Bài tập đồ thị hàm số
________________________________________________________________________________
Câu I.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y=
x-x+1
x-1
2
.
2) Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ đỷợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x
2
+a.
Câu II.
Cho hệ phỷơng trình
xyxym
xym
++ =
+=



22
1) Giải hệ vớim=5.
2) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?

2) Tính theo a, b diện tích tỷỏ giác MPNQ.
3) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy lớn nhất.
4) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy nhỏ nhất.
Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC với cả ba góc nhọn. Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với
mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm M. Dỷồng
BN CM BH CM,
.Đỷờng thẳng KH cắt (d) tại N.
1) Chỷỏng minh :
BN CM
2) Chỷỏng minh :
BM CN
3) Hãy chỉ cách dỷồng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất.___________________________________________________________
Câu 1
1) Bạn đọc tự giải nhé!
2) Lấy A(0, b) là một điểm trên Oy. Đờng thẳng qua A, với hệ số góc k có phơng trình :
y = kx + b.
Ta có
2
xx1 1
yx
x1 x1
+
==+

;
2
1

(x 1)

+= +




2
b
x2(1b)x(1b)0+ ++=

(1)
y b = 0 : (1) trở thành 2x + 1 = 0
1
x
2
=

y b 0 : (1) có nghiệm khi

2
'(1b) b(1b)0= + +
b 1 (b 0)
Thành thử các điểm trên Oy từ đó có thể đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) là các điểm có
tung độ b 1.
3) Hoành độ tiếp điểm của parabol
2

Thay vào phơng trình đầu thì đợc a = - 1.
Câu II. Đặt S = x + y, P = xy, ta đi đến hệ :
2
SP m
S2Pm
+=



=



1) Với m = 5 ta đợc :

2
SP5
S2P5
+=



=




P = 5

S
___________________________________________________________
Để phơng trình có nghiệm, cần phải có :
1
'13m0 m
3
= +
.
Khi đó gọi
1
S
và
2
S
là các nghiệm :
1
S113m= +
,
2
S113m= + +
.
a) Với
1
SS=

1
PmS=
, điều kiện
2

21 3m m 2+ +
.
Vì m + 2 > 0, có thể bình phơng hai vế của bất phơng trình này và đi đến
2
0m 8m 0m8
.
Cùng với
1
m
3

suy ra đáp số : 0 m 8.
Câu III. 1) Hiển nhiên với x = 0 bất phơng trình đợc nghiệm với mọi y. Xét x > 0
2
1x
cosy sin y
2x
+
+
.
Hàm f (y) = cosy + siny có giá trị lớn nhất bằng
2
, giá trị nhỏ nhất bằng
2
, vậy phải có :
2
2
1x
2x22x10
2x

.
Tóm lại các giá trị phải tìm là :
x21
,
21x 21+
,
21x+

hay :
|x| 2 1+
,
|x| 2 1

2) Điều kiện :
xk
2

+
( k Z). Chia hai vế cho
2
cos x
ta đợc phơng trình tơng đơng :
22
tg x(tgx 1) 3tg x(1 tgx) 3(1 tg x)+= + +2
tg x(tgx 1) 3(tgx 1) 0+ +=
xbt
yat
=
=



(D) :
xat
ybt
=
=



'
'
1) Thay biểu thức của (D) vào phỷơng trình của (E), ta đỷợc các giá trị của tham số t ứng với các giao điểm M, N. Từ
đó suy ra chẳng hạn (do có sự trao đổi vai trò của M, N):
M
6b
9a + 4b
,
6a
9a + 4b
,N -
6b
9a + 4b
,-
6a

,
6b
4a + 9b
22 22 22 2








2








.
2) Tứ giác MPNQ là hình thoi, với diện tích
S = 2OM.OP =
72(a + b )
(9a + 4b )(4a + 9b )
22
2222
. (1)
3) Để ý rằng các phỷơng trình của (D) và (D) có dạng thuần nhất (hay đẳng cấp) đối với a, b, tức là thay cho a và b,

, xảy ra khi |a| = |b|, tức là cặp đỷờng thẳng (D), (D) là cặp các phân giác y x = 0 của hệ
trục tọa độ Oxy.
Câu IVb. (Hình bên)
1) BK AC, BK AM ịBK (ACM) ịBK CM.
Cùng với BH CM, suy ra (BKH) CM ị BN CM.
2) Do (BKH) CM ị KH CM. Vậy K là trực tâm tam giác CMN, và ta đỷợc MK CN. Cùng với BK CN ị
(BMK) CN ị BM CN.
3) Vì K là trực tâm tam giác CMN, nên AM.AN = AK.AC
Vậy khi M di chuyển trên d, tích AM.AN không đổi ị MN==AM+ANnhỏnhất khi AM = AN. Khi đó
AM
2
= AK.AC, AM là đỷờng cao trong tam giác vuông CMK, cạnh huyền CK, K là điểm đối xứng của K qua A.
________________________________________________________________________________
Vì 2|ab| Ê a
2
+b
2
= 1 suy ra a
2
b
2
Ê
1
4
, dấu = chỉ xảy ra khi |a| = |b|, vậy S
72
36 +
25
4
=

a
b+c+1
+
b
a+c+1
+
c
a+b+1
+
(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1.
Câu II. 1) Giải phỷơng trình
sin
3
x + cos
3
x=2-sin
4
x.
2) k, l, m là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC, R là bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng
minh rằng
k+l+m
9R
2
.
Câu III.
Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) và parabol (P) có phỷơng trìnhy=x
2
.
1) M là một điểm thuộc parabol (P), có hoành độ x
M

Cho hai đỷờng tròn
(C
1
)x
2
+y
2
-6x+5=0,
(C
2
)x
2
+y
2
-12x-6y+44=0.
Xác định phỷơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với cả 2 đỷờng tròn trên.
Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt
nhau tại O. Đỷờng cao của hình chóp là SO = h. Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần
lỷỳồt tại B, C, D.
1) Xác định h để BCD là tam giác đều.
2) Tính bán kính r của hình cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.
Câu Vb.
Hai góc nhọn A, B của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
tg
2
A+tg
2
B = 2tg
2
A+B

4
)=
x+x(x+x)+xx=
1
2
13 4 34
-(ax
1
+b)-cx
1
+d=(d-b)-(a+c)x
1
,
(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=(d-b)-(a+c)x
2
,
dođóA=[(d-b)-(a+c)x
1
][(d-b)-(a+c)x
2
]=(d-b)
2





Suy ra (1 - a)(1 - b) Ê
1
a+b+1
ị (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê
1-c
a+b+1
Từ đó
a
b+c+1
+
b
a+c+1
+
c
a+b+1
+ (1 - a)(1 - b)(1 - c)
Ê
a
a+b+1
+
b
a+b+1
+
c
a+b+1
+


2
+2k (k ẻ Z).
2) Giả sử k, l, m là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C thế thì
________________________________________________________________________________
2k
2
+
a
2
=b +c
2
22
,
2l
2
+
b
2
2
=a
2
+c
2
,






+c
2
=4R
2
(sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C),
4sin
2
A + 4sin
2
B + 4sin
2
C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos
2
C) =
= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos
2
C=8+cos
2
(A - B) - [2cosC - cos(A - B)]
2
Ê 9,
suy ra:
k+l+m
3

M
-x
A
)
2
+(y
M
-y
A
)
2
=a
4
+(a-3)
2
.
Hàm f(a) =a
4
+(a-3)
2
có đạo hàm
f(a) = 4a
3
+ 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a
2
+2a+3),
suyrakhia=1,f(a) đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy đoạn AM ngắn nhất khi M M(1,1).
2)VớiM(1,1)đỷờng thẳng AM có hệ số góc
k=
y-y

2
o
11sin2px
(1 cos 2px)dx x
222p



=+ =+ =




b) p q :
2
o
1
I [cos(p q)x cos(p q)x]dx
2

=++


2
o
1 sin(p q)x sin(p q)x
0
2pq pq



,
2
(C )
có tâm
2
I(6,3)
, bán kính
2
R1=
.
Ta tìm đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2
(C )
dới dạng x = m.
Từ điều kiện tiếp xúc ta có hệ :
|3 m| 2
|6 m| 1
=


=

m = 5.
Vậy đờng thẳng đúng x = 5 là đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và


+
=


+




22
(3a b) 4(a 1)
|3a b| 2|6a 3 b|


+= +

+ =+




22
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +

a,b
88
917 33917
a,b
88
a0,b2

Vậy phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn
1
(C )
,
2
(C )
trong trờng hợp này
là : _______________________________________________________1
917 33917
(d ) : y x
88
++
=
,
2
917 33917
(d ) : y x

AC'
h4a
=
+

Mặt phẳng (AB'C'D') cắt BC tại
1
B
với
1
AB // BD
,
1
AB 2a=
.
Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'KC' là nửa tam giác đều, vậy
1
BAC'
là nửa tam giác đều, suy ra :
1
22
4ah
AC' AB . 3
h4a
==
+

2a 3 h 2a 3==
.
Khi đó

, thành thử :
22
3V 2ah
r
S
2a 4a 5h
==
++
.
Câu Vb.
Trớc hết ta hãy chứng minh rằng :
AB
2tg tgA tgB
2
+
+

dấu = chỉ xảy ra khi A = B. Quả vậy :
sin(A B) 2sin(A B)
tgA tgB
cosAcosB cos(A B) cos(A B)
++
+= =
++

B)

cos (A + B) + 1.
Trở về với điều kiện của bài toán :
22 2 2
AB 1
tgAtgB2tg (tgAtgB)
22
+
+= + 2
(tgA tgB) 0
tgA = tgB A = B

Câu I.
Cho m là một số nguyên dỷơng, hãy tìm cỷồc trị của hàm số
y=x
m
(4-x)
2
.
Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khim=1.
Câu II.
1) ABC là một tam giác bất kì. Chỷỏng minh rằng với mọi số x ta đều có
1+
1
2
x

0.
Câu IVa. 1) Chỷỏng tỏ rằng hàm số
F(x) =
()
xx+ln 1
là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x) =
x
1+|x|
.
_____________________________________________________
__________
2) Tính tích phân
I=
1
e
2
xln xdx

.
Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC. Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lỷỳồt tạiMvàN.
Chứng minh:
1)
SB
SM
+
SD
SN
=3;
2)

.
a) Xét trờng hợp m 2. Khi đó phơng trình y' = 0 có ba nghiệm
1
x0=
,
2
4m
x
m2
=
+
và
3
x4=
.
Nếu m 1 chẵn (tức m = 3, 5, 7, ) thì y' sẽ cùng dấu với
(4 x) [4m (m + 2)x] và do đó :
min
y(4)0=
và
mm4
max 2
m2
m4
y(x) M
(m 2)
+
+
==
+

22 2
CB BC A
4cos cos 4sin
22 2
+
==

22
ABC
4sin cos 1 0
22


=



Vậy (1) đúng với mọi x.
2)
sin x cosx 10
cosx sin x
sin x cosx 3
+
++ =

Đặt
tcosxsinx( 2t 2)=+
(2)
thì
2

= ;
3
219
t
3
+
= _________________________________________________________

Chỉ có
2
t
là thích hợp. Thay vào (2) ta có phơng trình
219
cos x
4
32


=


.
Đặt
219
cos
32


1a
++
=


Nếu a = 1 ta có : 0x = 2(1 + b). (3)
Với b 1 thì (3) vô nghiệm ; với b = -1 thì (3) nghiệm đúng với x. Kiểm tra
2
x
có thỏa
mãn điều kiện
2
xa
?
2
2
2
aa2b
xa aaa2b
1a
++
++
22 2
aa 2(a b)0 b a +

2
22

x
1a

với
2
b
a=
hoặc b = - a thì (1) có một nghiệm
1
x0=
.
Nếu a = 0 thì (1) có một nghiệm
2
x2b=
nếu b 0 ; (1) sẽ vô nghiệm nếu b = 0.
2) Vì
222
abc1++=
nên - 1 a, b, c 1.
Do đó 1 + a 0 , 1 + b 0, 1 + c 0 (1 + a) (1 + b) (1 + c) 0
1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc 0. (1)
Mặt khác :
2
222
(1 a b c)
a b c a b c ab ac bc 0
2
+++
++++++++=
,

1- x
.
Từ đó suy ra với x ạ 0
F(x) =
x
1+|x|
.
Ta chỉ còn phải chứng minh rằng F(0) = 0. Quả vậy
F(0) =
lim
1
x
(F( x) - F(0))
x0



=
()
lim
1
x
x-ln(1+ x) =
x0



=
lim 1 -
ln(1 + x)

Đổt
ux
dv xdx
=
=



ln
2

du
x
x
dx
vx
=
=





2
1
2
2
ln
,
suy ra I =

=




=
=





ln
1
2
suy ra J =
1
2
1
22
1
41
2
1
2
2
1
xx xdx
e
e

. dt(SDO)
=
=
SN
SD
.
2
3
.
1
2
dt(SDB),dt(SHM) =
SH
SO
.
SM
SB
.dt(SOB)
=
2
3
.
SM
SB
.
1
2
dt (SDB).
Đồng thời dt(SNH) + dt(SHM) = dt(SNM) =
SN

=3
.
2) Đặt
SM
SB
=x,
SN
SD
=y,
theo hệ thức trên ta có
1
x
+
1
y
=3
. Đồng thời, do ý nghĩa hình học, phải có0<xÊ 1,
0<yÊ 1. Vì
1
y
=3-
1
x
y=
x
3x - 1

,
nên 0 <
x

SABD
,
V
SMNK
=
SM
SB
.
SN
SD
.
SK
SC
.V =
1
4
xyV
SBDC
suy ra
V
V
=
3
4
xy =
3x
4(3x - 1)
1
2
1

2
1
f’ - 0 +
f
3
8
3
8
1
3
VËy víi
1
2
x1≤≤
th×
1
3
V
V
3
8
1
≤≤
.
_____________________________________________________
__________
Câu I.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên của hàm số
y=
xxx x


3
.
Câu III. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=
x+2(1+ x+1)+ x+2(1- x+1)
3333
.
2) Cho bất phỷơng trình
-
4 (4 - x) (2 + x)
Ê
x
2
2
-2x+a-18.
a) Giải bất phỷơng trình khia=6.
b) Xác định a để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm đúng với mọi x ẻ [- 2 ; 4].
Câu IVa.
Cho paraboly=x
2
. Hai điểm A, B di động trên parabol sao cho AB = 2.
1) Tìm tập hợp trung điểm của AB.
2) Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và cát tuyến AB đạt giá trị
lớn nhất.
Câu IVb.
Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đỷờng tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CD
thỏa mãn điều kiện AB : CD=1:4.Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với (P) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2R.
1) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD.
2) Chỷỏng minh rằng O cách đều 4 mặt bên của hình chóp. Từ đó xác định tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.

ị x
1234,,,
=1
410
.
Câu II.
1) Theo giả thiết, ta phải có:(x + 1)y + xy + (x - 1)y = (1)
xy =

3
.
Từ đó suy ra:
(x + 1)y =

3
+y;(x-1)y=

3
-y
.
Vì xy =

3
nên từ (1) suy ra:
0 <

3
-y<
2
3











1-cos
2
3
+2y =
3
2
+1-cos
2
3
-2y











. sin2y =
3
2

sin2y =
3
2
.
Do (4) nên chỉ có nghiệm duy nhất : y
o
=

6
,vàdovậyx
o
=2.
Vậy : nếu bài toán có nghiệm thì phải có x
o
=2,y
o
= /6.
Thử lại, thấy thỏa mãn tất cả các điều kiện đặt ra (đề nghị tự kiểm tra).
Đáp số : x
o
=2;y
o
=

6
.