Nghiệp vụ s phạm
Mục lục
Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Phơng pháp nghiên cứu
4. Nhiệm vụ của đề tài
5. Phạm vi đề tài
6. Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
7. Dự kiến kết quả của đề tài
Phần II: Nội dung
I/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại
số
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
2. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
3. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
II/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong
hình học
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học
2. Một số cách chứng minh bất đẳng thức trong hình học
Phần III: Thực nghiệm s phạm
Phần IV: Kết luận
Phần V: Tài liệu tham khảo
A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài.
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bản cũng nh ứng
dụng vào tất cả các ngành công nghiệp then chốt nh: dầu khí, viễn thông, hàng
không, đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó với Toán học. Sự ra đời và
phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng
của Toán học, đa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng
minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm
nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng
tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo,
giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất
đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và
vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
2
Nghiệp vụ s phạm
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục
đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3) Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại tr-
ờng.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp.
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
4) Nhiệm vụ của đề tài.
Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để
làm bài tập.
Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp.
Chọn lọc, hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng

a - b < 0.
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b

b < a.
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c

a > c.
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất
đẳng thức: a > b

a + c > b + c.
2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d

a + c > b + d.
Chú ý: không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng.
a > b, c > 0

a.c > b.c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm.
a > b, c < 0

a.c < b.c
2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

m
= a
n
.
- Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
.
2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
4
Nghiệp vụ s phạm
Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì
<
a
1
b
1
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức
không chặt (a

b) tức là a > b hoặc a = b.
Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <) có thể
thay bởi dấu

( hoặc dấu

)
3. Các bất đẳng thức cần nhớ.

b
. Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab

0.
3.5.
ba



a
-
b
. Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab

0;
a



b
.
(Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a

b

0 hoặc a

b

0).

1
với a; b > 0.
d/
b
a
+
a
b


2 với ab > 0.
e/ (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
).(x
2
+ y
2
). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
1. Phơng pháp dùng định nghĩa
1.1 Cơ sở toán học:
Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0.
Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0.
1.2 Ví dụ minh hoạ.

)

(x + y)
2
.
Giải
Xét hiệu 2 vế:
2(x
2
+ y
2
) - (x + y)
2
= 2x
2
+ 2y
2
- x
2
- 2xy - y
2
= x
2
- 2xy + y
2
= (x + y)
2


0.

=
2
)(
2
ba +


0. Đúng với mọi a; b

0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng:
.
22
2
33






+

+ baba
Giải
Xét hiệu: A =
( )
( )
( )

2222
22
22
baba
bababababa
baba
baba
ba
+=








++
=








++
+
+





+

+ baba
2/ x
3
+ 4x + 1 > 3x
2
với x

3.
3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c
2
+ d
2
+ cd

3ab.
4/ Với
1 ba
thì
.
1
2
1
1
1

2
> 1

a
2
+ 2ab + b
2
> 1. (2)
Mặt khác: (a - b )
2


0

a
2
- 2ab + b
2


0. (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta đợc: 2(a
2
+ b
2
) > 1

(a
2
+ b

2
b
2
+ b
4


0. (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a
4
+ b
4
) >
4
1
. Hay a
4
+ b
4
>
8
1
.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
cba +
1
+
acb +
1
+


xy
1



yx +
4
.
Vì vậy ta đợc:
cba +
1
+
acb +
1


b2
4
=
b
2
Tơng tự ta có:
acb +
1
+
bac +
1



+
c
1
.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
2
22
+ ba
thì
.2+ ba
Giải
Ta có:
( )
.2020
2222
2
abbabababa ++
Từ
.22
2222
+ baba
Suy ra
022

ab
hay 2ab

2.
Mặt khác (a + b)

+
ba
2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau:
1. a > b; c > d

a - c > b - d.
2. a > b; c > d

ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà cha biết
hai vế có không âm hay không)
3. Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm:
a > b

a
2
> b
2
.
4. Khử mẫu mà cha biết dấu của chúng:
b
a
>
d
c


ad > bc.
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có
cùng dấu hay không: a > b


1
) + (
2
2
1
+ +
7
1
) + (
3
2
1
+ +
15
1
) + + (
1
2
1
n
+
12
1

n
).
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân
số lớn nhất trong nhóm ta đợc:
A < 1 +
2

4
(a > 0; b > 0).
2/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

abcd4
.
3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4



8
1
.
4/
2
2
1
+
2
3

- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:
(A
222
2) BABAB +=
.
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minnh x
2
+ x + 1 > 0 với
x
.
Giải
Ta có: x
2
+ x

+ 1 = (x
2
+ 2.x.1 +
4
3


a(b + c + d + e) (1)
Giải
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta đợc:
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2


4a(b + c + d + e).

(a
2
- 4ab + 4b
2
) + (a
2
- 4ac + 4c
2
) + (a
2
- 4ad + 4d
2

0
Rca ;
.
(a - 2d)
2


0
Rda ;
.
(a - 2e)
2


0
Rea ;
.

Bất đẳng thức (2) đúng với
Redcba ;;;;
. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2

2


a
2
x
2
+ 2abxy + b
2
y
2
.


a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2


0

(ay - bx)
2



.
3/ Bài 3: Chứng minh rằng:
Rcba ;;
ta có:
a/ a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
.
b/ a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca.
4/ Bài 4: Cho a

0. Chứng minh rằng: a
5
- a
2


1 + kx.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng
minh (1 + x)
k+1


1 + (k + 1)x.
Thật vậy, theo giả thiết : 1 + x > 0.
Ta có (1 + x)
k
(1 + x)

(1 + kx)(1 + x)

(1 + x)
k+1


1 + (k + 1)x + kx
2
.
Mà kx
2
> 0 nên 1 + (k + 1)x + kx
2


1 + (k + 1)x.
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.




+

+ baba
.
+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có:
.
22
k
kk
baba






+

+
(1)
+ Ta phải chứng minh
1
11
22
+
++


baba






+

+






+
2
ba
. Hay






+
2
ba
.

+
++
. (3)

a
k+1
+ b
k+1
ab
k
+ a
k
b.
Thật vậy, ta có: a
k+1
+ b
k+1
- ab
k
- a
k
b = a
k
(a - b) - b
k
(a - b)
= (a - b)(a
k
- b
k




+

+
k
kk
baba


1
11
22
+
++






+

+
k
kk
baba
.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.

b
b
a
với mọi ab > 0.
Giải
Vì
a
b
b
a
;
đều dơng nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta đợc:
.2:.1
2
1.
2
2
+
+
=











2


7.
Giải
Có 3a - 4b =
a.3.3
- 2.2.b = 7.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số
a.3;3
; -2; 2b ta đợc:
7
2
= (3a - 4b)
2
= (
a.3.3
- 2.2.b)
2


(3 + 4)(3a
2
+ 4b
2
)
7
3a
2
+ 4b

ngmốhngnsốh
qa
n
qaqa

+
+++++++
1.)1(
1 1)1( )1(
ạạ

.
(Không xảy ra dấu = vì 1 + qa > 1).
Hay
( ) ( )
.1.1 mnmqan >++
( ) ( )
.11
n
m
n
m
qamnmnqanqa +>+++
( )
.11.
n
m
qaqa
n
m

2
2
+






++
a
b
b
a
a
b
b
a
. (1)
Có một học sinh giải nh sau:
Ta có (1)
0
4
1
2
3
0
4
1
4








++
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a

.01.2






+


Vậy (1) luôn đúng với
.0; ba
(đpcm)
Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức
2






+
a
b
b
a
với điều kiện a;
b không đúng.
Lời giải đúng
Cách 1: Đặt x =
2+=+=






+
a
b

b
b
a
Bất đẳng thức (1)
.023
2
+ xx

Xét bất phơng trình
( )( )





+
1
2
012023
2
t
t
tttt
Từ
2

x
hoặc

2x

a
b
b
a
a
b
b
a
.
Cách 2:
(1)
0
334
22
332244

++

ba
abbababa

.03362
33222244
++ abbabababa
(Vì a
2
b
2
> 0)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội



+







+
+
+
bb
aba
abbaba
baabbaba
babaabba
(2) luôn đúng. Vậy (1) đúng.
5.4. Bài tập tự giải.
1/ Chứng minh rằng nếu các số dơnng a; b; c có tổng a + b + c = 1 thì:
.9
111
++
cba
2/ Cho
0;,; yxRyx
và
1
22

22
+ ba
. Chứng minh rằng: a + b

2.
Giải
Giả sử a + b > 2.
Vì hai vế đều dơng nên bình phơng hai vế ta đợc:
(a + b)
2
> 4

a
2
+ 2ab + b
2
> 4. (1)
Mặt khác ta có: 2ab < a
2
+ b
2


a
2
+ 2ab + b
2


2(a





>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba
Chứng minh rằng cả 3 số a; b; c là số dơng.
Giải
Vì abc > 0 nên trong 3 số a; b; c phải có một số dơng.
Giả sử ngợc lại cả 3 số đều âm thì abc < 0. Vô lí.
Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0.
Mà abc > 0 nên bc > 0.
Nếu b < 0; c < 0 thì b + c < 0.
Từ a + b + c > 0
( ) ( )
0
22
22
2222
2
<++<++
<+<+++<+>+
bcacabcbcbacbcab

22
abba ++
3/ Cho ba số dơng a; b; c thoả mãn điều kiện abc = 1. CMR:
3++ cba
.
7. Phơng pháp đổi biến.
7.1 Cơ sở toán học.
B1: Đặt biến mới dựa theo bến cũ.
B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến mới.
B3: Kết luận và trả lời theo biến cũ.
7.2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:
( )( )( )
acbcbacbaabc +++
. (1)
Với a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Giải
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
15
Nghiệp vụ s phạm
Đặt: b + c - a = x; a + c - b = y; a + b - c = z, ta có x; y; z > 0.
.
2
;
2
;
2
yx
c
zx

+++
Ta có:

( )
( )
( )
xzzx
xzzy
xyyx
4
4
4
2
2
2
+
+
+
Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳng thức
trên ta đợc:
( ) ( ) ( )
.64
222
222
zyxyxzxzy +++

( )( )( )
[ ]
( )
.8


++






++






++=






+






+

( )
.
3
1
3
1
3
2
3
1
222222
+++=++++++= zyxzyxzyx
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
.
3
1
0 ====== cbazyx
Ví dụ 3: Cho
2
1
;
2
1
;
2
1
cba
và a + b + c = 1. CMR:
.4121212 <+++++ cba
Giải

zx
xy
yx

+

+

+
Bởi vậy
.5=++++ zyxyzxzxy
Chửng tỏ (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
Vậy:
.4121212 <+++++ cba
7.3 Chú ý: Khi dùng phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần
chú ý:
* Đặt biến mới theo hệ biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới.
* Nắm chắc đợc các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng.
* Đổi về biến cũ.
7.4 Bài tập tự giải.
1/ Cho a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
.3
+
+
+
+
+ cba
c
bca
b

Ta có thể dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tam thức bậc
2 để chứng minh bất đẳng thức.
Cho tam thức bậc 2: F
(x)
= ax
2
+ bx + c với
.4
2
acb =
+ Nếu
0
<
thì a.F
(x)
> 0 với
.Rx

+ Nếu
0=
thì a.F
(x)
> 0 với

a
b
x
F
(x)
cùng dấu với a.

+ b
2
+ c
2


6.
Giải
Theo tính chất về dấu của tam thức bậc 2:
( )( )
.01221 aaa
(1)
Tơng tự ta cũng có:
( )( )
.01221 bbb
(2)

( )( )
.01221 ccc
(3)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
17
Nghiệp vụ s phạm
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta đợc:
a
2
- a - 2 + b
2
- b - 2 + c
2

2
) (a
n
; b
n
). Thế thì:
(a
1
b
1
+

a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)

(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n


x

R ta có: (a
1
x- b
1
)
2


0
(a
2
x- b
2
)
2


0

(a
n
x- b
n
)
2



2
x
2
- 2a
n
b
n
x+ b
n
2

0
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)x
2
- 2(a
1
b
1
+ a
2

n
b
n
)x
2
- 2(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)+(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
).
(Với a
1
2

1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
- (a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n

1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2
).
(Nếu A=0 thì: a
1
= a
2
= = a
n
= 0, Do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thờng).
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:


=0

(a
1
x - b
1
)= (a
2
x - b
2
)= = (a


0 (1).
Giải
Dựa vào giả thiết cho: a + d = b + c nên ta có:
(1)
( )
[ ]
( )
[ ]
0
222
+++++ mbcxcbxadxdax
Vì a + d = b + c nên đặt: y = x
2
- (a + d)x = x
2
- (b + c)x ta đợc bất đẳng thức:
( )( )
( )
.0
.0
22
2
++++
+++
mabcdybcady
mbcyady
Đặt F
(y)
= y





>=


y
y
F
A
bcadm
Hay (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m
2

0. (đpcm)
8.3 Chú ý: Khi sử dụng tam thức bậc hai cần chú ý:
+Nắm chắc định lí về dấu của tam thức bậc 2.
+ Thờng dùng các phép biến đổi tơng đơng để đa bất đẳng thức cần chứng minh về
dạng:





0)(
0)(
xF
xF
hoặc

2
+ c
2
= 2 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh
rằng:
.
3
4
;;
3
4
cba
3/ Cho b > c > d. Chứng minh rằng với mọi a

R ta luôn có:
(a + b + c + d)
2
> 8.(ac + bd).
4/ Cho 6 số a; b; c; d; m; n thoả mãn: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
< m
2
+ n
2

1
. x
2
. .x
n
có giá trị lớn nhất khi:

2
2
1
1
n
n
m
x
m
x
m
x
===
Trong đó m
i
là các số hữu tỉ dơng.
2. Mệnh đề 2: (Đối ngẫu): Nếu tích của các số dơng x
1
; x
2
; x
n
bằng một số cho tr-

1
1
n
n
m
x
m
x
m
x
===
Trong đó m
i
(i = 1; 2; ; n) là các số hữu tỉ dơng cho trớc.
3. Mệnh đề 3: Cho x
1
; x
2
; x
n


R ta có:

2121 nn
xxxxxx ++++++
(1)
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
19
Nghiệp vụ s phạm

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.1212 ++= xxxxy
Giải
Điều kiện để hàm số xác định là:
.1

x
Khi đó:
( ) ( )
.11111111
22
+=++= xxxxy
.2111 =++ xxy
Dấu bằng xảy ra
( )( )
.21
1
01111





+
x
x
xx
Vậy y
min
= 2.

2
.


S
2
+ 5S + 4 = -y
2
.

S
2
+ 5S + 4

0.
Đặt F
(S)
= S
2
+ 5S + 4.

F
(S)
có 2 nghiện S = -1; S = -4.
Mà



>


Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
20
Nghiệp vụ s phạm
2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình, hệ phơng trình, tam thức bậc 2
thoả mãn điều kiện nào đó.
Bài 1: Cho phơng trình
.1212
22222
=++ axaxa
Tìm giá trị của tham số a để ph-
ơng trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp số nguyên.
Giải
Ta có:
.212212
22222222222
Aaxaaxaaxaxa =++=++
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
.1212
222222
=++ axaaxaA
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
2
x
2
- 2a
2
; 1 - a
2
x
2







2
1
;2
a
.
Vậy
.
2
1
3
1
9
1
4
2
a
a
Bài 2: Cho tam thức bậc 2 F
(x)
= ax
2
+ bx + c thoả mãn:
1)1( F
;

=
+=
++=
2
)1()1(
)0(
2
)1()1(
)0(
)1(
)1(
FF
b
F
FF
a
cF
cbaF
cbaF
Thay vào F(x) ta đợc:
( ) ( ) ( )
.1)0(
2
)1(
2
)1(
)0(
2
)1(
2

xF
FF
xF
+

++=
+

+

+=
+






+
+







+
=
áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta đợc:

1
2222
xxxxxxx
+=+++
(**)
Từ (*) và (**) chứng tỏ với
1x
ta có
.
4
5
2
1
4
5
1)(
2
2







=++ xxxxF
Vậy F(x)


.




=
=






=+
=+






=+
=+
2
2
9134
416123
3134
216123
2
2
2

(*)
Từ (2) suy ra:
.
1
2
2)1(
2
222
y
y
xyx
+
==+
Mặt khác ta lại có:
.1111
1
2
21
2
2
22

+
=+ xx
y
y
xy
(**)
Từ (*) và (**)


c
tơng ứng là độ dài các đờng cao hạ từ các đỉnh A; B; C.
1.5. l
a
; l
b
; l
c
tơng éng là độ dài các đờng phân giác dựng từ các đỉnh A; B; C.
1.6. R và r tơng ứng là độ dài các bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội
tiếp của
.ABC

1.7. S
ABC
là diện tích của
.ABC

1.8. r
a
; r
b
; r
c
tơng ứng là độ dài các bán kính đờng tròn bàng tiếp trong góc A; B; C
của
.ABC

1.9. Kí hiệu góc là:


AB

AC

BH

HC B H C
2.6. Trong tam giác ABC có: A
AB - AC < BC < AB + AC
AB - BC < AC < AB + BC
AC - BC < AB < AC + BC B C
2.7. Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng cung lớn hơn. C
+ Đờng kính là dây cung lớn nhất. D
CD

AB = 2R. A B
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
23
A
Nghiệp vụ s phạm
2.8. S
ABC


;.
2
1
ACAB
S

Xét

ADM có: AM > AD - DM
Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc: M
2AM > AB + AD - (BM + DM)

2AM > AB + AD - BD B C

m
a
>
2
acb +
(1)
Trên tia đói của tia MA lấy điểm C sao cho: MA = MC


ABM =

CDM (c.g.c)

AB = CD.Xét

ACD có: AC < AD + CD = AD + AB.

2 AM < AD + AB

m
a
<

Xét

AKB và

CKH có:

AKB =

CKH = 90
0


BAK =

HCK
(Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc). H
K


AKB đồng dạng với

CKH (g.g). B C

KH
KC
KB
KA
=

KA.KH = KB.KC. Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh BC và CD. Gọi
P là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: B
1/. S
ABCD


2
1
(AM + BN)
2
.
2/. PN


2
1
(AD + BC). Dấu = xảy ra khi nào. P M
Giải I
1/ Gọi I là giao điểm của AM và BD.
Ta có: S
ABCD
= S
ABC
+ S
ADC
.
Mà

ABM và


ANC


S
ABCD
= 2(S
ABC
+ S
ANC
)= 2S
MCNA
= 2(S
AMN
+ S
MNC
).
Ta lại có: MN là đờng trung bình của

CBD

MN // BD



MNC và

MDN có đờng cao bằng nhau

S
IMN

1
.AM.AN =
= 2AM.AN

S
ABCD

2 AM.AN


2
1
(AM+BN)
2
. (ĐPCM).
2/. Gọi O là trung điểm của AC, ta có: PN

PO + ON =
22
ADBC
+
=
2
1
(AD+BC).
Dấu =xảy ra khi và chỉ khi AD // BC . Tứ giác ABCD là hình thang.
3. Sử dụng phép đối xứng gải toán bất đẳng thức hình học.
Bài 4: Cho

ABC bất kỳ. Chứng minh rằng: h

CB =
22
''' BCCC +

b + c

22
4 ah
a
+
B H C
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
25