Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=

cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫

sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx

uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos

a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt

= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tan x 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=

ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/

Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos t dt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =Þ Þ
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
p p
= =Þ
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0

2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x t an t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= - = +Î Þ
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ
4 4

.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tan t+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-

2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cos x=
ĐS:
2
I
15
=
.

3
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sin x=

16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø

2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ

t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p
p
æ ö
p
÷
ç
-

I = p
.
Tổng quát:

4
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2

sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p

Giải
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ò ò
Đặt
t x dt dx
3
p
= + =Þ
⇒
1
I J ln 3
4
+ =
(2).
Từ (1) và (2)⇒

0 0
ln(1 tan t)
I 1 t an t dt ln(1 tan t)dt
1 t an t
p p
+
= + = +Þ
+
ò ò
.
Đặt
t u dt du
4
p
= - = -Þ
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =Þ Þ

5
0
4
0
4
I ln(1 t an t)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự

ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln 2
8
p
=
.
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
p
p
-
=

=
+
ũ ũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
v tha
f( x) 2f(x) cos x- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ũ
,

3.3. Cỏc kt qu cn nh

6
i/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a
a
f(x)dx 0
-
=
ũ
.
ii/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ũ ũ
.
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2 2
n n

Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0 !! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;= = = = = =
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.
2
11
0
10 !! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ũ
.
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc

/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ũ ũ
(2).
2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v
vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:

0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)

ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
+
= - =Þ
ò ò
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2

0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p
p
= = - = -Þ
ò ò
.
Đặt
x
x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî

p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t x=
2
0
I 2 t cos tdt 2
p
= = = -Þ p
ò
L L
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin 1 cos1)e 1
I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán

1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+


.
ĐS:
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.

9
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )

÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x
– 0 +  +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-

{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +

( )
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + -
.
Bng xột du
x 0 1 2
h(x) 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
ổ ử
ữ
ỗ
= + - = + - = +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ
.

6
0
1 x dx 0-
ũ
.
Gii
Vi
[ ]
1
3 3
6 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" - -ẻÊị ị
ũ
.
2. Dng 2
chng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx
ũ ũ
ta chng minh
f(x) g(x)
vi
[ ]
x a; b" ẻ
.
Vớ d 15. Chng minh
2 2
10 11

dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
Ê
+ +
ũ ũ
.
3. Dng 3
chng minh
b
a
A f(x)dx BÊ Ê
ũ
ta thc hin cỏc bc sau
Bc 1. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca f(x) trờn on [a; b] ta c
m f(x) MÊ Ê
.

11
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - - =££
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £

Giải
Với
2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
p p
é ù
" Σ£Þ££
ê ú
ë û
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2
3 2 sin x
-Þ £ £ Þ £ £
-
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2 sin x
p
p

.
Giải
Xét hàm số
cotgx
f(x) , x ;
x 4 3
p p
é ù
= Î
ê ú
ë û
ta có
2
/
2
x
cotgx
sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
-
-
p p
é ù
= < " Î
ê ú
ë û
( ) ( )
f f(x) f x ;

3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

12
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ì
"£ Î
ï
ï

ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Giải
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
é ù
" Σ££

2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 4
1 x
p
p
= =Þ
-
ò ò
.
Vậy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 20. Chứng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1

Vậy
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong

13
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các
đường
y f(x), x a, x b= = =
và trục hoành là
b
a
S f(x) dx=
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + + + - + + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
8
S
3

a
= -
ò
. Trong đó
, a b
là nghiệm nhỏ nhất
và lớn nhất của phương trình
f(x) g(x)=

( )
a b<£ a b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.

14
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò

÷ ÷
ç ç
= - - + - + - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
5
S
2
=
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =Û Ú Ú
.
Bảng xét dấu
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0
( ) ( )
2 3

; a b
phương trình
f(x) g(x)=
không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể
dùng công thức
[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ò ò
.
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
y x , y 4x= =
.
Giải
Ta có
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =Û Ú Ú
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
= - + -Þ
ò ò
0 2
4 4

t 3 x 3 x 3
= = =
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ

ờ ờ ờ
= = =
ở ở ở
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
= - + = - +ị
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
1 3
3 3
2 2

Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x 4x 3 x 3- + = +
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +

ớ
ờ ờ
=
ù
ù
ở
ờ
ù

ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy
109
S
6
=
(vdt).
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=

x 1-
0 +

16
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx= - - - + - -Þ
ò ò
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
æ ö æ ö
-
÷ ÷
ç ç
= - - + - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
73
S

2 2
x R x R= = ±Û
.
Phương trình
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -Û
( ) ( )
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
-
= - = -Þ p p
ò ò
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
æ ö
p
÷
ç
= - =p
÷
ç
÷
ç

x y
(E) : 1
a b
+ =
quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là
2
2
y
1 y b
b
= = ±Û
.
Phương trình
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -Û
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b

.
Vậy
2
4 a b
V
3
p
=
(đvtt).
3. Trường hợp 3.

17
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=

v
[ ]
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= -p
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
y x=

4 4
0 0
V x x dx x x dx= - = -ị p p
ũ ũ
( )
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
p
= - =p
.
Vy
3
V
10
p
=
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x f(y), x g(y)= =
,
y c=

v
[ ]
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d )= < " ẻ

2
2
2
1
V y 5 3 y dy
-
= - + - -ị p
ũ
( )
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
-
= - + +p
ũ
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - + + =p
ữ

2. Tớnh:
( )
1
19
0
1I x x dx=

. p dng kt qu ú hóy tớnh tng sau:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C= + +
.
3. Chng minh rng:
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+

+ + + + =
+ +

B=
2
2
-2
-1x dx
∫
C=
2
0
2 ln 2
x
dx
∫
3. Tính các tích phân sau:
A=
3
3cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx

dx
x
∫
J=
4
2
6
sin cot
dx
x x
π
π
∫
K=
10
1
lg xdx
∫
L=
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
M=
2

A=
1
2
0
4 -
dx
x
∫
B=
3
2
3
3
dx
x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
D=
ln 2
0
1-
1

0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
C
*
=
2
2
1
ln x
dx
x
∫
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
E=
2

∫
B=
2
3
0
cos xdx
π
∫
C=
1
0
x
xe dx
∫
D=
4
1
x
e
dx
x
∫
E=
2
1
lnx xdx
∫
F=
1
ln 1

x
dx
x+
∫
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x
+
b. y=2
x
; y=3−x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=
3
π
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
−2x
2
+4x−3 (C) và tiếp
tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0, x=1

= 0) sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4.
Câu II (2 điểm):a.Giải phương trình:
2
3 2 sin 2 1
1 3
2cos sin 2 tanx
+
+ = + +
x
x x
.
b.Giải hệ phương trình :
3 2
4 3 2 2
x y x xy 1
x x y x y 1

− + = −


− + =


Câu III (1 điểm). Tính tính phân sau:
π
2
2
0
dx
I

= + +
II. Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: ( 2 điểm)
1/.Cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong
CD:
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
2/. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d :
x 1 2t
y t
z 1 3t
= +


=


= +

.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn
nhất.
Câu VIIa:( 1 điểm)
Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được
5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm của hệ sau:

phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
Câu VII:( 1 điểm)

21
Giải hệ phương trình :
( )
( )
2 2
3 3
2 2
2 2
log log
4

− = − − +



+ =

y x y x x xy y
x y
Hết
Ghi chú :-Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu ĐÁP ÁN Điể
m
Ia -Tập xác định , tính y
/
-Nghiệm y

phân biệt khác 0.
/ 2
m 1 m 2
m m 2 0
(a)
m 2
g(0) m 2 0
≤ − ∨ ≥
= − − >


⇔ ⇔
 
≠ −
= + ≠


Δ
Diên tích
1
S BC.d(E, BC)
2
=
Khoảng cách
d(E,BC) 2=
Suy ra BC =
4 2
2
B C B C
(x x ) 4x x 16+ − =

⇔ + − =
tan cot
tan tan
x x
x x
x x
x x
⇔
3
3
1
3
6
π


= − = − + π


⇔


π
=

= + π





u x y,v x(y x)
= = −
0,25

22
Hệ trở thành
2
u v 1
u v 1
+ = −


+ =

Giải hệ
u 0
v 1
=


= −

,
u 3
v 2
= −


=



=

,
x 1
y 0
= −


=

0,25
0,25
0,25
III
π π
2 2
0 0
1 1
I dx dx
1 cos x 2 cos x
= −
+ +
∫ ∫
Tính
π π
2 2
0 0
2
dx dx

2 2
x x 3
tan 3 tan t (1 tan )dx (1 tan t).dt
2 2 2
= ⇒ + = +
• x = 0 => t = 0
x =
π
2
=> t =
π
6
2
π π
2 2
0 0
2
x
1 tan
dx
2
.dx
x
cos x 2
3 tan
2
+
=
+
+

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡O; B∈Oy; A
/
∈Oz.
Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A
/
(0;0;2a),,
/
3
; ;2
2 2
 
 ÷
 ÷
 
a a
C a
và E(0;a;a)
F di động trên AA
/
, tọa độ F(0;0;t) với t ∈ [0;2a]
Vì C
/
E có độ dài không đổi nên d(F,C
/
E ) nhỏ nhất khi
/
ΔFC E
S
nhỏ nhất
Ta có :

a t a
/
,
 
⇒ =
 
uuuur
uuur
EC EF
( 3 ; 3( ); 3)
2
a
t a t a a
−
− −
/ 2 2 2
, ( 3 ) 3( ) 3
2
 
⇒ = − + − +
 
uuuur
uuur
a
EC EF t a t a a
0,25

23
z
x

− 12at + 15a
2
f(t) = 4t
2
− 12at + 15a
2
(t ∈[0;2a])
f '(t) = 8t −12a
3
'( ) 0
2
a
f t t= ⇔ =
/
∆FC E
S
nhỏ nhất
⇔
f(t) nhỏ nhất
⇔
3
2
=
a
t
⇔
F(0;0;t) , hay FA=3FA
/
(
có thể giải bằng pp hình học thuần túy)

y z z x x y
+) Aùp dụng BĐT C.S ta có:
= + + =
2
1 ( )x y z
2
x y z
. y z . z x . x y
y z z x x y
 
+ + + + +
 ÷
 ÷
+ + +
 
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
(2x 2y 2z) 2( )
y z z x x y y z z x x y
 
≤ + + + + ≤ + +
 ÷
+ + + + + +
 

+) Ta có:
( )
2 2
2
1 1 1 1 4

0,25
0,25
0,25

VIa:1
Cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong
CD:
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
Điểm
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ −
.
Suy ra trung điểm M của AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ −
 
 ÷
 
.
Điểm
( )

⇒

− + =

.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của
( )
1;0K −
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+
= ⇔ + + =
− +

0,25
0,25
0,25

24
0,25
VIa:2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có
phương trình
x 1 2t

0,25
0,25
0,25
VIIa Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm
của hệ sau:
2 2 1
3
1
9 19
2 2
720
m
m n m
n
C C A
P
−
+
−

+ + <



=

<=>



⇔ + + <
2
m m 90 9 19m⇔ − + + <
2
m 20m 99 0⇔ − + <
119
<<⇔
m
vì
10
=⇒Ζ∈
mm
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy
được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
1575.
2
10
3
7
=CC
cách
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
350.
1
10
4
7
=CC
cách


( )
( )
2
2
2
2
9
1
3
4
4
2
4 3
81 225
9
3
16 16
4 1 6 3 1.
4
16 9 25
d
DB AB
DC AC d
d d d
æö
÷
ç
+ -
÷