Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
1.Biến đổi tương đương : khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo
chiều hay nhân thêm biểu thức
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :
Giải:
, bất đẳng thức này đúng do giả thiết
Đẳng thức xảy ra
2.Đưa về hàm số : khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải:
Từ giả thiết . Ta có :
Đặt với ; có
P là hàm nghịch biến trong đoạn
( đạt khi hoặc ).
( đạt khi ).
3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà
có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:
Giải:
Do giả thiết
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
Ví dụ 3:
Cho . Chứng minh:
Giải:
1
Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0
4.Sử dụng tam thức bậc 2:
Ví dụ:

Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp
dụng Cosi cho 3 số ta có .Thay vào ta có
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:
P= + + >=
Giải:
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng
.Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm
rơi".
Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp đk
x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta
được ngay:
Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài
toán 1.
Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn:
Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:
P= + +
Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ
3
Dạng I)Phương trình dạng
Ví dụ 1:Giải phương trình:
Phương trình đã cho tương đương với:
Giải (1):
Giải (2):
Ví dụ 2:Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương tương với:

Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT
.Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si
ngược dấu.
Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
5
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp
khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN

Ta có:
Dấu bằng có hoặc
Tạm thời cứ thế đã, lúc khác post tiếp. Có ai biết thêm gì thì cứ post lên nhé!
Tiếp tục đây:5.BĐT Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.
Khi đó
6. BĐT Nesbit:+3 biến: Cho . Khi đó
+4 biến: . Khi đó
+6 biến: . Khi đó
BĐT Minkowski:
Cho hai dãy số không âm và khi đó:
Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây:
ĐỊNH NGHĨA GTLN,GTNN:
.M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu.
.Chú ý: M là GTLN của A thì nó phải thoả 2 điều:thứ nhất là nó lớn hơn hoặc bằng mọi phần
tử thuộc A.thú 2 phải tồn tại 1 phần tử thuộc A bằng M.
9
Ví dụ: (0,1) ko có giá trị lớn nhất vì;
.với Mx>M vậy M ko phải GTLN của A.
.với M thì ko có phần tử nào thuộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A.
.Vậy A ko có GTLN.
.GTNN định nghĩa tương tự.
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN,GTNN,CHỨNG MINH BĐT:
A.PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: đây là phương pháp thường dùng nhất để cm các bđt:
1.SỬ DỤNG BĐT THỨC CAUCHY : bđt thường dung nhất.
*nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những bài toán mà cả hai vế có số
“phần tử “ bằng nhau và bậc của chúng bằng nhau thì chúng ta có thể giải bằng bđt Cauchy.
Ví dụ 1: với mọi a,b,c>0 .CMR:
.dễ thấy cả hai vế có bốn hạng tử và bậc bằng 4 ta dung bđt cauchy.
Áp dụng bđt Cauchy cho bốn số dương ta có;
. (1)

Suy ra M+3
Suy ra M
Mà với a=b=c ta có
vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2.BẤT ĐẲNG THỨC BSC: mình ít sài bđt này lắm lên ko rành.
*với 2n số
Ta có
dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi ( chú ý nếu thì
*VT là trị tuyệt đối của tích vô hưóng,VP là tích modun.
*khi ta có tổng mà thì ta áp dụng bđt này.
Ví dụ 1: CMR:
Áp dung bđt BCS ta có:

3.SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA 1 SỐ PT:
*hiện tại mới nhớ ra điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 và pt lượng giác bậc nhất;
Ví dụ 1: tìm GTLN và GTNN nếu có của
DK:x=! 0
Ta có
Suy ra (1)
điều kiện tồn tại x là detal
11
tưong đương
vậy y ko có GTLN và GTNN của y là ( ta có thể thế y =3/4 vào (1) để tính giá trị x khi
y đạt GTNN.
Bai 15: tìm giá trị nhỏ nhất ;
1.
2.
3.
Bài 16;tìm giá trị lớn nhất của
1. Cho 3 số thực dương sao cho: . Tìm GT lớn nhất của:

12. Cho 3 số thực dương . CMR:

A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG:
ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.
GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số:
Bài làm
.a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1,2,3,4 9}
.b=!a suy ra có 9 cách chọn{0,1,2,3,4 9}\{a}
.c=!a,b suy ra có 8 cách chọn {0,1,2,3 9}|{a,b}
d=!a,b,c. suy ra có 7 cách chọn {0,1,2,3 9{\{a,b,c}
Áp dụng qui tắc nhân ta có :9.9.8.7=4536 số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2:Cho các số {0,1,2,3,4,5,6}
a.Hỏi có bao nhiêu số tư nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số kia.
b.tính tổng các số ở câu a
Bài làm
a*Chọn 4 trong số 7 số tự nhiên trên {0,1,2 6} sau đó hoán vị chúng,ta có số tự
nhiên có 4 chữ số và đôi một khác nhau( trong này có cả những số mà a=0)
*Chọn a=0,sau đó chọn 3 trong số 6 số {1,2,3,4,5,6} ta có số tự nhiên có
4 chữ số mà a=0
*vậy ta có 840-120=720 số thỏa yêu cầu đề bài.
b*Trong số 840 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ( tính cả a=0)
ta có 420 cặp số mà tổng bằng 6666 ( ví dụ 0123+6543=6666,4261+2405=6666)
suy ra tổng là 420.6666=2799720
*Trong số 120 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau mà a=0
ta có 60 cặp số mà tổng bằng 777 ( ví dụ 136+641=777,235+542=777 )
suy ra tổng là 60.777=46620
vậy kết quả câu b là 279920-46620=2753100
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 9
Bài làm
a.*Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là

Chọn a trong các số {3,6,9} suy ra có 3 cách chọn a
d có 3 cách chọn {0,3,6,9}\{a}
b=!a,d có 8 cách chọn
c=!a,b,d có 7 cách chọn
d=!a,b,c có 6 cách chọn
vậy Th 2 có 3.3.8.7.6=3024
Áp dung qui tắc cộng ; ta có 8064+3024=11088 số thỏa yêu cầu đề bài.
BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC:
Cho giác giác n cạnh ,trong đó ko có 3 đỉnh nào thẳng hàng;
a.hỏi có bao nhiê tam giác tạo thành từ các đỉnh của da giác
b,Đa giác này có bao nhiê đừong chéo
c.Biết ko có 2 đừong chéo nào đồng qui tại 1 điểm.Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đừong
chéo.
Bài làm
a.lấy 3 trong n đỉnh cua da giác n đỉnh ( n cânh thì có n đỉnh) ta đựoc 1 tam giác suy ra có tam
giác là tam giác
b.lấy 2 điểm bất kí ta đựoc 1 đừong chéo hoặc cạnh
vậy tổng số cạnh và đừong chéo là
14
suy ra số đừong chéo là đừong chéo
c.Cứ chọn 4 điểm trong n đỉnh của đa giác ta có 1 giao điểm của hai đường chéo
Vẩy số giao điểm của 2 đường chéo là
C.BÀI TOÁN VỀ LÀ THỨ
Cho n lá thư bỏ ngẩu nhiên vào n phong bì
a.tính xác xuất đề có đúng 1 lá thư đúng địa chỉ
b.Xác suất để đúng 2 lá thư gửi đúng địa chỉ
c.xác suất để ko lá thư nào đúng địa chỉ
Bài làm
Gọi là xác suất để các là thư thứ 1,2,3 n đúng địa chỉ
ta có

Từ 5 bông hồng vàng,3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ(các bông hoa xem như đôi 1 khác
nhau)người ta muốn chọn ra 1 đóa hoa gồm 7 bông hoa.
a.Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ.
b.Có bao nhiêu cách chọn bó hoa có ít nhất 2 bôn hồng vàng và ít nhất 2 bông hồng đỏ.
Bài 5
Cho các số {0,1,2,4,6,8}.Từ các số này:
a.hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau
b.tính tổng các số ở câu a
c.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chia hết cho 4.
d.có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi 1 khác nhau mà chia hết cho 4.
Bài 6
Một nhóm bạn có 12 người ,trong đó có 8 bạn nam ,và 4 bạn nữ,rủ nhau đi chơi.Nhóm chia
làm 6 cặp ,mỗi cặp đi chung 1 xe.Hỏi có bao nhiêu cách chia 12 người này làm 6 cặp sao cho:
a.Chia sao cũng được miễn thành 6 cặp thui.
b.Các bạn nữ đi chung,nam di chung( tức là 4 cặp nam,2 cặp nữ)
c.Yêu tiên các bạn nữ ko phải chở ,vì vậy mỗi bạn nữ đều đi chung với 1 bạn nam.
Bài 7
Sau một thời gian ế,Analtic cũng rủ được 1 bạn gái đi chơi,vì vậy buổi chiều muốn mua hoa
tặng bạn gái.Nhưng Analytic lại ko muốn mua những bông hoa bó sẵn mà muốn mua các bông
hoa lẻ về tự bó lại cơ.Bạn đó rất thích những bông hoa hồng gồm có ba loại:hồng đỏ ,hồng
vàng và hồng trắng mỗi loại này chị bán hàng đều còn 10 bông.Hỏi Analytic có bao nhiêu
cách chọn 1 bó hoa hồng gồm 9 bông sao cho có đủ 3 loại hồng đỏ,hồng vàng,hồng trắng và
thỏa:
a.Đủ 9 bông và ba loại hoa hồng là đủ rồi.
b.Bông hoa đỏ đẹp nhất lại tượng trưng cho ty nữa lên số bông hồng đỏ phải ko ít hơn 1 nửa
số bông.
Bài 8
Một đoàn tàu còn 3 toa trống trong đó: toa 1 còn 3 chỗ trống,toa 2 còn 4 chỗ trống,toa 3 còn 5
chỗ trống.Hỏi có bao nhiêu cách phân phối 9 người lên các toa (có 12 chỗ ngồi tất cả)tàu sao
cho:

b)Đôi 1 khác nhau và >2000
c)Đôi 1 khác nhau và số 1 có mặt đúng 1 lần
bài 15
thầy giáo có 3 cuốn sách toán,4 cuốn sách lý và 5 cuốn sách hoá( các cuốn sách coi như đôi 1
khác nhau).Muốn phát sách cho 6 học sinh mỗi ngừoi 2 cuốn,sao cho ko học sinh nào nhận 2
cuốn sách cùng môn học.Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách phát sách.
bài 16
Trong tập các số tự nhiên có bao nhiên số có 6 chữ số tạo ra từ các số 0,1,2,3,4 ( tất các các số
này đều xuất hiện)
bài 17
Có 9 học sinh xếp hàng ngang chụp hình.Trong đó có 4 hs A,B,C,D luôn đứng cạnh nhau.Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
bài 18
Có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hành 1 hàng ngang.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6
hs này sao cho học sinh nam và nữ đứng xen kẽ nhau.
bài 19
Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số trong dó số 6 có mặt
đúng 3 lần các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Bài 20
Cho 9 chữ số từ 0 >8.Hỏi có thể lập đựoc bao nhiêu số gồm 9 chữ số sao cho số 8 luôn đứng
vị trí chính giữa
Bài 21
Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập đựoc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho 1,6 không đứng
cạnh nhau.

17
BẮT ĐẦU NHÉ : Mở đầu bằng 4 bài phương trình quen thộc giúp các bạn xem lại về các
phương pháp giải phương trình thôi :
Bài 1 :
Bài 2 :