Môn Toán
THI THỬ ĐẠI HỌC 2011
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
1
.
1
x
y
x
+
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
.
1
x
m
x
+
=
−
Câu II (2 điểm)

L
x
→
− + +
=
−
b) Chứng minh rằng
0 2 4 6 98 100 50
100 100 100 100 100 100
2 .C C C C C C− + − + − + = −
Câu IV (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
3.a b c+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 9 16 9 16 4 16 4 9 .
a b c a b c a b c
M = + + + + + + + +
B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn
Câu Va (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình
( )
2 2
1
: 4 5 0C x y y+ − − =
và
( )
2 2
2
: 6 8 16 0.C x y x y+ − + + =

( )
α
lớn nhất.
Môn Toán
Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao
Câu Vb (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp
xúc với đường thẳng
: 2 0d x y− − =
tại điểm A có hoành độ bằng 4.
b) Cho tứ diện OABC có
4, 5, 6OA OB OC= = =
và
·
·
·
0
60 .AOB BOC COA= = =
Tính thể tích
tứ diện OABC.
Câu VIb (1 điểm)
Cho mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z− + − =
và các đường thẳng
1
1 3
: ,
2 3 2
x y z

=
−
có tập xác định
{ }
\ 1 .D R=
Giới hạn:
1 1
1 1 1
lim 1; lim ; lim .
1 1 1
x
x x
x x x
x x x
+ −
→±∞
→ →
+ + +
= = +∞ = −∞
− − −
0,25
Đạo hàm:
( )
2
2
' 0, 1
1
y x
x
−

x
+
=
−
Học sinh tự vẽ hình
0,5
Môn Toán
Số nghiệm của
1
1
x
m
x
+
=
−
bằng số giao điểm của đồ thị
1
1
x
y
x
+
=
−
và
.y m=
0,25
Suy ra đáp số
1; 1:m m< − >

x x t
π
π
 
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈
 
 
Suy ra
( )
[ ]
2
3 2 3 , 0;1f t t t m t= − + + = ∈
0,25
Ta có bảng biến thiên 0,25
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên
10
0; 2
2 3
m
π
 
⇔ ≤ ≤
 
 
0,25
b)
Giải phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
8
4 2

Tìm
3
2 2
0
3 1 2 1
lim .
1 cos
x
x x
L
x
→
− + +
=
−
Ta có
3
2 2
0
3 1 1 2 1 1
lim
1 cos 1 cos
x
x x
L
x x
→
 
− + + −
 ÷

Xét
( )
3
2 2
2
2
0 0
3
2 2 2
3
3 1 1 3
lim lim 2
1 cos
2sin 3 1 3 1 1
2
x x
x x
L
x
x
x x
→ →
− +
= = =
−
 
− − − +
 ÷
 ÷
 

Vậy
0 2 4 100 50
100 100 100 100
2 .C C C C− + − + = −
0,5
Câu IV Cho a, b, c thoả
3.a b c
+ + =
Tìm GTNN của
4 9 16 9 16 4 16 4 9 .
a b c a b c a b c
M = + + + + + + + +
Đặt
( ) ( ) ( )
2 ;3 ;4 , 2 ;3 ;4 , w 2 ;3 ;4 w
a b c c a b b c a
u v M u v= = = ⇒ = + +
r r uur r r uur
( ) ( ) ( )
2 2 2
w 2 2 2 3 3 3 4 4 4
a b c a b c a b c
M u v≥ + + = + + + + + + + +
r r uur
0,25
Theo cô – si có
3
2
2 2 2 3 2 6
b c a b c+ +

( )
( )
( )
2 2
1 1
2 2
2 2
2 3 1
;
;
3 4 3 2
B C A B
d I R
d I R
A B C A B


+ = +
∆ =
 
⇔ ⇔
 
∆ =
 
− + = +


Từ (1) và (2) suy ra
2A B=
hoặc

( )
3
; '
2
a
d M BB C AH⇒ = =
0,25
2 3
' ' '
1 1 3
'. .
2 2 3 12
BB C MBB C BB C
a a
S BB BC V AH S
∆ ∆
= = ⇒ = =
0,25
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình)
Ta có
' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB⊥ ⊥ ⇒ ⊥
0,5
Câu VIa
(Học sinh tự vẽ hình)
Gọi K là hình chiếu của A trên d
K
⇒
cố định;
Gọi
( )

là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK
( )
: 4 3 0x y z
α
⇒ − + − =
0,25
Câu Vb
a)
Gọi
( )
2 2
2 2
: 1
x y
H
a b
− =
(H) tiếp xúc với
( )
2 2
: 2 0 4 1d x y a b− − = ⇔ − =
0,25
( ) ( ) ( )
2 2
16 4
4 2 4;2 1 2x y A H
a b
= ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ − =
0,25
Từ (1) và (2) suy ra

OBC
S OB OC BOC= =
Vậy
1
. 10 2
3
OABC OBC
V AH S= =
0,25
Môn Toán
Câu VIb
Gọi
( ) ( )
1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t+ − + − −
( )
( )
; 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t= ⇔ − = ⇔ = =
0,25
Trường hợp 1:
( ) ( )
0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t= ⇒ = + − − −
uuuur
( )
. 0 ' 0 5;0; 5
P P
MN n MN n t N⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒ −
uuuur uur uuuur uur
0,25
Trường hợp 2:
( ) ( )