Đề thi HSG lớp 10 (năm hoc 2006-2007)
Câu 1: Cho PT bậc hai
( )
2 2
4 3 3 0x m x m m+ + + =
. Tìm m để PT có hai nghiệm
1 2
,x x
đều khác 1
Khi đó chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 2
49
7
1 1 9
mx mx
x x
< +

Câu 2: Giải PT
2 2
3 2
4
3 2 2 2
x x
x x x x
+ =
+ +
Câu 3: Giải hệ PT:
3 2 1 1

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y

=


+ + =


2) Giải PT:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
+
+ + = +
+
Câu 3: 1) Với giá trị nào của m các nghiệm
1 2
,x x

2
1 2
2a 4 0 ,x x có nghiệm là x x+ + =
a) Xác định các giá trị của a để
1 2
,x x
là các số dơng
b) Hãy tính các biểu thức M, N theo a

4 4
1 2 1 2
,M x x N x x= + = +
c) Xác định a sao cho
2 2
1 2
2 1
4
x x
x x

+
ữ ữ


Câu 2: Cho hệ PT :
2
2
2 3 1 0
2 0
x ax a

giác ABC . Đờng tròn tâm O
1
tiếp xúc với AB, AC và BC lần lợt tại C
1
, G và E, đờng tròn tâm O
2
tiếp xúc
với AC, BC và AB lần lợt là B
1
, F và H. Gọi P là giao của EG và FH; I là giao của PA và BC. Chứng minh
rằng:
a) Ba điểm O
1
, A, O
2
thẳng hàng.
b)
1
2
O A
IE
IF O A
=
.
Đề thi HSG năm học (2003-2004)
Câu 1 : Giải hệ PT:
3
3
3
3 4

cắt nhau tại P. Giả sử PA
2
= PD.PB và P không nằm trên đờng thẳng BD. Cmr:
a) Tam giác APD đồng dạng với tam giác BPC
b) Giao điểm của AC vàBD là trung điểm AC
Đề thi HSG năm học (2002-2003)
HD(năm 2006-2007)
Câu 1: PT có nghiệm
( )
1 2
2
0
2
, 1
3
1 0
0, 2
m
x x
f
m m










m m
x x m
+
+ = = +

Đặt
( )
2
6 1f m m m= +
với m thoả mãn điều kiện (*) ta thấy f(m) là hàm nghịch biến trên
( ) ( )
2 2
;2 2 đpcm
3 3
f f m f

<
ữ ữ


Câu 2: Do x=0 không là nghiệm của PT, nên chia cả tử và mẫu vế trái của PT cho x ta đợc PT tơng đơng
3 2
4
2 2
3 2x x
x x
+ =
+ +
Đặt
4

( )
3 2 1 1 1
3 2 1 1 2
x y
y x

+ + =


+ + =


Điều kiện của ẩn
1
,
2
x y
. Lấy (1) trừ (2) ta đợc
( )
3 2 1 3 2 1 3x x y y+ + + = + + +
Ta thấy hàm
( )
1
3 2 1 là hàmđồng biến / ; )
2
f x x x

= + + +




= −


C©u 4:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2
2 2
1 1 1 1
3 2
3 3 2 6
CD CA CB OA OB OC
OE OA OD OC OA OA OB OC OA OB OC
= + = + −
 
= + + = + + + = + +
 ÷
 
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Do ®ã
( ) ( )
( )
2 2 2
2 .6 2 3 2
3 4 4 . 4 .
4 4 . 0
CD OE OA OB OC OA OB OC

 
− +
= + = + ≥
 ÷
 
⇒
A
C
D
B
E