KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT
CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ThS. NGUYỄN ĐĂNG KHOÁT
PGS. TS. TRỊNH VĂN QUANG
Bộ môn Kỹ thuật Nhiệt

Khoa Cơ khí
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bài báo trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để đánh giá
trạng thái nhiệt của mặt đường bê tông xi măng dưới tác động của thay đổi nhiệt độ không khí
và bức xạ măt trời.
Summary: The paper presents the way to use the finite element method to study thermal
state of the concrete surface of the road under impact of the varying air temperature and solar
radiation.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán trạng thái nhiệt mặt đường đến nay đã có nhiều tác giả nghiên cứu [1], [2], Với
mục đích mở rộng các phương pháp tính nhiệt, bài viết trình bày cách sử dụng phương pháp
(phương pháp) phần tử hữu hạn (PTHH) trong tính nhiệt, để xác định nhiệt độ và đưa ra các nhận
định về trạng thái nhiệt của tấm bê tông (BT) dưới tác động của các yếu tố khí hậu thay đổi.
CT 2
II. PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT
2.1. Giới hạn bài toán, dữ liệu ban đầu
+ Khảo sát tấm BT dày L = 0,3m, dài và rộng 7,5m đặt trên nền đất; BT có hệ số dẫn nhiệt
k = 1,265W/m
0
C; khối lượng riêng ρ = 2200kg/m


26,3 26,5 27,2 27,7 28,5 29,4 30,1 30,7 31,3 31,8 32,0 31,7
E(W/m
2
) 0 34,89 209,3 407,0 610,5 779,2 895,5 930,4 872,2 744,3 593,1 401,2
Giờ
17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4
C)( T
0
K

31,3 30,2 29,6 28,8 28,4 28,2 27,6 27,2 27,0 26,8 26,5 26,4
E(W/m
2
) 203,5 58,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Truyền nhiệt qua tấm BT có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với bề rộng và dài, được mô tả bởi
phương trình vi phân dẫn nhiệt một chiều:
2
2
T
ρ.c k
τ
x
T
∂
∂
=

Hình 1. Sơ đồ rời rạc lớp bê tông thành các PTHH
2. Chọn hàm nội suy
Chọn hàm bậc nhất:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==
ll
xx
1NNN
ji
(3); với l là chiều dài của một PT, x là
toạ độ trong phần tử, nên nhiệt độ là
[

⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
]
(5);
[] []
{}
[]
gTB
T
T
11
l
1
T
x
N
T
x
N
x
T

Có nhiều phương pháp thiết lập Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử. Trong tính
nhiệt, phương pháp Biến phân (Rayleigh Ritz) và Galerkin là hai phương pháp quan trọng nhất
vì cho kết quả chính xác như nhau. Ở đây chọn phương pháp Galerkin, lấy hàm trọng số là hàm
nội suy N
i
.
Phương pháp Galerkin yêu cầu (1) thoả:
0dV
τ
T
ρc
x
T
kN
2
2
V
i
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−

V
i
∫∫∫∫
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂

()
[]
()
()
()
{}
dSThNqdSNτTdSNhN dV
x
N
x
N
k
τ
τT
dVNρ.cN
K
S
i
S
ij
S
ji
V
j
i
j
V
ji
∫∫∫∫∫
+−=

V :
[] []
{} {}
fTK
τ
T
C =+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂

(11)
1) là Phương trình ma . Trong đó: [C] gọi là ma trận nhiệ

(1 trận đặc trưng của phần tử t
dung,
[] []
[
]
(
)
[
]
∫
=

; {f} là véc tơ tải nhiệt,
{}
f −=
K
S
T
S
T
∫∫
+
(14).
ạn (SPHH) hay PTHH.
phương pháp SP
Theo phương pháp SPHH thì
4. Rời rạc theo thời gian
Có thể rời rạc (11) bằng phương pháp Sai phân hữu h
a. Rời rạc theo thời gian bằng HH
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
Δ
−
≈
⎭
⎬
⎫
⎩

Trong đó Δτ là bước thời gian ứng với hai thời điểm liên tiếp p và (p+1); ξ= 0÷1 là tham
số tùy chọn: ξ= 0÷1. Nếu lấy ξ=1 không cần điều kiện hạn chế chọn bước thời gian Δτ.
b. Rời rạc bằng phương pháp PTHH: Có các phương pháp số dư trọng số khác nhau để rời
rạc (11) theo thời gian. Dùng Galerkin, hàm trọng số là hàm nội suy bậc nhất của thời gian
N
τ
:
[
]
1pp
NNN
+
=
τ
(16), phương pháp Galerkin yêu cầu (11) thoả:

[] []
{} {}
0fTK
τ
T
CN
Δτ
0
p
=
⎭
⎬
⎫
⎩

⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+++ 1p
p
1p
p
1p
p

p+1
từ (15) hoặc (19)
5. Tính các số hạng trong phương trình ma trận đặc trưng của phần tử một chiều
a. Ma trận nhiệt dung phần tử [C] . Thay các số liệu của bê tông và nền đất tính được
- Bê tông :
[]
(20); - Nền đất: (21)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
2227611138
1113822276
121
C
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3143415717
1571731434
13

−
=
50,650,6
50,658,49
00
01
hA
11
11
l
Ak
K
1
(22);
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

=
20,8 20,8 -
20,8 -20,8
11
11
l
Ak
K
13
(24). Với A là diện tích truyền nhiệt, A = 1m
2
c. Véc tơ phụ tải nhiệt {f}: (25);
(26)
{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎭

- Ma trận nhiệt dung toàn hệ:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

00000000000111382227611138
0000000000001113822276
C(27)
- Ma trận độ cứng toàn hệ [K], véc tơ phụ tải tổng {f}, sau khi áp đặt điều kiện biên tại lớp
nền có T
N
=T
14
= 28,8 sẽ được các ma trận (28) và (29) dưới đây.
CT 2
7. Giải hệ phương trình
Vì số liệu cho theo giờ (bảng 1), tức Δτ = 3600s, nên chọn (15) để giải sẽ thuận tiện hơn
(19). Từ (15) suy ra:
{
}
[]
[
]
{}
[
]
{
}
{
}
(
)

⎢
⎢
⎣
⎡
=
0000000000000
71.4-50.600000000000
-50.6101.2-50.60000000000
0-50.6101.2-50.6000000000
00-50.6101.2-50.600000000
000-50.6101.2-50.60000000
0000-50.6101.2-50.6
000000
00000-50.6101.2-50.600000
000000-50.6101.2-50.60000
0000000-50.6101.2-50.6000
00000000-50.6101.2-50.600
000000000-50.6101.2-50.60
0000000000-50.6101.250.6-
00000000000-50.658.49
K

(28)
{}
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
28,8
599,04
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q7,89.T
K
f

(
(29)
III. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ CÁC NHẬN XÉT
Trao đổi nhiệt của tấm BT với môi trường trong một ngày đêm điển hình thể hiện trên hình
6. Có thể thấy: Trong một ngày đêm, tấm BT nhận nhiệt trong 11 tiếng, từ 7h sáng đến 17h
chiều (q > 0), thải nhiệt trong 13 tiếng, từ 18h đến 6h sáng hôm sau (q < 0). Tốc độ nhận nhiệt
tăng rất nhanh vào buổi sáng, giảm vào chiều. Nhiệt nhận lớn nhất lúc 11,12 h. Tốc độ toả nhiệt
toả nhiệt ra môi trường khá đồng đều.
Đương nhiệt độ trung
bình tuyến tính T
TB
Miền bi nén
Miền bi kéo
Đường cong
nhiệt độ thực
Thiêt diên phẳng
trước biến dạng
Thiêt diện phẳng
sau biến dạng
T
m1
T
m2
LCT 2

3.4. Nhận định về biến dạng nhiệt cục bộ của tấm BT
Hình 6. Lượng nhiệt tấm BT trao đổi
với môi trường trong một ngày đêm

x
L
TT
TT
m2m1
m1TB
−
−=

(28); T
m1
, T
m2
là trị số nhiệt độ trung bình tuyến tính hai tại mặt 1 và 2 của tấm BT. Từ (26)
thấy, khu vực có T
TB
(x)>T(x), sẽ bị kéo, ngược lại, khu vực có T
TB
(x)<T(x) sẽ bị nén, hình 7.
b. Đặc điểm các miền bị kéo và bị nén xuất hiện trong tấm bê tông: Do phân bố nhiệt độ
trong tấm BT luôn là đường cong, nên trong tấm BT luôn xuất hiện các miền bị kéo và nén. Một
số trong các kết quả tính toán được thể hiện trên đồ thị, hình 8÷11. Có thể rút ra các nhận xét:
1. Nơi phân cách giữa hai miền bị kéo và bị nén là vị trí có ΔT=0. Vị trí này thay đổi liên
tục, nghĩa là miền bị kéo và nén trong tấm BT trong ngày biến đổi liên tục và luân phiên nhau.
2. Từ 7h sáng đến 13h chiều, lớp mặt trên dày 5cm tấm BT bị nén do nhận nhiệt rất mạnh
từ môi trường (ΔT<0). Lớp kế tiếp dày 15 - 20cm bị kéo do ΔT>0 , lớp dưới cùng dày bị nén.
3. Từ 13h chiều, phần trên tấm BT bị kéo do tốc độ nhận nhiệt giảm. Sau 16h miền bị kéo
thu hẹp lại còn khoảng 5cm tại mặt trên cho đến 4h sáng, sau đó chuyển sang bị nén. Các lớp kế
tiếp bị nén từ sau 18h đến 6h sáng hôm sau.
c. Biến dạng nhiệt cục bộ trong tấm bê tông: Biến dạng nhiệt cục bộ (BDCB) tại các vị trí

IV. KẾT LUẬN
Việc khảo sát trạng thái nhiệt tấm BT bằng phương pháp PTHH, cho phép rút ra kết luận sau:
- Với cùng bước thời gian, kích thước hình học phần tử của cùng một bài toán [2], khảo sát
bằng phương pháp PTHH cho các kết quả chính xác như phương pháp SPHH, các nhận định
hoàn toàn phù hợp nhau .
- Phương pháp PTHH có ưu điểm không phải tính thể tích, diện tích phân tố như phương
pháp SPHH.
- Phương pháp PTHH có thể áp dụng cho các vật thể có hình dạng bất quy tắc nên khả
năng tính toán mở rộng hơn so với phương pháp SPHH. Tài liệu tham khảo

[1]. Trần Đình Bửu, Nguyễn Quang Chiêu. Khai thác và sửa chữa đường ô tô, NXB ĐH-THCN 1984.
[2]. Trịnh Văn Quang. Kết quả tính toán trạng thái nhiệt của tấm bêtông dưới tác động của điều kiện khí
hậu thay đổi. Tạp chí Cầu Đường Việt nam. Số 11,12, 2001.
[3]. С.А.Фрид.температурные напряжения в бетонных и железобетонных конструкциях
гидротехнических сооружений государствнное. Энергетическое издтелЬство. Москва 1959.
[4]. Lê Văn Cung. Khống chế nhiệt độ đập bê tông Thác bà. Báo cáo Hội nghị KHXD 1985.
[5]. RW Lewis, P.Nithiharasu and Seetharamu. Fundametals of The Finite Element Method for heat and
fluid flow. John Wiley & Sons, Ltd. 2004
♦
CT 2