ôn thi vào lớp 10 môn toán

Dạng I : rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
I/ Biểu thức số học
Ph ơng pháp:
+ Vận dụng các phơng pháp biến đổi căn thức: đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng
dạng; rút gọn phân số
+ Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài tập:
Thực hiện phép tính:
Bài1:
1/
2 5 125 80 605 +
2/
485274123 +
3/
277512 +
4/
16227182 +
Phơng pháp: Đa thừa số ra ngoài căn rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng.
Bài 2:
1/
15
1
15
1
+


2/

96220/5

200822009/6 +

Nhận xét:
Bài 1/



+=
=
134
1.33
Bài 2/



+=
=
538
5.315
Bài 3/



+=
=
178
1.77
Bài 4/

+=
yxb
yxa
.
(x>0; y>0) Thì :
222
)(.2.22 yxyyxxyxyxba +=+=+=
yx =
áp dụng tổng quát trên ta có :
1313)13(324/1
2
+=+=+=
Tơng tự để tính cho các bài 2;3;4;5;6.
Giải tiếp các bài tập sau: ( Gợi ý có thể nhân hoặc chia để tạo hai lần tích)
7/ A =
246625
8/ B =
5353 +

9/ C =
48135 +
10/ D =
7474 +

11/ E =
14 8 3 24 12 3
( HD: Chia hai vế cho
2
)
12/ F =


+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài2: Cho các biểu thức:
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 3: Cho biểu thức:
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ +
+


ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2

Bài 6: Cho biểu thức :
P =









+
+

























+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2













3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P


Bài 10: Cho biểu thức :
P =
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 11: Cho biểu thức
P =








+

aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =
32
và b =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 12: Cho biểu thức :
P =








+

+

+



3
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài 13: Cho biểu thức:
P =









+

+










1
1

32
và b =
3
Bài 15: Cho biểu thức :
P =
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x

33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0
Bài 17: Cho biểu thức:
P =










+
+
+

+













+


+







1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >

xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 20: Cho biểu thức:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

4
ôn thi vào lớp 10 môn toán 2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
a/ Rút gọn D
b/ Với giá trị nào của x thì D > 1
Dạng ii:
đồ thị
)0(&)0(
'2'
=+=
axayabaxy

2
x + b
2
.
a) (d
1
) ct (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)
d) (d
1
) (d
2
) a
1
a

2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (#) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (#) cú hai nghim phõn bit
0
>

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

5
ôn thi vào lớp 10 môn toán

b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (#) cú nghim kộp
0=
c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (#) vụ nghim
0<
VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b :
1.Biết quan h v h s gúc(//hay vuông góc) v i qua im A(x
0
;y
0
)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc để tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x
0
;y
0
vo cụng thc y = ax + b tỡm b.

;y
0
) nờn cú phng trỡnh :
y
0
= ax
0
+ b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = a

x
2
nờn:
Pt: a

x
2
= ax + b cú nghim kộp
+) Giải hệ



=
+=
0
00
baxy
tỡm a,b.
VII.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x

12
2
12
22
)()( yyxxBCACAB +=+=
IX. Mt s ng dng ca th hm s :
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số .

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

6
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài 1. cho parabol (p): y = 2x
2
.
1. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
2. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
3. Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2m +1.
Bài 2: Cho (P)
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho (P)

1
d
) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P):
2
.xay =
đi qua A
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
4. Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính chu vi tam giác ABC?
Bài 7: Cho (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là
-2 và 4
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

)//(d).
Bài 8: Cho (P):
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

7
ôn thi vào lớp 10 môn toán

1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
HD: Phơng trình có dạng:
baxy +=
mà a = m. thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2. vậy PT:
.2= mmxy
2. Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
3. Gọi
BA
xx ;
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính
giá trị đó?
Bài 9: Cho hàm số (P):
2

1;
2
3
) có hệ số góc là m
1. Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
3. Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 13: Cho (P):
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d):
2
2
+=
x
y
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
3. Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 14: Cho (P):
2
xy =

1.Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết ph. trình đờng thẳng AB
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 14: Cho (P):
2
2xy =

- Nếu
0;0 == ba
thì phơng trình vô số nghiệm.
- Nếu
0;0 = ba
thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu
0a
thì phơng trình có một nghiệm duy nhất
a
b
x =
ví dụ : Giải và bịên luận phơng trình sau:
14)1(4
2
+= mxxm
Giải:
144)14(144414)1(4
22222
+=+=+= mmxmmxmxmmxxm
2
)12().12)(12( =+ mxmm
Biện luận: + Nếu
2
1
m
thì phơng trình có một nghiệm:
12
12
+

xmxm

Bài 2.
( )
10
1
2
11
2
2
=

+
+
+

+

+
a
a
ax
a
ax
a
ax
HD: Quy đồng- thu gọn- đa về dạng ax + b = 0
b. hệ ph ơng trình bậc nhất có hai ẩn số:
+ Dạng tổng quát:


3 7
x y
x y
=


+ =


Giải:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

9
ôn thi vào lớp 10 môn toán

+ Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x

x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Bài2:
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =

Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.



Bài 3:
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+

*Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5

y
x x
y y
x x
x y

=
= =
+ = =



+ = =

= =
+ =
+ +
+


Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1




+ = = = =

1
2
3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

=


=
+

=
=


x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

1.2.
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =



3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5
x by
bx ay
+ =


− = −

có nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bµi 5: Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình
2
2
1 1
3
1


Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi - THCS C¶nh D¬ng

11
ôn thi vào lớp 10 môn toán

7.1)







=


+
=


+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
7.2)



=


+ = +


; 7.5)
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =


+ =

; 7.6)
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ = +


+ = +

.
7.7)
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4



=


; 7.10)
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

=

+



=

+

; 7.11)
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

=
-b +
2a


* Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b
2a
* Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
Chú ý: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn:* Nếu

' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
-b' - '
a

; x

2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

12
acb 4
2
=
b

=
b
2
1
và

' =
acb
2
'

a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0
thì phơng trình có nghiệm x
1
= m , x
2
= n
( hoặc x
1
= n , x
2
= m)
II. LP PHNG TRèNH BC HAI

1
= 8 và x
2
= -3
2. x
1
= 3a và x
2
= a
3. x
1
= 36 và x
2
= -104
4. x
1
=
1 2+
và x
2
=
1 2
2. Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim tho món biu thc cha hai nghim ca mt
phng trỡnh cho trc:
V ớ d: Cho phng trỡnh :
2
3 2 0x x + =
cú 2 nghim phõn bit
1 2
;x x

1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vy phng trỡnh cn lp cú dng:
2
0y Sy P + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y + = + =
Bi tp ỏp dng:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

13
«n thi vµo líp 10 m«n to¸n

1/ Cho phương trình
2
3 5 6 0x x+ − =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x

;x x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả
mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số :
2
727 1 0y y− + =
)
3/ Cho phương trình bậc hai:
2 2
2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình
bậc hai có các nghiệm
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
= −

4
Vì a + b =
−
3 và ab =
−
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2
4x = −
Vậy nếu a = 1 thì b =
−
4
nếu a =
−
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 v à P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 v à P = 20
4. S = 2x v à P = x
2

−

+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

Biªn so¹n : §ång §øc Lîi - THCS C¶nh D¬ng

14
ôn thi vào lớp 10 môn toán

nu a = 5 thỡ b = 4
2) ó bit tớch: ab = 36 do ú cn tỡm tng : a + b
Cỏch 1: t c =

b ta cú : a + c = 5 v a.c =


2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ =

+ =

+ =

*) Vi
13a b+ =
v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

+ + =


+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ =



+ =

*) Nu
11a b
+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x

=

Vy nu a = 5 thỡ b = 6 ; nu a = 6 thỡ b = 5.
IV. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr -
ớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để ph ơng trình có nghiệm x= x
1
cho tr ớc có hai cách làm:
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0

(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/


x x
ỏp dng h thc VI-ẫT ri
tớnh giỏ tr ca biu thc
1.Ph ơng pháp: Bi n i bi u th c l m xu t hi n : (
1 2
x x+
) v
1 2
x x

Dạng 1.
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + = +
Dạng 2.
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x

+ = + + = + +

Dạng 3.
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

).(4)(
2121
2
21
xxxxxx ++
Dạng 7.
3 3
1 2
x x
=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x

+ + = +

=.
Dạng 8.
4 4
1 2
x x
=
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+

1
3
2
2
3
2
1
=++== xxxxxxxx
Dạng 11.
5 5
1 2
x x+
=
)(.))((
21
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
xxxxxxxx +++
Dạng12: (x
1

=

+
=

+

Dạng 14:
cbxax =+
21
( Xem phần ví dụ ở mục VII)

2. Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim
a) Cho phng trỡnh :
2
8 15 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh
1.
2 2
1 2
x x+
(34) 2.
1 2
1 1
x x
+
8
15

ữ

ữ

2.
2 2
1 2
x x+
(65)
c) Cho phng trỡnh :
2
14 29 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

16
ôn thi vào lớp 10 môn toán

1.
1 2
1 1
x x
+
14
29

ữ

2.
2 2
1 2

+ +
5
6

ữ

5.
1 2
1 1
1 1x x
+

e) Cho phng trỡnh
2
4 3 8 0x x + =
cú 2 nghim x
1
; x
2
, khụng gii phng trỡnh, tớnh
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +

lm cỏc bi toỏn loi ny,các em lm ln lt theo cỏc bc sau:
1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x
1
v x
2
(thng l a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:
a
c
xx
a
b
xx =

=+
2121
.;
3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú ng
nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s.Đó chính là h
thc liờn h gia cỏc nghim x
1
v x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =
(1) cú 2 nghim
1 2

m
x x x x
m m
 
+ = + = +
 
 
− −
⇔
 
−
 
= = −
 
− −
 
B íc2: Rút m từ (1) ta có :
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + − ⇔ − =
− + −
(3)
Rút m từ (2) ta có :
1 2
1 2

3 2 8A x x x x= + + −
không phụ thuộc giá trị của m.
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

+ =


−

−

=

−

§K:(
101

B1: Dễ thấy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m∆ = + − − = − + = − + >
. Do đó phương trình đã cho
luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1
. 2 1
(2)
2
m x x
x x m
x x
x x m
m
= + −

+ = +

( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + =
.
Tỡm h thc liờn h gia
1
x
v
2
x
sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
Hng dn: D thy
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m = + = + >
do ú phng trỡnh ó cho luụn cú 2
nghim phõn bit x
1
v x
2

Theo h thc VI- ẫT ta cú
1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
+ = + = +



.x x x x+ =
Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú 2 nghim x
1
v x
2
l :
( )
( )
( )
2
2 2
0
0
0
0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0
1
' 3 21 9( 3) 0
m
m
m
m
m m m m
m
m m m






+ =





=


v t gi thit:
1 2 1 2
x x x x+ =
. Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m

= = = = =

(tho món iu kin xỏc nh )
Vy vi m = 7 thỡ phng trỡnh ó cho cú 2 nghim
1
x
v
2
x
tho món h thc :
1 2 1 2

4 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥
7
4 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +


= +

và từ giả thiết
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
. Suy ra
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0

2
2 4 7 0mx m x m+ − + + =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2
2 0x x− =
2. Cho phương trình :
( )
2
1 5 6 0x m x m+ − + − =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:
1 2
4 3 1x x+ =
3. Cho phương trình :
( ) ( )
2
3 3 2 3 1 0x m x m− − − + =
.
Tìm m để 2 nghiệm

0 &
15
m m≠ ≤

Biªn so¹n : §ång §øc Lîi - THCS C¶nh D¬ng

20
ôn thi vào lớp 10 môn toán

-Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m
x x
m
m
x x
m


+ =



+

=

22 25 0 11 96 11 96m m m = + +
- Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ =


=

- T :
1 2
4 3 1x x+ =
. Suy ra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 3( )
1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1
7( ) 12( ) 1
x x x
x x x x x x

1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x


+ =



+

=


- T gi thit:
1 2
3 5 6x x =
. Suy ra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2


=

(tho món )
Kết luận :
Để giải loại toán này ta lấy hệ số x
1
trừ cho hệ số của x
2
. Hiệu của hai hệ số là hệ số chung của
x
1
và x
2
, rút ra từ phơng trình mà bài toán yêu cầu.( điều kiện)
Ví dụ:
1/
1 2
2 0x x =
Ta lấy 1- (-2) =3. Do vậy hệ số của phơng trình rút sẽ là 3x
1
=.và 3x
2
=.
2/
1 2
4 3 1x x+ =
Ta lấy 4 3 =1 Do vậy hệ số của phơng trình rút sẽ là 1x
1
=.và 1x

1 2
S x x= +
1 2
P x x=
∆
Điều kiện chung
trái dấu
±
m
P < 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
±
±
P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0
cùng dương, + + S > 0 P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
−
−
S < 0 P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
( )
2 2
2 3 1 6 0x m x m m− + + − − =
có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
2 2

= <




Vậy với
2 3m− < <
thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
1.
( ) ( )
2
2 2 3 2 0mx m x m− + + − =
có 2 nghiệm cùng dấu.
2.
( )
2
3 2 2 1 0mx m x m+ + + =
có 2 nghiệm âm.
3.
( )
2
1 2 0m x x m− + + =
có ít nhất một nghiệm không âm.
IX. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
A m
C
k B
+

6A x x x x= + −
có giá trị nhỏ nhất.

Biªn so¹n : §ång §øc Lîi - THCS C¶nh D¬ng

22
«n thi vµo líp 10 m«n to¸n

Bài giải: Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m
+ = − −


= −

Theo đ ề b ài :
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x= + − = + −
( )
2
2
2
2 1 8
4 12 1

2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m
x x m
+ =


= −


( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3 2( 1) 3 2 1
2 1 ( ) 2 2 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
+ + − + +

m
m B
m
−
− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
+
Vậy
max B=1 ⇔
m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
2 1 4 4 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
m m m m m m
m
B
m m
m
+ + − + + − +

Biªn so¹n : §ång §øc Lîi - THCS C¶nh D¬ng

23
ôn thi vào lớp 10 môn toán

2
2
2 1
2 2 1 0
2
m
B Bm m B
m
+
= + =
+
(Vi m l n, B l tham s) (**)
Ta cú:
2
1 (2 1) 1 2B B B B = = +
phng trỡnh (**) luụn cú nghim vi mi m thỡ 0
hay
( ) ( )
2 2
2 1 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B + + +
1
2 1 0
2
1 0 1
1




+
















Vy:
max B=1
m = 1
1
min 2
2
B m= =
Bi tp ỏp dng
1. Cho phng trỡnh :
( ) ( )

t giỏ tr ln nht
b)
2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
t giỏ tr nh nht
4. Cho phng trỡnh :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
. Vi giỏ tr no ca m, biu thc
2 2
1 2
C x x= +
dt
giỏ tr nh nht.
5. Cho phng trỡnh
2
( 1) 0x m m+ + + =
. Xỏc nh m biu thc
2 2
1 2
E x x= +
t giỏ tr nh nht.
Bài tập
Bài tập 1:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) 15 b) x
2


Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

24
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài tập 3 Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 2)x + m
2
- 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m = 3;
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x = - 4;
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4:
Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 2)x + 2m
2
+ 3m = 0
a) Giải phơng trình với m = -2;
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4

- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 3x
2

Bài tập 9:
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 10:
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 11: Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
Bài tập 12: Cho phơng trình bậc hai

Bài tập 14: Cho phơng trình: mx
2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
Bài tập 15: Cho phơng trình: x
2
- (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2 Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

25