ĐẶNG VIỆT HÙNG www.moon.vn
Bài 7: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG – DAO ĐỘNG TẮT DẦN – DAO
ĐỘNG CƯỠNG BỨC
I. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1. Tổng hợp dao động điều hòa
Xét một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình
lần lượt là
1 1
x A cos( t )= ω + ϕ
;
2 2 2
x A cos( t )= ω + ϕ
. Khi đó dao động tổng hợp
1 2
x x x= +
có biểu thức
là
x Acos( t )= ω + ϕ
. Trong đó:
2 2
1 2 1 2 2 1
A A A 2A A cos( )= + + ϕ −ϕ
1 1 2 2
1 1 2 2
A sin A sin
tan
A cos A cos
ϕ + ϕ
ϕ =
ϕ + ϕ
Đặc điểm:

π
∆ϕ = +
thì hai dao động vuông pha:
2 2
1 2
A A A= +
Chú ý :
- Khi hai phương trình dao động chưa có cùng dạng (cùng dạng sin hoặc cùng dạng cosin) thì ta phải sử
dụng công thức lượng giác để đưa về cùng dạng. Cụ thể
sinx cos x
2
π
 
= −
 ÷
 
;
cos x sin x
2
π
 
= +
 ÷
 
, hay để đơn giản dễ nhớ thì khi chuyển phương trình sin về cosin
ta bớt đi
2
π
còn đưa từ dạng cosin về sin ta thêm vào
2

= π − = π +
 ÷  ÷
   
.
a. Viết phương trình của dao động tổng hợp.
b. Vật có khối lượng là m = 100g, tính năng lượng dao động của vật.
c. Tính tốc độ của vật tại thời điểm t = 2s.
Hướng dẫn giải:
a. Ta chuyển x
2
về dạng phương trình cosin để tổng hợp
CHƯƠNG II – DAO ĐỘNG CƠ HỌC
1
ĐẶNG VIỆT HÙNG www.moon.vn
2
x sin 100 t cos 100 t cos 100 t
6 6 2 3
π π π π
     
= π + = π + − = π −
 ÷  ÷  ÷
     
Khi đó hai dao động thành phần có cùng pha ban đầu, áp dụng chú ý ta được
1 2
x x x 2cos 100 t cos 100 t 3cos 100 t
3 3 3
π π π
     
= + = π − + π − = π −
 ÷  ÷  ÷

 
= − π π − ≈
 ÷
 
Ví dụ 2:
Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1 1 2 2
5
x A cos 20t (cm);x A cos 20t (cm)
6 6
π π
   
= + = +
 ÷  ÷
   
. Biết tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao
động là
max
v 140(cm / s)=
. Tính biên độ dao động A
1
của vật.
Hướng dẫn giải:
Ta có
max
140
v 140(cm / s) A A 7(cm)
20
= = ω ⇒ = =
Mà

Nếu cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động tắt dần (bằng cách tác dụng một ngoại lực cùng chiều
với chiều chuyển động của vật dao động trong từng phần của chu kì) để bù lại phần năng lượng tiêu hao
do ma sát mà không làm thay đổi chu kì dao động riêng của nó, khi đó vật dao động mải mải với chu kì
bằng chu kì dao động riêng của nó, dao động này gọi là dao động duy trì. Ngoại lực tác dụng lên vật dao
động thường được điều khiển bởi chính dao động đó.
4. Dao động cưỡng bức:
a. Khái niệm
Dao động cưỡng bức là dao động mà hệ chịu thêm tác dụng của một ngoại lực biến thiên tuần hoàn có
biểu thức F=F
0
sin(ωt).
b. Đặc điểm
- Ban đầu khi tác dụng ngoại lực thì hệ dao động với tần số dao động riêng f
0
của vật.
CHƯƠNG II – DAO ĐỘNG CƠ HỌC
2
ĐẶNG VIỆT HÙNG www.moon.vn
- Sau khi dao động của hệ được ổn định (thời gian từ lúc tác dụng lực đến khi hệ có dao động ổn định gọi
là giai đoạn chuyển tiếp) thì dao động của hệ là dao động điều hoà có tần số bằng tần số ngoại lực.
- Biên độ dao động của hệ phụ thuộc vào biên độ dao động của ngoại lực (tỉ lệ với biên độ của ngoại lực)
và mối quan hệ giữa tần số dao động riêng của vật f
0
và tần số f dao động của ngoại lực (hay
0
f f−
).
Đồ thị dao động như hình vẽ:
5. Hiện tượng cộng hưởng:
Nếu tần số ngoại lực (f) bằng với tần số riêng (f

một cơ cấu nào đó
- Dao động với tần số đúng bằng tần số dao động
riêng f
0
của vật
- Biên độ không thay đổi
b. Cộng hưởng với dao động duy trì:
• Giống nhau:
Cả hai đều được điều chỉnh để tần số ngoại lực bằng với tần số dao động tự do của hệ.
• Khác nhau:
Cộng hưởng Dao động duy trì
- Ngoại lực độc lập bên ngoài.
- Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao
động do công ngoại lực truyền cho lớn hơn năng
lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó.
- Ngoại lực được điều khiển bởi chính dao động ấy
qua một cơ cấu nào đó.
- Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao
động do công ngoại lực truyền cho đúng bằng
năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì
đó.
7. Nâng cao : Các công thức tính toán trong dao động tắt dần
a. Định lý động năng
Độ biến thiên năng lượng của vật trong quá trình chuyển động từ (1) đến (2) bằng công của quá trình đó.
2 1
W W A− =
, với A là công.
CHƯƠNG II – DAO ĐỘNG CƠ HỌC
3
ĐẶNG VIỆT HÙNG www.moon.vn

1 0 1 0 0 1
1 1 2F
kA kA F(A A ) A A , (1)
2 2 k
− = − + ⇒ − =
, hay
2F
A
k
∆ =
Gọi A
2
là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ đầu tiên)
Ta có
2 2
2 1 2 1 1 2
1 1 2F
kA kA Fs F(A A ) A A
2 2 k
− = − = − + ⇒ − =
, (2)
Từ (1) và (2) ta có
0 2
4F
A A
k
− =
Tổng quát, sau N chu kỳ
0 2N
4N.F

2
0
kA
s
2F
=
Chú ý:
Lực F thường gặp là lực ma sát (
ms
F F mg= = µ
), với µ là hệ số ma sát và lực cản (F=F
c
).
Kết luận:
Từ những chứng minh trên ta rút ra một số các công thức thường được sử dụng trong tính toán:
- Độ giảm biên độ :
ms
2F 2 mg
A , F F
k k
µ
∆ = = =
- Quãng đường mà vật đi được trước khi dừng lại :
2 2
0 0
ms
kA kA
s ,F F
2F 2 mg
= = =

Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi
trong một dao động toàn phần là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi A
0
là biên độ dao động ban đầu của vật. Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên biên độ còn lại là
A=0,97A
0
.
CHƯƠNG II – DAO ĐỘNG CƠ HỌC
4
ĐẶNG VIỆT HÙNG www.moon.vn
Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là
( )
2
2
0 0
2
2
0
1 1
kA k 0,97A
2 2
W 1 0,97 0,06 6%
1
kA
2
−
∆ = = − =;
Ví dụ 2:

4. .0,15.10
= ⇒ µ =
µ
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần. Người ta đo được độ giảm tương đối của biên độ trong 3 chu kỳ đầu tiên
là 10%. Độ giảm tương ứng của thế năng là bao nhiêu?

Bài 2:
Một con lắc đơn có độ dài 0,3m được treo vào trần của một toa xe lửa. Con lắc bị kích động mỗi khi bánh xe của
toa xe gặp chổ nối nhau của các đoạn đường ray. Khi con tàu chạy thẳng đều với tốc độ là bao nhiêu thì biên độ của
con lắc lớn nhất. Cho biết khoảng cách giữa hai mối nối là 12,5m. Lấy g=9,8m/s
2
.
Bài 3:
Một người đi bộ với bước đi dài
s 0,6m∆ =
. Nếu người đó xách một xô nước mà nước trong xô dao động với tần
số f = 2Hz. Người đó đi với vận tốc bao nhiêu thì nước trong xô sóng sánh mạnh nhất ?
Bài 4:
Một vật khối lượng m = 100g gắn với một lò xo có độ cứng 100 N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ
ban đầu 10cm. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
,
2
10π =
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là
0,1µ =
. Vật dao động tắt dần với chu kì không đổi.
a. Tìm tổng chiều dài quãng đường s mà vật đi được cho tới lúc dừng lại.