BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TÓAN
ĐẾ 1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x
2
– 49 – 12xy + 9y
2
b) x
2
+ 7x + 10
Bài 2 (4đ) Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 3 (4đ). Giải phương trình
) 2 1 3 2a x x+ = −
b) x
2
– 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23

2
)-49
=(2x-3y)
2
-7
2
=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ)
(1đ)
Bài 1b)
x
2
+7x+10 =x
2
+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ)
(1đ)
Bài 2a) x
2
-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là
x ≠5và x ≠2
2 2
2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4
2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5
5 2 (2 4)( 2)
( 5)( 2)

, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau
TH1:
1
2 1 0 2 1 3 2
2
2 1 3 2 3
x x x x
x x x
≥ − ⇔ + ≥ ⇒ + = −
⇔ + = − ⇔ =
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.
TH2:
1
2 1 0 2 1 3 2
2
2 1 3 2 5 1 0,2
x x x x
x x x x
< − ⇔ + < ⇒ + = −
⇔ − − = − ⇔ = ⇔ =
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của
phương trình.
Kết luận phương trình có nghiệm x=3.
(1đ)
(1đ)

(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra
∆BDF~∆DEC⇒
·
·
BDF CDE=
.
(1,5đ)
4d) Ta có
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
0 0
90 90BDF CDE BDF CDE
AHB BDF AHC CDE ADF ADE
= ⇒ − = −
⇒ − = − ⇒ =
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia
phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam
giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta có
x

2 ( 2 ) ( 2 )
2
x xy y y yz z x xz z
 
− + + − + + − +
 
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2
x y y z x x
 
− + − + −
 
dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện
0x ≠
, bất phương trình
2008
2007
<
− x

2007 2008
0
x
x
+

G
H
D
C
B
A
Môn: Toán.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1: a) Giải phương trình:
4 3 2
11 10 0x x x x- + - + =
.
b) Tìm x, y thoả mãn:
2 1 4 4x x y y- - = - + -
.
Bài 2. Rút gọn
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A
- +
= +
- + + -
.
Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
2 2
4 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - +
.
2 2
2 2 2 2008Q x y xy x= + + - +
.

ê
=
ë
b)
2 1 4 4x x y y- - = - + -
2 2
( 1 1) ( 4 2) 0x y- - + - - =Û
1 1
4 2
x
y
ì
ï
- =
ï
ï
Û
í
ï
- =
ï
ï
î
2
8
x
y
ì
=
ï

3 9
- + +
=
-

24 2
4 2
6
= = -
-
4
K
D
H
C
G
E
F
I
J
B
O
A
M
Bài 3.
2 2
4 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - +

2 3 5 2 2 3 5 2 8x x x x= + + - + + - =³
Vậy, P

í í
ï ï
+ = = -
ï ï
î î
Bài 4.
a) Ta có:
OI OJ=

DF DK=Þ

//DH GKÞ
·
·
HDE GME=Þ
mà
·
·
GME GFE=
·
·
HDE GFE=Þ

DHEFÞ
nội tiếp được.
b) Từ câu a suy ra
· ·
DEH DFH=

mà

3
6
6
6
11
2
11
x
x
x
x
x
x
x
x
B
++






+
−






)
(0,5 điểm)
c. Xác định m để điểm M trùng điểm A
(0,5 điểm)
5. Cho đường thẳng (d), trên đường thẳng vuông góc với (d) tại H(H nằm trên (d)), lấy
điểm A, trên (d) lấy điểm T( T khác H)
(2,0 điểm)
a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T
(1,0 điểm)
b. Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h,
HT = x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x
(0,5 điểm)
c. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại A cắt (d) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x để T
là trung điểm ED
(0,5 điểm)
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH
GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 9
B. Phần Tự luận(7,0 điểm)
1. Cho
(
)
(
)
333
22
=++++ yyxx
(1). Tính giá trị biểu thức A = x + y
(1,0 điểm)
Nhân hai vế của (1) cho

(
)
3
2
+− yy
(3)
(0,25 điểm)
Cộng (2) và (3) ta có:
(
)
3333
22
=+++++− xxyy
(
)
33
22
+−++− yyxx
(0,25 điểm)
<=> 6(x + y) = 0 <=> x + y = 0
Kết luận: A = 0
(0,25 điểm)
2. Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(1,0 điểm)
6
3
3
3
6
6






+
=
=>
3
3
3
2
3
3
6
11
11
x
x
x
x
x
x
x
x
B
++




x
x
x
x
x
x
x
x
B
++






+






+−







=>






+=
x
xB
1
3
=>
6
≥
B
Vậy : min B = 6 <=> x = 1
(0,5 điểm)
3. Giải phương trình:
2122122 =+−+++++ xxxx
(1)
(1,0 điểm)
Điều kiện:
1−≥x
(*)
(1) =>
( ) ( )
21111
22
=−++++ xx

Ta có: Giả sử A(x; y) là điểm cố định của (d
1
) <=> y = 3 - m(x -2)
m
∀
<=>






=
=
⇔
=−
=−
3
2
03
02
y
x
y
x
Vậy A(2; 3)
(0,5 điểm)
Ta có: Giả sử B(x; y) là điểm cố định của (d
2
) <=> y + 3 - m(x + 2) = 0

(0,5 điểm)
Tọa độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) là nghiệm của hệ phương trình










−−=
≠=
⇔
=+−+
−−=
)2(3
0,
3
0)2(3
)2(3
xmy
m
m
x

(0,25 điểm)
5.
a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T
(1,0 điểm)
Dựng đường thẳng (a) đi qua O vuông góc với (d)
(0,25 điểm)
Dựng đường trung trực (b) của đoạn AT
(0,25 điểm)
Giao điểm của (a) và (b) là tâm O của đường tròn (O) cần dựng
(0,5 điểm)
b. Đường thẳng qua T vuông góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h, HT =
x. Tính bán kính đường tròn (O) theo h và x
(0,5 điểm)
Ta có (a) // AB và O trung điểm AC => T trung điểm BC => tam giác ABC cân tại A
=> AB = AC = 2R
Xét tam giác vuông HAT: AT
2
= AH
2
+ HT
2
= h
2
+ x
2

Xét tam giác vuông TAB: AT
2
= AH.AB = h.2R
8

h x x h= ⇒ =
Vậy
3
3
x h=
thì T là trung điểm của ED
(0,25 điểm)
x
(a)
(b)
H
C
O
D
E
B
T
A
ĐỀ 4
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian:90 phút(không kể thời gian phát đề)
Phần Tự luận(7,0 điểm)
9
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
(a + b + c)
3
- (a + b - c)
3

)1(3
23
+++
+
=
xxx
x
A
. Tìm x để A lớn nhất (1,0 điểm)
7. Giải phương trình:
9
2008
8
2007
7
2006
6
2005
5
2004
4
2003
3
2002
2
2001
1
2000
=
+

3
- (a + b - c)
3
- (b + c - a)
3
- (c + a - b)
3
Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b
=> x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a
Ta có:(a + b + c)
3
- (a + b - c)
3
- (b + c - a)
3
- (c + a - b)
3
= (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
= [(x + y + z)
3
– x
3
] – (y

+xy+xz+x
2
- y
2
+ yz - z
2
)
= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3yz + 3zx)
= 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] (0,25 điểm)
= 3(y + z)(x + y)(x + z)
= 3. 2c.2b.2a = 24abc (0,25 điểm)
Vậy (a + b + c)
3
- (a + b - c)
3
- (b + c - a)
3
- (c + a - b)
3
= 24abc
2. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax
3
+ bx
2
+ c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho x
2
- 1 thì dư
là x + 5 (1,0 điểm)

1
4
a
b
c
=


⇔ =


=

(0,75 điểm)
Vậy f(x) = x
3
+ x
2
+ 4 (0,25 điểm)
3. Chứng minh đẳng thức
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
zyx
xyzxyz
yxzxzyzyx
yxzxzyzyx
++
++
=
−+−+−

)
= x
3
(y
2
– z
2
) + y
3
(z
2
– y
2
) + y
3
(y
2
– x
2
) + z
3
(x
2
– y
2
)
= (y
2
– z
2

z+xyz+y
2
z-xy
2
-xz
2
-xyz-y
3
-yz
2
-y
2
z)
= (y – z)(x – y)(x
2
y – yz
2
+ x
2
z – xz
2
)
10
= (y – z)(x – y)[y(x
2
– z
2
) + xz(x – z)]
= (y – z)(x – y)(x – z)[y(x + z) + xz]
= (y – z)(x – y)(x – z)(xy + yz + zx) (0,25 điểm)

3
) (0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)(x
2
+ xy + y
2
- y
2
- yz - z
2
)
= (y – z)(x – y)(x
2
– z
2
+ xy – yz)
= (y – z)(x – y)(x – z)(x + y + z)
( )( )( )( )
( )( )( )( )
y z x y x z xy yz zx xy yz zx
VT
y z x y x z x y z x y z
− − − + + + +
= =
− − − + + + +
Vậy đẳng thức đã được chứng minh (0,25 điểm)
4. Cho biểu thức :
1
)1(3
23

+
=
+ +
2
3
1x
=
+
(0,5 điểm)
Mà
2
2
3
1 1 3
1
x
x
+ ≥ ⇒ ≤
+
(0,25 điểm)
A đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x = 0 (0,25 điểm)
5. Giải phương trình:
9
2008
8
2007
7
2006
6
2005

0)1
2008
8
()1
2007
7
(
)1
2006
6
()1
2005
5
()1
2004
4
()1
2003
3
()1
2002
2
()1
2001
1
()1
2000
(
=−
+

2000
2003
2000
2002
2000
2001
2000
2000
2000
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
⇔
xxxxxxxxx
0)

(1,5 điểm)
Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với BC, AD
ABJKABCDIKD
SSSScgcIJCIKD =⇒=⇒∆=∆
∆∆ IJC
) (
(1) (0,5 điểm)
Và
HAKEBJ
SSHAKEBJ
∆∆
=⇒∆=∆
(0,5 điểm)
Mà
ABEH ABEK HAK
ABEH ABJK
ABJK ABEK EBJ
S S S
S S
S S S
= +

⇒ =

= +

(2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ta có: S
ABEH
= S

A
x 1
−
=
+
Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình:
2x
2
+ 3y = 1
3x
2
- 2y = 2
Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp
thành các tổ học tập:
- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người.
Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong
đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường
thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM.CN = 2R
2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên
tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D

2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x 1 x 1 0 x 1 x 1
x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1
x 1 x 1 1 0
x 1 0hay x 2 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1 hay x 2 hay x 2
− − + = ⇔ − = −
 
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− = − − − − =
 
 
≤ − ≥

≤ − ≥


⇔ ⇔

1 2
Do x 1 1 1 2
x 1 x 1
Suy ra A 1
A 1 x 0
− + −
= = = −
+ + +
−
+ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ −
+ +
≥ −
= ⇔ =
Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0
0,5
0,5
0,5
4
(2đ)
. Đặt u = x
2

≥
0, ta có:
2u + 3y = 1
8
13
u
=


0,25
0,75
0,25
0,5
0,25
5
(4đ)
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
số bạn nam được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương.
0,5
13
⇔
⇔

2 2 2 26
13 13
x = ± = ±

1
13
y
=−
Theo đề ra ta có hệ:
32 24
x y
=
(1)
9
≤

1 2
7 7
t
< ≤
Vì t
∈
z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là:
56
4
6 8
=
+
tổ
0,75
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
6
(5đ)
C
a)
A B
N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính

hay CM.CN = OC.CD = 2R
2

d) Vì MP = OC = R không đổi.
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB
nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
7
(3đ) 0,5
14
M
O
A B
D
C
*
·