LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1 I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx

Ví d
ụ
:
 d(x
2
– 2x + 2) = (x
2
– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx



Chú ý:
Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( )
1

1 1 1
3 3 3 3
x
x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



(
)
( ) ( )
ax
1 1
ln ax ln
ax
d b
dx dx
d b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +



( ) ( ) ( ) ( )

b ax b ax b x x
e dx e d b d e e dx d e
a a
+ + +
= + = → =


( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
tan tan2
2
cos cos cos 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= =  +  → =
 
+ +




ng (a; b). Hàm F(x)
đượ
c g
ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) = f(x) và
đượ
c vi
ế
t là
( )
f x dx
∫
. T
ừ

đ
ó ta có :
( ) ( )
f x dx F x
=
∫

Nh
ậ

nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể
c
ủ
a C thì ta
đượ
c m
ộ
t nguyên hàm
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
Ví d
ụ

t sau:
a) Tính ch
ấ
t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Chứng minh:
Tài liệu tham khảo:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
f x dx F x f x
′
′
= = ⇒
∫

ph
ả
i chính là nguyên hàm c
ủ
a f(x) + g(x).
T
ừ

đ
ó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

c) Tính chất 3:
(
)
. ( ) ( ) , 0
k f x dx k f x dx k
= ∀ ≠
∫ ∫

Ch
ứ
ng minh:

ọ
i là
tính bất biến
c
ủ
a nguyên hàm, t
ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào hàm,
mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM



h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:
n 1
n
x
x dx C
n 1
+
= +
+
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th

h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
1
1
n
n
u
u du C
n
+
= +
+
∫

+ V
ớ
i
1
2 2 2
2
2
dx dx du
n x C u C

2 2
5
x
x x dx x dx xdx x C
+ = + = + +
∫ ∫ ∫

c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3
3
3
1
2 2 2
3
x x x x x x x
dx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( ) ( )
( )

x
I x dx x d x I C
−
= − = − − − → = − +
∫ ∫

f)
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2 1
1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
du
u
d x
dx
I I C C
x x
x x
+
= = → = − + = − +
+ +
+ +

′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được ln
du
u C
u
= +
∫

+
( )
1
ln 2
1 1
2x 2
ln ax
1
ax ax
ln 2
2 2
dx
x k C

1 1 1
2 ln
4
dx x
x dx x dx dx x x C
x x
x x
 
+ + = + + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
(
)
3 2
1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d x
dx
I I x C
x x
+
= = → = + +
+ +
∫ ∫


Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )

dx
x x dx x xdx dx x dx x
x x x
−
 
+ + = + + = − + =
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1
cos ln 2 1
5 2
x
x x C
= − + − +

b)
( )
(
)
4 3
3 1 3 1 3
sin2 sin 2 3 sin2 2 os2 ln 4 3
4 3 4 3 2 4 4 3 2 4
d x
dx

   

T
ừ đó :
( ) ( )
1 1
sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x
x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

1 1
2cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C
= − − − +




ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c cosu sin
du u C
= +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
os ax os ax ax sin ax os2 sin 2
2
c b dx c b d b b C c xdx x C
a a
+ = + + = + + → = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
4 1 5
cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1
1 1
x

 
= = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 6:
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
2 2
1
tan tan x
cos cos
dx
x C C
x x
′
+ = ⇒ = +

ax b C x C
ax b a ax b a x
+
= = + + → = +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
2 2
1 1
cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2
cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2 2

( )
(
)
( )
( )
2
os
2 2
3 2
1 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2
du
c u
d x
dx
I I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫



 Công thức 7:
2
cot x
sin
dx

ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
2
cotu
sin
du
C
u
= − +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2

− + = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
sin
2 2
1 3
1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d x
dx
I I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − +
 
− −
∫ ∫


 Công thức 8:
x x
e dx e C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
x x x x
e C e e dx e C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s

a a
e dx e C
+ +
+ + +
− −

= +


= + = + →


= − +


∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
( )
(
)
2 1 2 1 2 1
2 2 2
3
1 4 4 1 1
2 1 4.2
sin 3 sin 3 2 3 sin 3

3 3
x x x
e c x dx e dx c x dx e d x c x d x
+ + +
+ − = + − = + − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
3 2
4 1
sin 1 3
3 3
x
e x C
+
= − − +



 Công thức 9:
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

Chứng minh:

=
, ta
đượ
c
u u
a du a C
= +
∫

+
( )
1 1
kx m kx m kx m
a dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
( )
( ) ( )
3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 2 3
2 3 2 3 2 3 3 2
3 2 3ln2 2ln3
u
x x

= +
∫
2)
3
5
2
7
1
3
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx
= − +
∫

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

6)
4
6
2
2 3
x
I dx
x
+
=
∫

7)
(
)
2
7
1x
I dx
x
−
=
∫

8)
(
)
2
3
8

11)
2
11
x x x x
I dx
x
− −
=
∫
12)
12
3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

13)
3
13
1
I x dx
x
 
= −
 

(
)
(
)
4
16
2
I x x x x dx
= − −
∫
17)
17
5
1
(2 3)
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1
( 3)
x
I dx
x
+
=

x
I x dx
 
= +
 
 
∫

22)
22
π 1
sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 
 
∫
23)
2
23
cos
2
x

=
−
∫
28)
(
)
2
28
tan 2
I x x dx
= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
∫
30)
2
30
cot
I xdx
=
∫
31)
( )
31

∫
34)
2
34
1
dx
3 2
I x
x
 
= +
 
+
 
∫

35)
2
35
1
sin
2 5
I x dx
x
 
= −
 
−
 
∫

=
−
∫
39)
2
39
11
3
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
40)
2
40
2 5
1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫

41)
3 2

+ +
=
+
∫

44)
2x 3
44
I e dx
− +
=
∫
45)
3 1
45
cos(1 )
x
I x e dx
−
 
= − +
 
∫
46)
2
1
46
.
x
I x e dx

 
= +
 
 
∫
49)
(
)
1 2 4 3
49
2
x x
I e dx
− +
= −
∫

50)
50
1
2
x
I dx
=
∫

51)
51
2
7

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
, C ∈ R.
• M
ọ
i hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên K
đề
u có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất

• '( ) ( )
f x dx f x C
= +
∫

•
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫


α

•
1
ln
dx x C
x
= +
∫

•
x x
e dx e C
= +
∫

•
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫

•
cos sin
xdx x C

1
cos( ) sin( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = + + ≠
∫

•
1
sin( ) cos( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = − + + ≠
∫

•
1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ≠
∫

•
1 1
ln
dx ax b C
ax b a

= −


b)
4
5 3
( ) tan 3 5
( ) 4tan 4 tan 3
F x x x
f x x x

= + −


= + +



c)
2
2
2 2
4
( ) ln
3
2
( )
( 4)( 3)
x
F x

1
x x
F x
x x
x
f x
x

− +
=


+ +

−

=

+


Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -

∫

3)
2
1
x
dx
x
−
=
∫

4)
2 2
2
( 1)x
dx
x
−
=
∫

5)
(


8)
2
tan

xdx =
∫

9)
2
cos

xdx =
∫

10)
2 2
1sin .cos
dx
x x
=
∫

11)
2 2
cos2


e
e dx
x
−
 
+ =
 
 
∫

15)
3 1
21
x
x
e dx
x
+
 
+ =
 
−
 
∫

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm F(x) c

x
−
= =
d)
2
1 3
( ) ; (1)
2
x
f x F
x
+
= =

e)
−
= − =
3
2
1
( ) ; ( 2) 0
x
f x F
x
f)
1
( ) ; (1) 2
f x x x F
x
= + = −

( ) ; (0) 8
( 1)
x x x
f x F
x
+ + −
= =
+
k)
2
π π
( ) sin ;
2 2 4
x
f x F
 
= =
 
 

Ví dụ 4. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a)
π
 
= + = =
 
 
2
( ) cos ; ( ) sin ; 3
2

ộ
t nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x):
a)
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tìm m
f x x x


= + + − +

= + −


b)
2
2
( ) ln 5
. .
2 3
( )
3 5

d)
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x e


= + +

= −



e)
2 2
2 2
( ) ( )
. , , .
( ) (2 8 7)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−

( ) ( 1)sin sin2 sin3
. , , .
2 3
( ) cos
b c
F x a x x x
Tìm a b c
f x x


= + + +


=


h)
2
2
( ) ( ) 2 3
. , , .
20 30 7
( )
2 3
F x ax bx c x
Tìm a b c
x x
f x
x


2
cot cot cot
sin
dx
d x d x a d a x
x
= − = − ± = −
2.
( ) ( ) ( )
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3
x dx d x d x a d a x
= = ± = − −
7.
( ) ( ) ( )
2
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

3.
sin (cos ) (cos ) ( cos )
xdx d x d x a d a x
= − = − ± = −

8.
(
)

10.
( ) ( )
1 1
dx d ax b d b ax
a a
= + = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫b)

2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫


2 2
1 1
2 2 2
ln
x
xdx d d x d x a
du
d u
u

 
= = = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)
( )
2 2
(ln ) ln

( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d x a
u
u du d
n
+

 
= = = ±

 
  

 

=
 

+
 


3
2 3
1
3 3
2
x
x dx d d x a
du
d u
u

 
= = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)
3 3
2 3

x
=
−
∫
c)
6
5 2
I x dx
= −
∫

Tài liệu tham khảo:

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n

2 2 2 2 2
2 2
4
1
1 1
1 1 1 1 .
2 2 3
x
I x x dx x d x x d x C
−
= − = − = − − − = − +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
1 1
ax ax
2
dx d b d b
a a
du
d u

x x x
=
− −
= = = ←→ = − +
− − −
∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
1
1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

= + = − −



 

=
 

7
5
4
2
5
x
I dx
x
=
−
∫
b)
8
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
c)
3
9
ln
x
I dx
x
=
∫


− +
 


( ) ( )
( )
( )
4
4
4
4
4
5
5
1
3
4 4
5
7
5 5
4 4
5 5
5 5
4
2 1 1
2 5 5 . .
2 2 4 8
5 5
x

dx
I x d x C
x
−
= = − − − = − +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c vi phân
( )
ln
dx
d x
x
= ta được
( )
3 4
3
9
ln ln
ln ln .
4
x x

=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có

( )
( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10
2010 2009
4 2
3 3 3 3
4 2 4 2 .
2 2 2009
4 2 4018 4 2
x
dx
I x d x C C
x x



Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Ta có
( )
11
cos cos
2 2 os 2sin .
2
x x
I dx dx c x d x x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )


Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
13
sin cos
I x xdx
=
∫
b)
14
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
4
15
sin cos
I x xdx
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
(

3 sin
sin cos sinx sin
4 4
u du d u
x
I x xdx d x I C C
 
 
=
 
 
= = ←→ = + = +
∫ ∫

b)
Ta có

( )
4
14
5 5 4
cos
sin (cos ) 1
.
cos cos 4 4cos
x
x d x
I dx C C
x x x
−


+
 


Khi
đ
ó ta
đượ
c
( )
5
4
5
5
4 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u
u du d
x
I x xdx xd x I C
 
=
 
 
 
= = ←→ = +

n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
sin x (cos )
ln
dx d x
du
u C
u
= −



= +


∫

Ta có
(
)
16

x
x
C C
= + = +

c)
Ta có

(
)
(
)
18
cos 3cos 1
sin 1 1
ln 1 3cos .
1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d x
xdx
I x C
x x x
+
= = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
19

1
xdx d
du
d
u
u
=



 
= −
 

 


( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
19
2 2 2
2 sin 2 5sin
2cos 2 2
.


=



Ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
20
sin 4sin 4sin 3
cos 1 1 1
4sin x 3 .
4 2 2
4sin x 3 4sin x 3 4sin x 3 2 4sin x 3
d x d x d x
xdx
I C
−
= = = = = − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫c)


= +


∫ ∫ ∫
∫

Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
21
cos
sin
tan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos
cos cos
d x
x
I x x dx x dx x x d x
x x
= = = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
21
ln (cos ) ln (cos )
.
2 2

cos 2
x
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
tan
cos
2
dx
d x
x
u
u du C

=




= +



cos
1
1 tan
cos
dx
d x
x
x
x

=




= +



Ta có
( ) ( )
3
3 3 2 5 3
23
4 2 2
tan 1
tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )
cos cos cos
x dx
I dx x x x d x x x d x

ax a ax a
u
udu C

= =




= +


∫

Ta có
24
2 2 2 2 2
tan2 1 tan2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 )
2 2
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx xd x d x
I dx
x x x x x
+
= = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
24
1 1 tan 2 tan2 tan 2 tan2

cot
π
cos
2
x
I dx
x
=
 
+
 
 
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
cot
sin
2
dx
d x
x
u
udu C

= −


)
1
sin x cos
1
n
n
dx d x
du u
C
u n
− +
 = −


= +

− +

∫

Ta có
( ) ( )
3
26 26
3 4 4 3 3
cos cos
tan sin 1 1
.
cos cos cos 3 3cos 3cos
d x x

=


 
+ = −

 
 


= − +


∫

Ta có
( )
27 27
2 2
cot cos cos (sin ) 1 1
.
π
sin . sin sin sin sin sin
cos
2
x x xdx d x
I dx dx C I C
x x x x x x
x
= = = − = − = + → = +

2
1
30
.
x
I xe dx
−
=
∫

d)
cos
31
sin
x
I e xdx
=
∫
e)
2ln 3
32
x
e
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:


b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( ) ( )
2
tan tan
cos
u u
dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±



= +

∫

Ta có
( )
tan 2

e du e C

= = − −



= +

∫

Ta có
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
30 30
1 1 1
. 1 .
2 2 2
x x x x x
I x e dx e xdx e d x e C I e C
− − − − −
= = = − − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

d) Sử dụng các công thức
(
)
sin cos
u u
xdx d x

= = ±



= +

∫

Ta có
( ) ( )
2ln 3
2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3
32
1 1
ln 2ln 3 .
2 2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e d x e C
x x
+
+ + + +
= = = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
6

2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫
3)
3
cos
x
I dx
x
=
∫

4)
4
cos sin
I x xdx
=
∫

5)
5
3
sin
cos
x
I dx
x

∫
3)
9
5 2
I xdx
= −
∫

10)
3
10
ln
x
I dx
x
=
∫
11)
2
1
11
.
x
I xe dx
+
=
∫
12)
4
12

∫

16)
tan
16
2
cos
x
e
I dx
x
=
∫
17)
17
x
e
I dx
x
=
∫
18)
2
18
1
I x x dx
= +
∫

19)

22
1
I x x dx
= −
∫
23)
23
cos 1 4sin
I x x dx
= +
∫
24)
2
24
1
I x x dx
= +
∫

25)
cos
25
sin
x
I e xdx
=
∫
26)
2
2

)
sinx
29
cos cos
I e x xdx
= +
∫
30)
2ln 1
30
x
e
I dx
x
+
=
∫
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1

1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
•

6
1 5
x
I dx
x
= =
−
∫

•
3
5
4
3
2 3
x
I dx
x
= =
+
∫

•
( )
6
2
2
2 3
xdx
I


•
4
10
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
3
11
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
12
3
dx
I
x x
= =

4
cos . 5 2sin
I x xdx
= − =
∫

•
5
sin
2 5cos
xdx
I
x
= =
+
∫

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2


x
= =
−
∫

•
9
sin3
1 2cos3
xdx
I
x
= =
+
∫

•
10
2
tan
3cos
xdx
I
x
= =
∫

•
11
4

14
2
sin
x
e
I dx
x
−
= =
∫

•
15
2
sin 4cot 3
dx
I
x x
= =
−
∫

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga

•
1
2 1
x
x
e

I dx
e
−
−
= =
−
∫

•
3
4
ln x
I dx
x
= =
∫

•
5
1 5ln
dx
I
x x
= =
−
∫

•
( )
6

Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
( )
n
g x
thì
đặ
t
1
( ) ( ) . '( )
n n
n
t g x t g x n t g x dx
−
= ⇔ = → =
Khi
đ
ó,
( ) ( )
I f x dx h t dt
= =
∫ ∫
, vi
ệ
c tính nguyên hàm
( )
h t dt
∫


a)

1
4 1
xdx
I
x
=
+
∫b)

3 2
2
2
I x x dx
= +
∫c)

2
3
1
x dx
I
x

tdt dx
xdx
t x t x I t dt
t
t
x
x
−
=


= + ⇔ = + → → = = = −

−
+
=


∫ ∫ ∫

3
3
(4 1)
1 1
4 1 .
8 3 8 3
x
t
t C x C
 

t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
( )
(
)
2
2
2
2 2
2
3
2 2
2
1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt
t tdt
x dx
t x t x x t I
t
x t x
= −


∫ ∫

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2. .
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

ln 3 2ln
x x dx
I
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặt
( )
2
2
2
4
ln 1
1 .2
ln
1 ln 1 ln
1 ln
2
x t
t tdt
x dx
t x t x I
dx
x t
x
tdt
x

 
 
∫

b) Đặ
t
3
2 3 2 2
3
3
5
2
3
ln 2
ln (2 ) .3
2 ln 2 ln .
2 ln
3
x t
x dx t t dt
t x t x I
dx
x t
x
t dt
x

= −
−


t t t dt t C x C
 
− − 
 
= − + = − + + = − + − +
 
 
 
 
∫

c) Đặt
2
2
3
ln
2
3 2ln 3 2ln
2
2
t
x
t x t x
dx
tdt
x

−
=


( ) ( ) ( ) ( )
5 3 5 3
5 5 3
3
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln
1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x x
t t t
t C C C I C
+ + + +
 
= − + = − + = − + → = − +
 
 

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

7
1
x
dx

10
4
1
dx
I
x x
=
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2
2
2
1
1
1 1
2
2
1
x
x
x x
x
e t
e t
t e t e
tdt

e
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +
− −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

7
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln .
1
1 1 1 1
x x
x x
t e e
t t C C C I C
t
e e
− − − − −
= − − + + = + = + → = +
+
− + − +

b) Đặt
( ) ( )
(
)
2
2



+ +
∫ ∫ ∫

(
)
2
2
3 2 2
1 .2
1 1 1
2 2 2 2 1 .
1
x
x
t tdt
t dt
dt dt t C e C
t
t t t
e
−
 
−
   
= = = − = + + = + + +
 
   
 

=
= =



−


Khi
đ
ó,
9
2 2
2 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.
4 ( 2)( 2) 4 2 2
4 4
4 4
dx dx tdt dt t t dt dt
I dt
x t t t t t
t t
x x x
+ − −
 
= = = = = = −
 
+ − − +
− −

4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x
dx x dx tdt
x dx tdt
x
x t

= −

= −


= + ⇔ = + → ←→
 
= =
=



−


Khi

t t C C C
t t t
x
− + −
 
= − = − − + + = + = +
 
− + +
 
+ +
∫ ∫

Ví dụ 4.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

a)
11
1 2 5
dx
I
x
=

d)
2
14
1 4ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)

Đặ
t
2
2
2 5 2 5 2 5
5
tdt
t x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = −
Khi đó,

2 2 2 2
t x t x tdt xdx xdx tdt
= + ⇔ = + ⇔ = → =

Khi
đ
ó,
12
2
1 (1 ) 1 (1 )
1 ln 1
1 1 1 1
1 2
xdx t dt t d t
I dt dt dt t t C
t t t t
x
− − −
 
= = = = − = − − = − − − +
 
− − − −
 
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
12
ln 1 2 2 .
I x x C

 
=
=





( )
( )
( ) ( )
5 2
2 2
3 2
3 3
3 5
4 2
13
3
2
3 4 3 4
4
3 3 3
4 2 .
2 2 2 5 10 4
4
x x
t t dt
x dx t
I t t dt t C C

1 4ln . .
4 4 12 12
x
xdx tdt t
I x t t dt C C
x
+
→ = + = = = + = +
∫ ∫ ∫
BÀI T
Ậ
P T
Ự
LUY
Ệ
N:
1)
1
4 3
1
x
I dx
x
−
=
+
∫

7
1 2 1
xdx
I
x
=
+ −
∫
6)
3 2
6
1
I x x dx
= −
∫

7)
3
7
4
I x x dx
= +
∫
8)
2
8
3 2
I x x dx
= −
∫

x x
=
+
∫
12)
12
1 3ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫

13)
2
13
1 1
x
x
e dx
I
e
=
+ −
∫

14)
( )
14

sin cos
dx d t a tdt
x t
a x a a t a t
= =


= →

− = − =



 Nếu hàm
f
(
x
) có chứa
2 2
a x
+
thì đặt
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos


a các hàm s
ố
sau:
a)

( )
1
2
; 2
4
= =
−
∫
dx
I a
xb)

( )
2
2
1 ; 1
= − =
∫
I x dx a
c)
( )
2

(2sin ) 2cos
2cos
2sin
2cos
4 4 4sin 2cos
4
dx d t t dt
dx tdt
x t I dt t C
t
x t t
x
= =


= → → = = = = +

− = − =
−


∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
1
2sin arcsin arcsin

2
1 cos2 1 1 1
1 cos .cos cos2 sin2
2 2 2 2 4
t t
I x dx t t dt dt dt tdt t C
+
= − = = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2
cos 1 sin 1
sin sin2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
2

sin sin2
cos 2 2 4
1
x dx t tdt c t
I t dt dt t t C
t
x
−
= = = = = − +
−
∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2
cos 1 sin 1
sin sin2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=




81 81 1 os4
9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2
4 4 2
c t
I x x dx t t tdt t tdt t dt dt
−
= − = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Tài liệu bài giảng:

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

81 1 1 81 1
os4 sin4
4 2 2 4 2 8
t
dt c tdt t C
   
= − = − +
 
 
   
∫ ∫



M
ặt khác,
2
2 2 2
2
2 2 2
os2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin2 . os2 2. 1 . 1
3 9 3 9 9
x x x x x
c t t t t c t
 
 
= − = − = − → = = − −
 
 
 
 

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
4
arcsin

1
2
; 1
1
dx
I a
x
= =
+
∫b)

2
2
2 5
I x x dx
= + +
∫c)

( )
2
3
2
; 2
4

t dt
x t I dt t C
t
t
x t

= = = +
+

= → → = = = +

+

+ = +

∫ ∫

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
đặ
t
1
tan arctan arctan .
x t t x I x C
= ⇔ = → = +

.cos
4 4 4tan
cos
cos
du
dt d u
du du u du
u
t u I
u u
u
t u
u
u

= =


= → → = = =


+ = + =


∫ ∫ ∫

2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin

đượ
c
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1 sin 1 1
4 2 5
ln ln ln .
1
2 1 sin 2 2
1 1
4 2 5
t x
u
t x x
I C C C
t x
u
t x x
+
+ +
+
+ + +
= + = + = +
+
−
− −
+ + +

3 4
2
2
4tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )
4 tan 1 tan 4 4 4
cos cos
2 1 tan
1 sin
t t dt t t t dt t d t
I t t dt dt
t t
t
t
+
→ = = + = = =
+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
( )
2
2
2
3
2 2
2
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4

 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
du du
du u u C
u u u u u u u u u u
 
− − − + = − − − − = − − − + + − +
 
− + + − − + + − − +
 
∫ ∫ ∫Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1
ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u t
C I C C
u u u u u u t t t
− − −

t I C
x x x
x
x x x
−
+
⇔ = → = − + +
+
− + +
+ + +

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

1
2
1
dx
I
x
=
−
∫
ả
i:
a) Đặ
t
2
2
1
2
2
2
2
2
1 cos
cos
sin sin
1 cos
sin
sin sin .cot
1
1
1 cot
1 1
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
dx t dt
t

(cos ) ln .
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t t
d t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2
2
2 2
1
2
2
1
1
1 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2
1
1
x
x

4 2cot 4
4 4
sin
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
t
x
t
t
x t x x
x
t
t

−
 
−

= =
=
 


 
 
= → ←→

t
−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫

T
ừ

2 2
2 2
2
2
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .
sin 4
x x
x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = +

c)

( )
1
3 3
2 2 2 2
2
( 1)

sin
udu
dt d
udu
dt
u u
t
u
u
t u
t
u

 
−

= =
 −
 
 
=


 
= → ←→
 
 
− =
− = −


− + −
∫

T
ừ
2 2
2
2
3
2
2 2
3 2 2
1 1
3 3 3 1 1
1
os 1 cos ln ln .
sin 2 2
3 2 2
1 1
1
t x x
t
t x
t c u t I C C
u t t
t x x
t x
− − −
+ +
−

1
ln .
2
dx x a
C
x a a x a
+
= +
− −
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a
C
a x a x a
−
= +
− +
∫


2
2
ln .
dx
x x a C

3
2
4
x dx
I
x
=
−
∫

4)
4
2
1
3 2
I dx
x x
=
−
∫
5)
2
5
2 1
I x dx
= +
∫
6)
6
2

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.
 Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có
( ) (ax )
ln ax .
( ) ax ax
P x k k d b k
I dx dx b C
Q x b a b a
+
= = = = + +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
4
2 1
I dx
x
=
−
∫
b)
2
1
1
x
I dx
x

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
1
4 4 (2 1)
2ln 2 1 .
2 1 2 2 1
d x
I dx x C
x x
−
= = = − +
− −
∫ ∫

b)

2
1 1 2 2
1 2 2ln 1 .
1 1 1 1
x x dx
I dx dx dx dx x x C
x x x x
+ − +
 

− − − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3
1 5 1 5
ln 3 4 ln 3 4 .
2 8 2 8
x x C I x x C
= − − − + → = − − − +

d)
( )
(
)
2 2
4
3
4 10
2 2 10 2 10ln 3 .
3 3 3 2
d x
x x x
I x dx x dx x x C
x x x
+
+ +
 
= = − + = − + = − + + +
 

4 2
7
4 3 2
2 1
x x x
I dx
x
+ + +
=
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
3
2
49
7 1 5 21
8
2 5 2 4 8 2 5
x x
x x
x x
− +
= − + −
+ +

Khi đó
3
2 2

x x C
x
+
= − + − = − + − + +
+
∫

b)
Ta có
3 2
2 3 2
6
3 3 2 9
3 6 7 3 7 9ln 1 .
1 1
x x x
I dx x x dx x x x x C
x x
+ + +
 
= = + + + = + + + − +
 
− −
 
∫ ∫

c)
Chia t
ử
s