Chuyên đề : Mặt cầu
Phần 2
3. Bài toán III (Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu )
Xét mặt cầu
( )
+ + =z zS
2 2 2 2
0 0 0
:(x-x ) (y- y ) ( - ) R
và mặt phẳng (P) với phương
trình
+ + + =z(P): Ax By C D 0
. Như vậy (S ) có tâm tại
0
z
0 0
I(x ,y , )
và bán kính R.
Khi đó khoảng cách h từ tâm I tới (P) là :
+ + +
=
+ +
0
z
0 0
2 2 2
Ax By C D
h
A B C
+ nếu h > R, thì (S ) và (P) không giao nhau
+ nếu h = R, thì (P) là tiếp diện của mặt cầu, tức là (P) và (S ) tiếp xúc với

(d):
y 2 0
, và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có
bán kính bằng 4, ở đây
− =z(P):y 0
Bài giải
Vì (C) cắt (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, tức là
bán kính của hình cầu bằng 4. Vì giao tuyến là đường tròn lớn, nên tâm I
của hình cầu nằm trên (P), I lại nằm trên (d’), vì thế ta có hệ phương trình
sau để xác định tọa độ của I
Trang 1
 + − =  = −
 
− = ⇔ =
 
 
− = =
 
z
z z
x 1 0 x 1
y 2 0 y 2
y 0 2
. Vậy I(-1,2,2) là tâm của mặt cầu (S ). Kết hợp với R =
4, suy ra (S )
có phương trình
( )
+ + + =zS
2 2 2
:(x 1) (y-2) ( -2) 16

 
z
z
z z
x y 2 3 0 x 1
x 3y 0 y 0
5x 4y 6 0 1
. Vậy I(1,0,1) là tâm của mặt cầu (S )
Khoảng cách h từ I tới (Q) là
+ +
= =
+ +
2 1 7
10
h
4 1 1 6
Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện, ta có
π = π ⇒ =
2 2
.r 20 r 20
. Khi đó nếu
gọi R là bán kính của (S ), thì
= + = + =
2 2 2
100 110
R r h 20
6 3
Vậy mặt cầu (S ) có phương trình
( )
+ + =zS

Vậy (S ) có bán kính
= + = + =
2 2
R h r 9 16 5
Vì lẽ đó (S ) có phương trình
( )
+ + + =zS
2 2 2
:(x-1) (y-2) ( 2) 25
b) Gọi (Q) là tiếp diện. Vì (Q) chứa (d), nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng
( ) ( )
α − − +β − + =z2x y 5 y 3 0
Rõ ràng
α ≠ 0
, nên có thể viết lại chùm mặt phẳng dưới dạng
( ) ( )
− − + − + =z2x y 5 m y 3 0
hay
+ − − + − =z2x (m 1)y m 3m 5 0
Ta có phương trình sau để xác định m
+ − + + −
= ⇔ − = − +
+ − +
2
2 2
2 2(m 1) 2m 3m 5
5 7m 5 5 2m 2m 5
4 (m 1) m
⇔ − + = − + ⇔ + + =
2 2 2

u
.
Trang 3
Do
= − −
uur
IM ( 1, 7,0)
nên
 
−
 
= = − − −
 ÷
 ÷
 
− − −
 
uur r
7 0 0 1 1 2
IM,u , , ( 14, 2, 5)
2 2 2 1 1 7
Do vậy
+ +
= = = =
+ +
1
196 4 25 15
h 5 R
3
1 4 4

Như vậy (d) tiếp xúc với (S ) tại điểm (5/3, -5/3, 4/3) (cách giải này còn cho
phép ta tìm được tiếp điểm của đường thẳng với mặt cầu )
Ví dụ 4. Cho 3 đường thẳng:

− − =

=

z
1
x 5y 2 0
(d ):
0
,

=

= +


=

z
2
x t
(d ):
y 2 t
0
,
−

Trang 4
+ xét (d
1
) và (d
3
). Từ (d
3
) suy ra
− = − ⇔ = −x 8 y x 8 y
, thay vào (d
1
) có
− − − = ⇒ − = ⇒ =8 y 5y 2 0 6 6y 0 y 1
. Vậy
∩ =
1 3
(d ) (d ) B(7,1,0)
+ Xét (d
3
) và (d
2
). Từ (d
3
) suy ra
− = − ⇔ − = − − ⇒ =x 8 y t 8 2 t t 3
.Vậy
∩ =
2 3
(d ) (d ) C(3,5,0)
Vậy (d

, nên
⊥
2 3
(d ) (d )
, tức là ABC là tam giác vuông tại C, nên trung điểm H của AB
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I là tâm mặt cầu (S ) cần tìm. Vì hình cầu qua A, B, C, nên hình chiếu
của I xuống (ABC) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức J
là hình chiếu của I xuống (ABC). Ta có J là trung điểm của AB, nên tọa độ J
là J(2,0,0)
Véc tơ pháp
r
n
của (ABC) được xác định như sau
 
 
= = =
 ÷
 ÷
 
− −
 
r uur uur
1 2
1 0 0 1 1 1
n u ,u , , (0,0,2)
1 0 0 1 1 1
Phương trình đường thẳng nối IJ có dạng tham số
 =


Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P)
Bài giải
Giả sử
∈
0
z
0 0
I(x ,y , ) (P)
là tâm của mặt cầu , và R là bán kính của nó, khi đó ta
có
 + + − =
 + + − =

⇔
− + + − = − + +
 
= = =


− + + = − + − + −

0
0
0 0
0 0
z
z
z z
z z
0 0

Từ đó R
2
= 1. Vậy phương trình mặt cầu là
( )
+ + =zS
2 2 2
:(x-1) y ( -1) 1
Chú ý: Có thể làm: Phương trình mặt cầu là
( )
+ + +
2
z z S
2 2
:x y 2Ax + 2By + 2C + D = 0
Vì qua A, B, C, nên ta có

 + + + + =

+ + =


+ + + + =

4 1 4A 2C D 0
1 2A D 0
3 2A 2B 2C D 0
, tâm hình cầu là (-A,-B,-C) thuộc (P) nên suy ra – A –
B – C – 2 = 0
Từ 4 hệ trên suy ra A = -1, B = 0, C = -1, D = 1. từ đó suy ra
( )

là A
1
(0,-3,4) và C
1
(0,3,4)
Để viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC
1
B
1
,
ta gọi h là khoảng cách từ A tới mặt phẳng này, khi đó phương trình cần
tìm có dạng
+ + +
2
z
2 2 2
x (y 3) = h
(1)
Xét mặt phẳng BCC
1
B
1
. Ta có B(4,0,0), C(0,3,0), B
1
(4,0,4)
⇒ = − =
uur uuur
1
BC ( 4,3,0), BB (0,0,4)
Do đó véc tơ pháp

+ + +
2
z
2 2
576
x (y 3) =
25
là phương trình mặt cầu cần tìm
3. Bài tập tự giải
Bài 1 Trong không gian cho mặt phẳng
+ + − − =z
2
(P):2x 2y m 3m 0
và mặt cầu
( )
+ + + =zS
2 2 2
:(x-1) (y 1) ( -1) 9
Tìm m để (S ) và (P) tiếp xúc với nhau. Tìm tiếp điểm
Hướng dẫn:
Đáp số:
 = −

=

m 5
m 2
và tiếp điểm (3,1,2)
Trang 7
Bài 2 Trong không gian cho mặt phẳng

z
x t
(BC): y 2 t
0
,
−
= =
−
z
y
x 8
(CA):
1 1 0
Lập phương trình mặt cầu (S ) qua 3 đỉnh A, B, C và có tâm I thuộc mặt
phẳng
− − − =z(P):18x 35y 17 2 0
Hướng dẫn: Tìm A, B, C, ta có A(7,1,0), B(-3,-1,0), C(3,5,0)
Đáp số:
( )
+ + =zS
2 2 2
:(x-2) y ( -2) 30
Bài 4 Trong không gian cho điểm I(3,2,4) và đường thẳng
+
= =
z 3
y
x
(d):
2 4 1

+ =z(P):x 2
a) Chứng minh (P) cắt (S ). Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường
tròn giao tuyến (C)
Trang 8
b) Viết phương trình hình chiếu (C
1
) của (C) trên xOy
Đáp số: a) Tâm H(1,0,1), bán kính
=R 2
b)
− + =
2
2
y
(x 1) 1
2
Bài 7 Trong không gian cho đường tròn
 + + −


2
z z
z
2 2
x y 4x + 6y + 6 + 17 = 0
(C):
x - 2y + 2 + 1 = 0
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc mặt phẳng
+ + + =zx y 3 0

z z S
2 2
:x y 2x 4y 6 67 = 0
Mặt phẳng
+ + − =z(Q):5x 2y 2 7 0
Đường thẳng



z 3x - 2y + - 8 = 0
(d):
2x - y + 3 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S )
b) Tìm hình chiếu của (d) trên (Q)
Đáp số: a)

+ + − − + + =


− + + − + − =

z
z
(8 6 3)x (7 3 3)y 22 287 9 3 0
(8 6 3)x (7 3 3)y 22 287 9 3 0
b)



z