Chuyên đề nguyên hàm – tích phân
1,
( )
( )
2
2 2
3
2
1
0 0
0
2 2 8
2 2 4 2 2 1
3 3
2 2
xdx
I x dx x x
x x
 
 
= = + − = + − + = −
 ÷
 ÷
+ +
 
 
∫ ∫
2,
3 3 3 3 3
2
1 1 1 1 1

( 1)
7
x dx
I
x
−
′
=
−
∫
Để tính
3
2
1
( 1)
7
x dx
I
x
−
′
=
−
∫
ta đặt
2
1 1x t x t− = ⇒ = +
( )
2
2 2

3
I = − −
3,
6
3
2
1
2 1 4 1
I dx
x x
=
+ + +
∫
Đổi biến
2
4 1 4 1 2t x t x tdt dx= + ⇒ = + ⇒ =
5 5 5
3
2 2
3 3 3
( 1) ( 1)
2 1 ( 1) ( 1)
tdt d t d t
I
t t t t
+ +
⇒ = = −
+ + + +
∫ ∫ ∫
( )

1 1 1 65
ln ln 1 ln 2 ln
3 1 3 3 9
1
x dx d x
dx
I x x
x x
x x
+ − +
 
= = − = − + = −
 
+
+
 
∫ ∫ ∫
5,
10
5
5
2 1
2ln 2 1
dx
I
x x
= =
− −
+
∫

3 7 5 3 315
t t t
 
= − + =
 ÷
 
7,
1
7
0
3 2
2 1 1
x
I dx
x
+
= =
+ +
∫
(đổi biến
2 1 1t x= + +
)
8,
( ) ( )
1 1
2
8
2
0 0
4 14 1 14 9

I dx dx
x x
x
+ − + +
−
= =
+ +
+
∫ ∫

( ) ( ) ( )
2
1 1 3
2 2 2
1
2 2 3 2x x x dx
− −
 
= + − + + +
 
 
∫

( ) ( ) ( )
2
3 1 1
2 2 2
1
2 5
2 2 2 6 2 2 3

∫ ∫
11,
11
2
0
sin
3 cos
x x
I dx
x
π
=
+
∫
Đổi biến
t x dt dx
π
= − ⇒ = −
( ) ( )
( )
( ) ( )
11 11
2 2 2
0 0 0
sin sin cos
3 cos 3 cos 3 cos
t t t t d t
I dt dx I
t t t
π π π

π
π π π π
=
−
−
+
−
⇒ = = = =
+ + +
∫ ∫ ∫
12,
( )
( )
2
1 1
1
2
12
2 2
0
0 0
1
2
1 ln 1 ln 2 1
1 1
x
x
I dx dx x x
x x
+

 
− + − +
− +
= = = − − − = +
 
−
− − −
 
 
∫ ∫
14,
2
14
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
( )
2
0
sin cos '
1
1
2 sin cos 4

 
= = − = + = −
 ÷
 
∫ ∫
16,
( )
( )
3 3 3
16
3 2 3
2 3
4 4 4
sin
1 cos
cos .sin cos .sin
1 sin sin
d x
x
I dx dx
x x x x
x x
π π π
π π π
= = =
−
∫ ∫ ∫

( )
3 3

t
 
= − − − = +
 ÷
 
17,
( )
2 2 2
3 3 3 3
17
0 0 0
sin cos sin cosI x x dx xdx xdx
π π π
= + = +
∫ ∫ ∫

( ) ( )
2 2
2 2
0 0
2 2
3 3
0 0
sin cos cos sin
cos sin 4
cos sin
3 3 3
xd x xd x
x x
x x

1 1
2 2
0 0
2
0
2 2
2 2
2 2
2
2 ln 2 2ln 2 1
2
t
t
dt dt
t t
t
t
+ −
= =
+ +
 
= + + = −
 ÷
+
 
∫ ∫
Trần Văn Vũ
3
20,
( )

2 2 2 2
20
2 2
3 3
3
2 1 2 2 2 2 5
ln ln 2
3 3
t
I dt dt t
t t t t
+
+ +
− +
   
= = − = + = + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
21,
( )
2 2 2
3 2 2 5
21
0 0 0
1 sin sin sin sinI x xdx xdx xdx
π π π
= − = −
∫ ∫ ∫


π
π
π
π π
−
= + −
 
= − + − +
 ÷
 
 
= + − + = −
 ÷
 
∫ ∫
∫
22,
( )
3 2
2 2
22
0 0
4sin 4sin
cos
1 cos 1 cos
x x
I dx d x
x x
π π
= =

1 cos
1 cos 2 1 cos
x x x
I dx d x
x x
π π
= = − +
+ +
∫ ∫

( )
2
2
1
1
1 1 1 1 ln 2
ln
2 2 2
t
dt t t
t
− −
= = − =
∫
24,
( )
( )
( )
ln3 ln3 ln 3
24

 
= = − =
 ÷
+
 
Trần Văn Vũ
4
25,
( ) ( )
1 1 1
2
25
0 0 0
1
1 1
1 1 1
x x
x x x
x x x
e e
I dx d e e d e
e e e
 
= = = − + −
 ÷
− − −
 
∫ ∫ ∫

( ) ( )

∫ ∫ ∫

( )
( )
3
2
0
0
1 1 sin
1 sin sin sin
3 3 3 3 3 3
x
x d x x
π
π
π π π
 
= + − = + − =
 ÷
 
∫
27,
( )
( )
27
2
1 1
ln 1
ln
1

+ +
 
∫
1 1
1 1 1 2 1 2
1 1
1 1 1 1
e e
e e
e e
dx dx
e x x e x e
− −
 
= − + + + = + =
 ÷
+ + + +
 
∫ ∫
28,
( ) ( )
10 10 10
10
2 2 2 2 2 2 2
28
1
1 1 1
1 1
lg lg lg lg
2 2

x x x d x
xdx
 
= − = −
 ÷
 
 
= − −
 ÷
 
= − + = − −
∫ ∫
∫
∫
29,
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
29
0 0
2 5 ln 1 ln 1 5I x x dx x d x x= + + = + +
∫ ∫
Trần Văn Vũ
5

( )
( )
( )
2

 ÷
+
 
 
= − + − + = −
 ÷
 
∫
∫
30,
( )
1 1
2 2
2 2
30
2
0 0
1
1
1
x
x
x e
I dx x e d
x
x
 
= = −
 ÷
+

x
x e e
d x e xe dx
x x
e e
xd e xe e dx
e e e e
= − + = − +
+ +
= − + = − + −
 
= − = − − =
 ÷
 
∫ ∫
∫ ∫
31,
( ) ( )
( )
1 1
2 3
31
0 0
1
ln 1 ln 1
3
I x x dx x d x= + = +
∫ ∫

( )

∫ ∫
32,
( )
2 2 2
32
sin 2 sin 2
x x
I x e x dx x e dx x xdx
− −
= + = +
∫ ∫ ∫

( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
cos2
2
1
2 cos 2 cos 2
2
1 1
cos 2 2 sin 2

∫ ∫
Trần Văn Vũ
6
33,
2 2 2
33
2 2 2
2 2 2
cos cos
4 sin 4 sin 4 sin
x x x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π π π
− − −
+
= = +
− − −
∫ ∫ ∫
Ta có:
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
4 sin 4 sin 4 sin
t x
x t t
A dx dt dt A A

 ÷
− − + −
 
∫ ∫
Vậy
33
ln3
2
I A B= + = −
34,
4 4 4
sin sin
34
0 0 0
sin
(tan cos ) cos
cos
x x
x
I x e x dx dx e xdx
x
π π π
= + = +
∫ ∫ ∫

( )
4
2
sin sin
4

1
ln 1 ln 1 2t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + ⇒ =
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 3
35
1
1 1
2 2
1
2 2
2 2 1 1 1
3 3
t
I tdt t d t t
t
−
⇒ = = − − = − =
∫ ∫
36,
36
1
3 2ln
1 2ln
e
x

 
∫ ∫
Trần Văn Vũ
7
37,
4
37
0
2 1
1 2 1
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
Đặt
( ) ( )
2
1 2 1 1 2 1 1t x t x dx t dt= + + ⇒ − = + ⇒ = −
( )
4
4 4
2
37
2 2
2
1 1
1 2 2 ln ln 2 2


( )
( )
1
1
2
0
0
1 1 1 1 2ln 2 1
ln 1 ln 2
2 1 2 2 4
2 1
tdt
dx t
t
t
−
   
= = + + = − =
 ÷  ÷
+
   
+
∫
39,
( ) ( )
1 1 1
3 2
2 2 2
39

2 2 2 2 2 2 2 3
1 1 32 61
6 3 3 3
4 2 3 4 12
x
x
e t e
xe dt t t
t
e e
 
   
−
= − − = + − −
 ÷
 ÷  ÷
   
 
+
 
= − − = + −
 ÷
 
∫
40,
2 2 2
40
2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin 2 sin sin 2

thì:
( )
( )
2
6 6 6
6
2
2
0 0 0
0
3 1 tan
sin
1 1 sin 1
ln ln 3
cos 1 sin 2 1 sin 2
3 3tan
u du
d u
du u
A
u u u
u
π π π
π
+
+
⇒ = = = = =
− −
+
∫ ∫ ∫

2
I A B= + = + −
41,
( )
0 0 0
3 3
41
1 1 1
1 1
x x
I x e x dx xe dx x x dx A B
− −
− − −
= + + = + + = +
∫ ∫ ∫
Ta có:
( )
0 0 0
0
1
1 1 1
2 1
x x x x
A xe dx xd e xe e dx e
− − − −
−
− − −
= = − = − + = −
∫ ∫ ∫


( )
ln3
43
3
0
1
x
x
e
I dx
e
=
+
∫
Đặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx= + ⇒ = + ⇒ =
2
2 2
43
3 2
2
2 2
2 2 2
2 1
tdt dt
I
t t t

 
∫ ∫ ∫

2
1
0
1 1 1
2 2 2 2 2 2
x
e e e
e
   
= − = − − =
 ÷  ÷
   

( )
2
2
1 2
5 3
1
3 2 2 2
0 1
1
2 2 2
1 1
5 3 15
t x
t t

π
 
 ÷
= = = = −
 ÷
+
 
∫ ∫ ∫ ∫
Trần Văn Vũ
9

4
0
1 1 2 1
ln cos ln ln 2
8 2 8 2 2 8 4
x
π
π π π
= + = + = −
Trần Văn Vũ
10