Chuyên đề : Mặt cầu
1. Bài toán I (Về phương trình mặt cầu )
Có hai cách lựa chọn :
- Nếu dùng phương trình
+ + =z z(S) :
2 2 2 2
0 0 0
(x- x ) (y- y ) ( - ) R
, thì nói chung cần hệ 4 phương
trình với 4 ẩn là
z
0 0 0
x ,y , ,R
- Nếu dùng phương trình
+ + +
2
z z (S) :
2 2
x y 2ax + 2by + 2c + d = 0
, thì nói chung cần hệ 4
phương trình với 4 ẩn là a, b, c, d
Ví dụ 1 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(0,1,0), B(1,0,0), C(0,0,1) và tâm I nằm trên
+ + − =z(P):x y 3 0
Giải
Xét phương trình của mặt cầu (S ) theo dạng
+ + +
2
z z (S) :
2 2
x y 2ax + 2by + 2c + d = 0
(


− + =

2 2
2 2
(3 a) 1 R
(5 a) 25 R
, giải ra ta có a = 10, R
2
= 50.
Vậy phương trình (S )là
+ + =z(S) :
2 2 2
(x-10) y 50
Ví dụ 3 : Cho họ mặt phẳng cong (S
m
) có phương trình
(S
m
)
+ + − − − +
2
z z
2 2 2
: x y 4mx 2my 6 + m 4m = 0
Trang 1
a) Tìm m để (S
m
) là một họ mặt cầu
b) Chứng minh rằng tâm của (S


= ⇒
 
=


=

m
m
z
z
m
m
m
x 2m
x 2ym
y m
3
3
. Vậy I luôn nằm trên đường thẳng sau
 =  − =
⇔
 
= =
 
z z
x 2y x 2y 0
d:
3 3

) là phương trình của mặt cầu
b) Gọi
α
I
là tâm của mặt cầu (S
α
), ta có
α α α α
)zI (x ,y ,
, ở đây
α
α
α
 = α

= α


=

z
x sin
y cos
0
. Từ đây suy ra
∀α
, thì
α
I
thuộc mặt phẳng xOy. Trên mặt phẳng này ta có

x y- 3 0
(d ): y t (d ):
4x 4y 3 -12 0
4
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau
b) Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
)
Giải
a) (d
1
) là đường thẳng qua M
1
(0,0,4) và có véc tơ chỉ phương
=
uur
1
u (2,1,0)
, (d
2
) là đường thẳng
qua M
2
(3,0,0) và có véc tơ chỉ phương

Chú ý: Dĩ nhiên có thể chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau bằng cách tính và thấy
 
≠
 
uur uur uuuuur
1 2 1 2
u ,u .M M 0
b) Xét hai đường thẳng đã cho dưới dạng tham số
 =  =
 
= = −
 
 
= =
 
z z
1 2
x 2t x 2s
(d ): y t (d ): y s
4 0
. Gọi M, N tương ứng là chân đoạn vuông góc chung trên (d
1
), (d
2
).
Ta có M(2t, t, 4), N(3+s,-s, 0)

2 2 2 2
0 0 0
(x- x ) (y- y ) ( - ) R
tiếp xúc với
+ + + =z(P): Ax By C D 0
là
+ + +
=
+ +
0
z
0 0
2 2 2
Ax By C D
R
A B C
b) Phụ thuộc vào số ẩn số phải tìm (tối đa có 4 ẩn
0
z
0 0
x ,y , ,R
), và dựa vào các điều kiện phụ
khác mà mặt cầu (S ) cần thỏa mãn để lập cho đủ số phương trình tương ứng với số ẩn cần
tìm. Từ đó tìm được tâm
0
z
0 0
I(x ,y , )
và bán kính R của mặt cầu
Ví dụ 1.

 = − +

= +


= +

z
x 3 2t
y 1 2t
1 t
. Ta có tọa độ của I là I(-3 + 2t
0
,1 + 2t
0
,1 + t
0
)
Trang 4
Từ đó
=  − + −  +  + −  +  + − 
     
2 2 2
2
0 0 0
IM ( 3 2t ) 3 (1 2t ) 1 (1 t ) 1
Hay
= + + ⇔ = ±
2 2 2
0 0 0 0

(P ):3x 4y 3 0
(P ):2x 2y 39 0
Giải
Gọi I là tâm mặt cầu (S ). Vì I thuộc (d), nên tọa độ của I có dạng I(t
0
,0,-1). Vì (S ) tiếp xúc
với (P
1
) và (P
2
), nên ta có phương trình sau
+ + +
+ +
= ⇔ =
+ + +
2 2
0 0
0 0
3t 3 2t 1 39
9(t 1) 4(t 20)
25 9
9 16 4 4 1

= −
⇔ + + = + + ⇔

= −

2 2
0

z
z
1
2
(P ):x 2y 2 3 0
(P ):x 2y 2 7 0
Trang 5
Giải
Do (P
1
) // (P
2
), nên khoảng cách giữa (P
1
), (P
2
) là khoảng cách từ M
1
(-3,0,0) thuộc (P
1
) xuống
(P
2
), và
− +
= =
+ +
2 2
3 7
4

+ + + + + +
= =
0 0
z z
0 0 0 0
x 2y 2 3 x 2y 2 7
2
3
9 9


+ + + =


+ + + = −


+ + + = + + + = ⇔

 + + + =



+ + + = −


0
0
0 0
0

. Vậy mặt cầu (S ) có dạng
− + + + + =z(S) :
2 2 2
(x 3) (y 1) ( 3) 4 / 9
Chú ý:
( ) ( )
+ + + = + + + ⇔ + + + = + + +
0 0 0 0
z z z z
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
x 2y 2 3 x 2y 2 7 x 2y 2 3 x 2y 2 7
( )
⇔ + + + = ⇔ + + + =
0 0
z z
0 0 0 0
4 2x 4y 4 10 0 x 2y 2 5 0
. Đây là cách khác thu lại (3)
Ví dụ 4. Cho đường thẳng
+
−
= =
z
y 2
x 1
(d):
3 1 1
và mặt phẳng
+ − + =z(P ):2x y 2 2 0

= ⇔ + = ⇔

=
+ + −

0 0 0
0
0
2 2 2
0
2(1 3t ) (t 2) 2t 2
t 1
1 5t 2 3
t 1/ 5
2 1 ( 2)
Với t
0
= -1 => I
1
có tọa độ là I
1
(-2,-3,-1). Lúc này (S ) có phương trình
+ + + + + =z(S)
2 2 2
:(x 2) (y 3) ( 1) 1
Với t
0
= 1/5 => I
2
có tọa độ là I


= − −

z
1
x 2 2t
I T: y 3 t
1 2t
Vậy xét phương trình sau
− + + − + − − + = ⇔ =
1
2( 2 2t) ( 3 t) 2( 2t) 2 0 t
3
Vậy tọa độ của T là T(-4/3, -8/3, -5/3) từ đó suy ra
=
666
MT
15
Để viết phương trình tiếp diện của mặt cầu, nên đi theo hai hướng sau đây:
Trang 7
+ Giả sử cho mặt cầu
+ + =z z(S)
2 2 2 2
0 0 0
:(x- x ) (y- y ) ( - ) R
, tâm I bán kính R. Nếu biết tiếp
điểm
)z
1 1
1

Sau đó dựa vào điều kiện
+ + +
=
+ +
0
z
0 0
2 2 2
Ax By C D
R
A B C
Suy ra D. Từ đó tiếp diện hoàn toàn xác định.
Ví dụ 5. Cho mặt cầu
( )
+ + +
2
z z S
2 2
: x y 2x - 4y - 6 + 5 = 0
. Viết phương trình tiếp diện
của (S ), biết rằng tiếp diện chứa đường thẳng (d) với

− − =

− =

z
2x y 1 0
(d):
1 0

Thật vậy phương trình chùm mặt phẳng chứa (d) có dạng
α − − +β − =z(2x y 1) ( 1) 0
với
α +β ≠
2 2
0
Ta thấy rằng
α ≠ 0
. Thật vậy nếu
α = ⇒ β ≠0 0
, và ta có
− =z( 1) 0
. Tuy nhiên
− =z( 1) 0

không phải là tiếp diện của (S ). Vậy khoảng cách từ tâm I(-1,2,3) tới mặt phẳng
− =z( 1) 0
là
−
= =
2
3 1
h 2
1
, tức là
≠h R
Do
α ≠ 0
, nên
β

− − + =z2x y 2 1 0
. Ta thu lại kết quả đã giải ở
trên
3/ Xét bài toán trong đó thay d bằng d’
( )
 − − =

=

z
2x y 1 0
d' :
0
. Tiếp diện (S ) thuộc chùm mặt phẳng sau
α − − +β =z(2x y 1) 0
hay
α −α −α +β =z2 x y 0
với
α +β ≠
2 2
0
Ta có phương trình sau để xác định
α β,
− α − α + β−α
= ⇔ β − α = α +β
α +α +β
2 2
2 2 2
2 2 3
3 3 5 3 5

Tiếp diện thuộc chùm mặt phẳng sau:
− − + =z2x y 1 m 0
hay
− + − =z2x y m 1 0
Ta có phương trình sau để xác định m
− − + −
= ⇔ − = +
+ +
2
2
2 2 3m 1
3 3m 5 3 m 5
4 1 m
⇔ − + = + ⇒ = −
2 2
2
9m 30m 25 9m 45 m
3
Vậy tiếp diện là
− − − =z2x y 2 / 3 1 0
hay
− − − =z6x 3y 2 3 0
Giải như thế này ta mất một nghiệm
=z 0
, vì sao lại như thế ?
Điều này được lí giải như sau:
Từ
α − − +β =z(2x y 1) 0
, không thể suy ra
α ≠ 0

=


2 2 2
3
m
9 30m 25m 45m 9 2m 3m 0
2
m 0
Vậy có hai tiếp diện là
=z 0
hoặc
− − − =z6x 3y 2 3 0
Vì sao cách giải này lại đúng ? Thật vậy từ
α − − +β =z(2x y 1) 0
ta thấy
β ≠ 0
. Thật vậy nếu
β = 0
=>
α ≠ 0
=>
2x - y - 1 = 0
.
Tuy nhiên
2x - y - 1 = 0
không phải là tiếp diện của mặt cầu (lí do đơn giản, vì khoảng cách
từ
I(-1,2,3) tới
2x - y - 1 = 0

:(x-1) (y- 2) ( -3) 4
Do đó (S ) có tâm I(1,2,3) và bán kính R = 4. Từ đó suy ra phương trình sau để xác định D
+ − +
 =
= ⇔ − = ⇔

= −
+ + −

2 2 2
4 6 36 D
D 8
4 D 26 52
D 26
4 3 ( 12)
Vậy có hai tiếp diện phải tìm

+ − − =

+ − + =

z
z
4x 3y 12 26 0
4x 3y 12 78 0
Ví dụ 7. Cho mặt cầu
( )
+ + −
2
z z S

2
)
Trang 11
Giải
(d
1
) có véc tơ chỉ phương
= −
uur
1
u (2, 3,2)
và (d
2
) có véc tơ chỉ phương
= −
uur
2
u (3, 2,0)

Do hai véc tơ
uur uur
1 2
u ,u
không cộng tuyến, mà (d
1
) và (d
2
) song song với tiếp diện (P) của (S ), vì
lẽ ấy
uur uur

= ⇔ − = ⇔

= −
+ +

2 2 2
20 6 65 D
D 205
308 D 51 154
D 103
4 6 5
Vậy có hai tiếp diện cần tìm

+ + + =

+ + − =

z
z
4x 6y 5 205 0
4x 6y 5 103 0
Ví dụ 8. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
 − + − =

− − =

z
z
8x 11y 8 30 0
(d):

(vì
α +β >
2 2
0
), nên từ (1) suy ra
( )
− − =zx y 2 0
là tiếp diện của (S )
Tuy nhiên vì khoảng cách h từ I(-1,3,-2) tới mặt phẳng này là
− − +
= = ≠ =
− + + −
2 2 2
1 3 4
h 0 R 29
( 1) 3 ( 2)
Điều vô lí này chứng tỏ giả thiết
α = 0
là sai, tức là
α ≠ 0
. Vì thế (P) thuộc vào chùm mặt
phẳng
( ) ( )
− + − + − − =z z8x 11y 8 30 m x y 2 0
hay
( )
+ − + + − − =z8 m x (11 m)y (8 2m) 30 0
Ta có phương trình sau để xác định tham số m

− − − − − + −

9x 12y 6 30 0
6x 9y 12 30 0
hay

− + − =

− + − =

z
z
3x 4y 2 10 0
2x 3y 4 10 0
Chú ý:
o Cách giải trên dựa vào dạng “rút gọn“ của phương trình chùm mặt phẳng
o Nếu giải bình thường ta làm như sau:
Tiếp diện thuộc vào chùm
( ) ( )
α − + − +β − − =z z8x 11y 8 30 x y 2 0
hay
α +β − α +β + α − β − =z(8 )x (11 )y (8 2 ) 30 0
Ta có phương trình sau đây để xác định
α β,
− α −β− α − β − α + β −
=
α +β + α +β + α − β
2 2 2
8 33 3 16 4 30
29
(8 ) (11 ) (8 2 )
, hay


− + − =

− + − =

z
z
3x 4y 2 10 0
(d):
2x 3y 4 10 0
Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S )
Giải
Gọi P là tiếp diện của (S ) và chứa (d), khi đó P thuộc vào chùm mặt phẳng
( ) ( )
α − + − +β − + − =z z3x 4y 2 10 2x 3y 4 10 0
với
α +β ≠
2 2
0
hay
α + β − α + β + α + β − α − β =z(3 2 )x (4 3 )y (2 4 ) 10 10 0
Ta có phương trình sau đây để xác định
α β,
:
− α − β− α − β − α − β− α − β
=
α + β + α + β + α + β
2 2 2
3 2 12 9 4 8 10 10
29

( ) ( )
− + − + − + − =z z3x 4y 2 10 m 2x 3y 4 10 0
hay
( )
+ − + + + − − =z3 2m x (4 3m)y (2 4m) 10 10m 0
Ta có phương trình sau để xác định tham số m
Trang 14

− − − − − − − −
=
+ + + + +
2 2 2
3 2m 12 9m 4 8m 10 10m
29
(3 2m) (4 3m) (2 4m)
− −
⇔ = ⇔ =
+ +
2
29 29m
29 m 0
29m 52m 29
Vậy tiếp diện là
− + − =z3x 4y 2 10 0
, cách giải này làm mất đi nghiệm
− + − =z2x 3y 4 10 0
Tương tự nếu viết phương trình chùm dưới dạng
( ) ( )
− + − + − + − =z zm 3x 4y 2 10 2x 3y 4 10 0
Vậy tiếp diện là

 
 
+ + = =
 
2a 4c- d 5 a 1/ 2
2a 2b- d 2 b 1/ 2
2c- d 1 c 1/ 2
2a 2b 2c- d 3 d 0
Vậy mặt cầu (S ) có dạng
( )
+ +
2
z zS
2 2
: x y - x - y- = 0
Mặt cầu này có tồn tại I(1/2,-1/2,1/2), tiếp diện (P) với mặt cầu tại A(1,0,2), nên (P) nhận véc
tơ
=
uur
IA (1/ 2,1/ 2,3 / 2)
là véc tơ pháp. Do (P) chứa A, nên (P) có dạng
− + − + − = ⇔ + + − =z z
1 1 3
(x 1) (y 0) ( 2) 0 x y 3 7 0
2 2 2
.
Trang 15