Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 1 năm học 2006-2007

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:
a, Cho 3 số hữu tỉ a, b, c thoả mãn: ab + ac + bc = 1.
Chứng minh rằng: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) là bình phơng của một số hữu tỉ.
b, Cho x, y là các số thực sao cho x + y = 2.
Chứng minh: x
4
+ y
4
2
Câu 2: Với n là số nguyên dơng, chứng minh: n
2
+11n+39 không chia hết cho 49
Câu 3: Tìm các số x, y, z thoả mãn phơng trình:
x + y + z + 4 = 2
2x
+ 4
3

Đồng chí hãy nêu nhiệm vụ của giáo viên chủ nhiệm trờng THCS.
Câu2: (2,5 điểm)
Nêu các nhiệm vụ cơ bản trong năm học 2006-2007 bậc THCS của phòng Giáo
dục huyện Bình Xuyên.
B/Phần chuyên môn: (15 điểm)
Bài 1 (2,5 điểm):
Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau và thỏa mãn hệ thức
0
=

+

+

ba
c
ac
b
cb
a

Chứng minh rằng:
0
)()()(
222
=

+

+

bậc THCS năm học 2006-2007

hớng dẫn chấm thi
Môn: Toán
A/Lý thuyết chung: (5 điểm)
Câu1: (2,5 điểm)
Giáo viên chủ nhiệm trờng THCS có các nhiệm vụ sau đây:
-Giảng dạy và giáo dục theo đúng chơng trình giáo dục, kế hoạch dạy học,
soạn bài, chuẩn bị thí nghiệm, kiểm tra, đánh giá theo quy định, vào sổ điểm, ghi
học bạ đầy đủ, lên lớp đúng giờ, không tuỳ tiện bỏ giờ, bỏ buổi dạy, quản lý học
sinh trong các hoạt động giáo dục do nhà trờng tổ chức, tham gia các hoạt động của
tổ chuyên môn.
-Tham gia công tác phổ cập giáo dục trung học cơ sở ở địa phơng
-Rèn luyện đạo đức, học tập văn hoá, bồi dỡng chuyên môn và nghiệp vụ để
nâng cao chất lợng và hiệu quả giảng dạy và giáo dục.
-Thực hiện nghĩa vụ công dân, các quy định của pháp luật và điều lệ nhà tr-
ờng, thực hiện quyết định của hiệu trởng, chịu sự kiểm tra của hiệu trởng và của
các cấp quản lý giáo dục.
-Giữ gìn phẩm chất, danh dự, uy tín của nhà giáo, gơng mẫu trớc học sinh,
thơng yêu, tôn trọng học sinh, đối xử công bằng với học sinh, bảo vệ các quyền và
lợi ích chính đáng của học sinh, đoàn kết, giúp đỡ các bạn đồng nghiệp.
-Thực hiện các nhiệm vụ khác theo quy định của pháp luật.
-Tìm hiểu và nắm vững học sinh trong lớp về mọi mặt để có biện pháp tổ
chức giáo dục sát đối tợng, nhằm thúc đẩy tiến bộ của cả lớp.
-Cộng tác chặt chẽ với phụ huynh học sinh, chủ động phối hợp với các giáo
viên bộ môn, đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh, Đội Thiếu niên Tiền phong
Hồ Chí Minh, các tổ chức xã hội có liên quan trong hoạt động giảng dạy và giáo
dục học sinh.
-Nhận xét, đánh giá và xếp loại học sinh cuối học kỳ và cuối năm học, đề
nghị khen thởng và kỷ luật học sinh, đề xuất danh sách học sinh đợc lên lớp thẳng,

chuẩn.
d-Kết quả thực hiện tăng cờng trang thiết bị, sử dụng và bảo quản có hiệu
quả thiết bị, xây dựng phòng học bộ môn, phòng th viện, thí nghiệm, môi trờng
xanh sạch -đẹp môi trờng giáo dục.
e-Kết quả phấn đấu đạt các tiêu chuẩn của trờng chuẩn quốc gia theo kế
hoạch.
f-Kết quả công tác quản lý, kỷ cơng nề nếp trong nhà trờng và việc chấp
hành chế độ báo cáo.
g-Kết quả thực hiện phổ cập GDTHCS và phổ cập giáo dục bậc trung học.
B/Phần chuyên môn: (15 điểm)
Bài 1 (2,5 điểm):
Từ giả thiết ta có:
))((
22
caba
cacbab
ba
c
ca
b
cb
a

+
=



=



+
=

(0,5 đểm)

))()((
)(
22
2
cbcaba
bcbaca
ba
c

+
=

(0,5 đểm)
Cộng theo từng vế của ba đẳng thức trên ta có:
+

2
)( cb
a
+

2
)( ac
b

điểm C trên Oy sao cho OB = OC.
Trên nửa mặt phẳng đối của nửa (0,5 điểm)
mặt phẳng chứa điểm M bờ Oy ta
dựng tia Oz sao cho góc
yOz bằng góc xOM. Trên Oz lấy điểm (0,5 điểm)
N sao cho OM = ON.

BOM =

CON (c.g.c) nên MB = CN (0,5
điểm)
Vậy MB + MC = MC + NC MN , do đó MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất
ở lúc điểm C trùng với điểm C
1
và nằm trên đờng thẳng MN. (0,5 điểm)
Lấy điểm B
1
trên Ox sao cho OB
1
= OC
1
thì B
1
và C
1
là hai điểm cần tìm.
(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm):
Đặt x
2

Phơng trình đã cho tơng đơng với
3(x
2
+ 1 ) = 5(3 y
2
). (0,5
điểm)
Vì (3, 5) = 1 nên ta có (x
2
+ 1) chia hết cho 5 , tức là
x
2
+ 1 = 5t. (t Z) , ta cũng có 3 y
2
chia hết cho 3 (0,5
điểm)
hay 3 - y
2
= 3k ( k Z ) và 3.5 t = 5.3k, do đó t = k (0,5 điểm)
x
2
= 5t 1 0 nên t 1 (do t Z) (0,5
điểm)
y
2
= 3 3k 0 nên k 1
Suy ra t = k = 1 và x
2
= 4, y
2

Vậy tứ giác ABCM nội tiếp. (0,5 đ)
Chú ý: - Giám khảo có thể chia nhỏ điểm từng phần của các bài đến 0,25 điểm
- Nếu làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 1 năm học 2006-2007

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:
a, Cho 3 số hữu tỉ a, b, c thoả mãn: ab + ac + bc = 1.
Chứng minh rằng: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) là bình phơng của một số hữu tỉ.
b, Cho x, y là các số thực sao cho x + y = 2.
Chứng minh: x
4
+ y
4
2
Câu 2: Với n là số nguyên dơng, chứng minh: n
2
+11n+39 không chia hết cho 49
Câu 3: Tìm các số x, y, z thoả mãn phơng trình:

vòng 1 năm học 2006-2007
môn: Toán - lớp 9
Câu 1: (2,25 điểm).
a, Ta có: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) =
= (a
2
+ ab + ac + bc)( b
2
+ ab + ac + bc)( c
2
+ ab + ac + bc) (0,5 đ)
=
[ ]
))(( caba
++
[ ]
))(( cbba
++
[ ]
))(( cbac
++
=
[ ]
))()(( cbcaba

2
0 nên 2(k
4
+ 6k
2
) + 2 2 tức là x
4
+ y
4
2 (0,25 đ)
Dấu đẳng thức xảy ra khi k
4
+ 6k
2
= 0 hay k = 0, hay x = y = 1. (0,25 đ)
Câu 2: (1,25 điểm).
Ta có n
2
+ 11n + 39 = (n
2
+ 11n + 18) + 21 = (n + 9)(n + 2) + 21. (0,5 đ)
Vì hiệu của (n + 9) và (n + 2) là 7 nên chúng cùng chia hết cho 7 hoặc cùng
không chia hết cho 7 (0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia hết cho 49
nhng 21 không chia hết cho 49 nên n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49. (0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng không chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) không
chia hết cho 7 , nhng 21 chia hết cho 7 nên n
2

xx
+
[ ]
42).3(2)3(
2
+
yy
+
[ ]
93).5(2)5(
2
+
zz
= 0
(0,5 đ)

(
2
)12

x
+ (
2
)23

y
+ (
2
)35


x
2
+ 2xy + y
2
= x
2
y
2
+ xy.

(x+y)
2
= xy(xy+1) (0,5 đ)
Vì xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng nên tồn tại
một số bằng 0 (0,5 đ)
+ Nếu xy = 0 , thay vào (1) có x
2
+ y
2
=0

x = y = 0 (0,5 đ)
+ Nếu x + y + 1 = 0

xy = 1 thì
x = 1
y= -1
x = -1
y= 1
Thử vào (1) thoả mãn. Vậy (x ; y) = (0 ; 0) (1 ; -1) (-1 ; 1) (0,25 đ)



và y =

++
+
5310
53
5310
53
+

Câu3: Cho hệ phơng trình:
x- my = 2 - 2m
mx + y = 1 + 3m (I) với m là tham số.
1, Giải hệ (I) khi m = 1
2, Gọi (x
0
, y
0
) là nghiệm của hệ (I). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = x
0
2
+ y
0
2
- 2 x
0
khi m thay đổi.


=
x
x
xx
x
x
xx
4
2424
)
4
(
)24()24(
2
22

++
=

++
.
2,0
0,25
0,25
Điều kiện:






=

++
x
x
x
xx
Trờng hợp 2: Nếu
4x
-2 > 0

x > 8. Khi đó:
A =
4
2
2
4
2424

=

++
x
x
x
xx
.
*Xét A =
4



=
=
=
44
24
14
x
x
x







=
=
=
8
6
5
x
x
x
*Xét A =
4
2

p
q
p
=++=
+
8
2
8
2
)4(2
2
2

(k

Z)

2p
2
+8q
2
= kpq. Từ đó ta thấy 2p
2
chia hết cho q mà
(p,q) =1

q
2




+
++
+
==
2
2
)13(2
)13(
3242
324
3242
324
2
2
2
x
x
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
2
2,0
1
1,0
2
0,75
3


=
3
13
+
+
2
2
2
2
3
13
===

x
Rút gọn y:
2
y
=

++
+
52620
53
52620
53
+

153
53

++
y
So sánh
11
26
< y < x.
0,25
3
2,0
1
2
1,0
0,25
= 7 -
1
6
2
+
m
. Để A
min


1
6
2
+
m
lớn nhất



MQ = NM = PN = QP (1)

AMQ = BNM
0,25
0,25
4
3,0
1
0,5
0,5
0,5
BMN + BNM = 90
0

AMQ + BMN = BNM + BMN = 90
0


QMN = 90
0
(2).
Từ (1) và (2)

Tứ giác MNPQ là hình vuông.
Tứ giác MNPQ là hình vuông

Tứ giác ABCD là hình
vuông.
Ta chỉ cần chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật là đủ

++ cba 222
2ab +2bc + 2ca

a
2
+
++++ ccbba 222
22
a
2
+ b
2
+c
2
+2ab +2bc + 2ca

a
2
+
++++ ccbba 222
22
(a + b + c)
2
= 9 (*)
0,25
5