔−> xx
15/
04.66.139.6
xx2xx2xx2
222
≤+−
−−−
04.66.139.6
xx2xx2xx2
222
2
3
3
2
xx2
2
≤
≤
−
⇔ –1 ≤ 2x
2
– x ≤ 1 ⇔
≤−−
≥+−
01xx2
01xx2
2
2
⇔
m
222
sincossin
3.32 ≥+
ĐS: m ≤ 4
4/ Xác đònh m để phương trình sau có nghiệm : 4
x
– 4m(2
x
–1) = 0
ĐS: m∈ (–∞ ; 0 ) ∪ [1 ; +∞ )
5/ Xác đònh các giá trò của m để bpt sau có nghiệm: 4
x
– m2
x+1
+ 3 –2m ≤ 0
ĐS: m ≥ 1
6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu : m.9
x
+ 3(m –1)3
x
–5 + 2m = 0
ĐS:0 < m <
2
5
7/ Xác đònh m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
m
xx
=−++ 3232
+
−
m
m
x
m
m
x
m
m
ĐS: 0 < m < 1
9/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
3lglg
2
−=+ xmxx
ĐS: m > –3
10/ Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x
0323)1(29 >−−+− mm
xx
ĐS:
2
3
236
032
xxxm
xx
⇔
+−−=
<<−
38
13
2
xxm
x
Xét:
( )
38
2
+−−= xxxf
trên khoảng
( )
1;3−
( )
82
/
−−= xxf
( )
40
/
( )
xlog3.xlog12xlog
2
2
2
4
2
−+
Đặt:
xlogt
2
=
x ∈ (1 ; 16) ⇒ t∈ (0 ; 4)
Xét:
( ) ( )
t3t12ttg
24
−+=
= t
4
+36t
2
–12t
3
trên (0 ; 4)
g
/
(t) = 4t
3
–36t
2
2
2
2
=−+− xx
⇔
( )( )
[ ]
81log124log
2
2
2
=−− xx
⇔ (2x
2
–x –8x + 4)
2
= 81 ⇔
−=+−
=+−
9492
9492
2
2
xx
xx
42xlgx6xxlg
2
++=+−−
Giải:
Điều kiện:
>+
>−−
02x
06xx
2
⇔ x > 3
( )
( )
42xlgx6xxlg
2
++=+−−
⇔
( )( ) ( )
42xlgx2x3xlg ++=++−
⇔
( )
x43xlg −=−
4/ Giải phương trình:
( ) ( )
2
2
4
2
⇔ x < –3 ∨ x > 3
( ) ( )
2
2
2
4
2
4
3xlog103xlog239xlog8 −+=++−
⇔
( )
( ) ( )
2
2
2
4
4
2
4
3xlog103xlog239xlog −+=++−
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
4
( )
( ) ( )
−=+
=+
vn53xlog2
23xlog2
2
4
2
4
⇔
13xlog
4
=+
⇔
43x =+
⇔
( )
−=
=
7x
loai1x
0222
xylogxyog2
33
=−−
⇔
( )
( )
( )
−=
=
vn12
22
xylog
xylog
3
3
⇔ log
3
(xy) = 1 ⇔ xy = 3
( )
( )
y3xlog
2
1
y4x4log
4
x
3
y
22
⇔
+=
+
=
x
1
x
x
3
4x4
x
3
y
−=
−=
3log.1xlogylog
1xlogylog2
222
2
2
1
3
Giải
Điều kiện: x > 0
( )
−=
−=
3log.1xlogylog
1xlogylog2
222
2
2
1
( )
−=
−=−
1xlogylog
1xlog1xlog2
23
2
22
⇔
−=
=+−
1xlogylog
01xlog2xlog
23
2
2
2
⇔
110110
xlogxlog
33
≥−−+
Giải:
Nhận xét:
( )( )
9110110 =−+
Điều kiện: x > 0
Đặt:
xlogt
3
=
⇔ x = 3
t
Bất phương trình trở thành:
( ) ( )
t
tt
3.
3
2
110110 ≥−−+
⇔
3
2
3
110
3
110
+
=
, ta được:
3
2
u
1
u ≥−
⇔ 3u
2
– 2u – 3 ≥ 0 ⇔
( )
−
≤
+
≥
vn
3
101
u
=+
=++
−++ 1x3y2yx
2
2.1728.2
67x3ylog
Giải
( )
=+
=++
−++ 1x3y2yx
2
2.1728.2
67x3ylog
⇔
=+
=++
++ x3y3yx3
2.1722.4
87x3y
−=
−
342.162.4
x31y
x3x3
⇔
=+−
−=
0.162.342.4
x31y
x3x6
⇔
=∨=
−=
−1x3x3
2282
x31y
⇔
1
1x2log1xlog
3
3
3
3
++−=+
⇔
( )
( )
1xlog1x2log1xlog
33
3
3
++−=+
⇔
( )
( )
1x1x2log1xlog
3
3
3
+−=+
⇔
( )
1x1x21x
3
+−=+
⇔
1x21xx
2
2
2
21x22
2
2
1
−++−=−−+−
+
ĐS:
−= 2;
2
1
;
4
1
S
Giải
Điều kiện:
≠+<
>−
+
⇔
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x25log.1x2log2x25log2x25log.x25logx25log
2221x22
2
2
−++−=−−+−
+
⇔
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
x25log.1x2log2x25log2
1x2log
x25log
.x25logx25log
222
2
2
2
2
2
−++−=
+
−
−+−
⇔
( )
++=
+
+−
=−
1x2log12
1x2log
1
1x25log
0x25log
2
2
2
2
⇔
( )
( )
( ) ( )
1xx1xx
+=+
+−+
⇔
( )
1222
2
22
1xx1x2x2
+=+
+−+
Đăt:
=
=
−
+
2
2
x1
x2x
2v
2u
, (u > 0, v > 0)
ta được: u + v = uv + 1 ⇔ u –uv + v –1 = 0 ⇔ u(1 –v) – (1 –v) = 0 ⇔ (u –1)(1 –v) = 0
⇔
0x
0
x1
1x
⇔ 0 < x < 1
xlog
x1
1x
log
2
2
1
−<
−
+
⇔
xlog
x1
1x
log
22
−<
−
+
−
⇔
xlog
x1
1x
log
=+
=
3yx
644.2
yx
Giải
=+
=
3yx
644.2
yx
⇔
=+
=
3yx
642.2
y2x
=−+
3yx
6x32x
2
⇔
( )
=+
=+−
3yx
012x12x3
2
⇔
=+
=
3yx
2x
⇔
=
=
3lg4lg
ylgxlg
y3x4
43
⇔
( ) ( )
=
=
y3lg.3lgx4lg.4lg
4lg.ylg3lg.xlg
⇔
( ) ( )
+=+
=
ylg3lg3lgxlg4lg4lg
ylg
⇔
( ) ( )
+=+
=
xlg4lg3lgxlg4lg4lg
xlg.
4lg
3lg
ylg
22
⇔
−=
=
4lgxlg
xlg.
4lg
3lg
ylg
⇔
⇔
=
=
4
1
x
3
1
y
15/ Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
−=+−+
+=
2yx3yx
xy24
22
−=+−+
+=
2yx3yx
222
22
xylogxylog2
33
⇔
( ) ( )
( )
−=+−+
=−−
2yx3yx
0222
22
xylogxylog2
33
⇔
( )
( )
( )
( )
=−+−+
=
04yx3yx
3xy
2
⇔
=+∨−=+
=
4yx1yx
3xy
Với:
=
−=+
3xy
1yx
(vn)
Với:
=
=+
3xy
4yx
f
/
(x) = 2x –2
f
/
(x) = 0 ⇔ x = 1 ∉ (2 ; +∞ )
( )
0xflim
2x
=
+
→
,
( )
+∞=
+∞→
xflim
x
Lập bảng biến thiên
17/ Giải phương trình:
0233.23
x2xxxx
33
=+−−
−+
ĐS:
{ }
1;0;1S −=
Giải
01yx3xy2x2
2222
yxyx
2
Giải
=−−
=+−−+
++
0224
01yx3xy2x2
2222
yxyx
2
⇔
=−−
=−++−
++
0222
0yxy21x3x2
2222
Copyright: Tài liệu đại học ©