PHẦN I: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG
I) CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho véctơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau:
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n
2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n
⊥
n

Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)
1) Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
3) Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC.





3
32
0;
.
Bài6: Cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lượt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đường thẳng d.
3) Viết phương trình đường thẳng d' đối xứng với d qua O.
Bài7: Cho ∆ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phương trình các cạnh ∆ABC.
2) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ABC.
3) CMR: ∆ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ∆ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BI của ∆ABC.
2) Lập phương trình đường thẳng qua A và ⊥ BI.
III) CHÙM ĐƯỜNG THẲNG:
Bài1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): x + 3y - 9 = 0 và (d
2
): 3x -
2y - 5 = 0 đồng thời đi qua điểm A(2; 4).
Bài2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): 3x + y - 0 = 0 và (d
2

) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d
1
) và (d
2
).
3) Viết phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài3: Cho ∆ABC, các cạnh có phương trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ∆ABC.
2) Tìm phương trình đường phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ∆ABC.
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1). Lập phương trình đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới
đường thẳng đó bằng 1.
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đường thẳng (d
1
): x + y = 0; (d
2
): x - y + 1 = 0. Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d
1
),
(d
2
) lần lượt tại A, B. Viết phương trình của (d) biết 2PA = PB.
Bài6: Cho 2 đường thẳng (d
1
) và (d







0
2
1
;
,
phương trình đường thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh
A có hoành độ âm.
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ∆ABC vuông tại A, phương trình đường
thẳng BC là:
033 =−− yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2.
Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG BẬC HAI
I) ĐƯỜNG TRÒN:
Bài1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là gốc toạ độ.
2) Đi qua A(3; 1) B(5; 5) và tâm I nằm trên trục tung.
3) Đi qua A(1; 2) B(2; 1) và tâm I nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0
4) Đi qua A(-2; 4) B(6; -2) C(5; 5).
5) Tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - 2y - 2 = 0.
6) Đường kính AB với A(1; 1) B(3; 3).
Bài2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và đi qua A(4; 2).
Bài3: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Biết AB: 2x - y + 4 = 0
BC: x + y - 1 = 0 AC: x + 4y + 2 = 0

- 2x + 4y - 4 = 0 và
(C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x - 2y - 14 = 0 và đi qua M(0; 1)
3) Lập phương trình đường tròn qua giao điểm của hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x + 2y - 2 = 0 (C
2
):
x
2
+ y
2
- 6y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d: x + y + 1 = 0
II) TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN:
Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 6y - 6 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến đi qua M(1; -1).
2) Tiếp tuyến đi qua M(4; -1)

- 6x + 5 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 12x - 6y + 44 = 0
Bài4: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
= 4 và một điểm M(2; 4). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MT
1
, MT
2
với đường tròn,
trong đó T
1
, T
2
là tiếp điểm.
1) Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với T
1
T
2

1
49
2
2
=+
y
x
. Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (∆): x - y + 6 = 0
4) Tiếp tuyến vuông góc (∆): 2x - y + 2 = 0
5) Tiếp tuyến với (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của:
(E
1
):
1
45
2
2
=+
y
x
(E
2
):
1

, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4).
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2
=+
y
x
. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E).
Bài5: Cho (E
1
):
1
36
2
2
=+
y
x
(E
2
):
1
4
2
2
=+

y
a
x
. Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
tới (E).
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phương trình:
1
916
2
2
=+
y
x
.
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp
xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài10: Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phương trình: 4x
2
+ 3y
2
- 12 =
0. Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành tam giác có
diện tích nhỏ nhất.
Bài11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
49
2
2
=+
y

(
03;−
);
( )
03
2
;F
và một đường chuẩn có phương trình: x =
3
4
.
1) Viết phương trình chính tắc của (E).
2) M là điểm thuộc (E). Tính giá trị của biểu thức:
P =
MF.MFOMMFMF
21
22
2
2
1
3 −−+
3) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho
OA ⊥ OB.
Bài14: Cho Elíp (E):
1
14
2
2
=+
y

và tìm giao điểm của (C) và (H).
3) Viết phương trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình
chữ nhật cơ sở của (H).
Bài3: Lập phương trình chính tắc của Hypebol biết:
1) Trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 8, trục ảo thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Độ dài trục thực bằng 6, tâm sai e =
3
4
.
3) Cá các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 12 và một đường tiệm cận có phương trình: x + 2y = 0.
4) Có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục thực bằng 8 và hai đường tiệm cận vuông góc với nhau
2) TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL, QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài1: Cho (H):
1
49
2
2
=−
y
x
. Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) biết:
1) Tiết tuyến đi qua điểm A(3; 0).
2) Tiếp tuyến đi qua B(2; 2).
3) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): x - y + 6 = 0.
4) Tiếp tuyến vuông góc (∆): 2x - y + 2 = 0
Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến của Hypebol (H):
1
169
2
2

1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
nhận các đường thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5
= 0 là tiếp tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (H).
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) đi qua A(2; 0).
3) Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) đi qua B(0; 4)
Bài5: Cho Hepebol (H):
1
2
2
2

): x - y + 3 = 0.
3) Đi qua điểm M(2; 2).
Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến chung của:
1) Parabol (P
1
): y = x
2
+ 2x + 2 và (P
2
): y = -x
2
+ 4x - 5
2) Parabol (P
1
): y
2
= 2px và (P
2
): x
2
= 2qy
3) Elíp (E):
1
49
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y

1) Viết phương trình của (d) khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với nhau.
2) Viết phương trình của (d) khi độ dài AB = 4.
I) MỞ ĐẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho ba véctơ
r
a
= (1; -2; 3),
b
r
= (-4; 1; 7)
c
r
= (3; 0; 5). Tính tọa độ của véctơ
u
r
= 4
r
a
- 5
b
r
+ 3
c
r

Bài2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(5; 0; -2) B(7; 1; 0) C’(2; 0; 9). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của
hình hộp
Bài3: Chứng minh rằng ∆ABC có A(2; 1; 4) B(3; 6; 7) C(9; 5; -1) là tam giác nhọn
Bài4: Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz) cách đều ba điểm A(0; 1; 1) B(-1; 0; 2) C(2; 3; 0)
Bài5: Cho các điểm A(2; 9; 0) B(10; 7; 4), C(0; 9; -1). Tính diện tích ∆ABC, suy ra độ dài đường cao hạ từ B

c
r
b)
v
r
= 5
r
a
- 2
b
r
+ 7
c
r
c)
w
ur
= 12
r
a
+ 19
b
r
- 3
c
r

Câu 2: Hãy biểu diễn
r
a

v
r
= (0; -1; 1)
w
ur
= (1; 1; 0)
Câu 3: Cho
r
a
= (1; -3; 4)
a) Tìm y và z để
b
r
= (2; y; z) cùng phương với
r
a

b) Tìm tọa độ của véctơ
c
r
biết rằng
r
a
và
c
r
ngược hướng và
c 2 a=
r r
Câu 4: Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng

= -11;
u
r
.
c
r
= 20 biết
r
a
= (2; -1; 3),
b
r
= (1; -3; 2),
c
r
= (3; 2; -4)
b)
u
r
vuông góc với cả hai véctơ
r
a
= (2; 3; -1)
b
r
= (1; -2; 3) và thỏa mãn:
u
r
.
c

Câu 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Tính độ dài phân giác ngoài góc A của ∆ABC
Câu 18: Tính:
a b;
 
 
r r
,
( )
a 3b b;
 
+
 
r r r
trong các trường hợp sau:
a)
r
a
= (6; -2; 3),
b
r
= (5; 0; -3)
Câu 19
Câu 20
Câu 21
Câu 22
II) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Bài1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và
1) // Ox và Oy 2) // Ox và Oz 3) // Oy và Oz
Bài2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) và // Ox
Bài3: Cho (P): 3x + 2y + z - 6 = 0 Hãy chỉ ra một cặp VTCP của (P)

(P): y + 4z + 17 = 0
b) (d):





+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
(P): y + 4z + 17 = 0
c) (d):



=−
=−++
01
03
y
zyx
(P): x + y - 2 = 0
Bài3: Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 2; 3) và ⊥ với (d
1

0732
0143
zyx
zyx
(P): x + y + z + 1 = 0
Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A(1; 1; 1) song song (P) và ⊥ (d).
Bài5: Cho A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0. Hạ AH ⊥ (P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng AH và tìm tọa độ của H
Bài6: Tính góc hợp bởi các đường thẳng d
1
:
x 9t
y 5t
z 3 t
=


=


= − +

và d
2
:
2x 3y 3z 9 0
x 2y z 3 0
− − − =





= +

chéo nhau
Bài9: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường
thẳng đó. d
1
:
x 5 2t
y 1 t
z 5 t
= +


= −


= −

và d
2
:
x 3 2t
y 3 t
z 1 t
'
'
'
= +

bằng 1
Bài12: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) và D(1; 1; 1). Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng
(ABC) và suy ra tọa độ điểm K đối xứng với D qua (ABC)
Bài13: Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng
(d
1
):



=−+
=−−
01
012
yx
zx
(d
2
):



=−−
=−+
02
023
zy
yx

Bài14: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d


Bài15: Viết phương trình đường thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d
1
và cắt đường thẳng d
2
d
1
:
zy
x
=+=
−
2
3
1
d
2
:



=+
=+−+
01
02
x
zyx

Bài16: Viết phương trình đường thẳng d ⊥ (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đường thẳng: (d
1

):





−=
−=
+=
tz
ty
tx
5
1
25
(d
2
):





−=
−−=
+=
1
1
1
1

01
012
zyx
yx
(d
2
):



=+−
=+−+
012
033
yx
zyx
1) CMR: (d
1
) cắt (d
2
). Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (d
1
) và (d
2
)
Bài19: Cho hai đường thẳng (d
1
):


Bài20: Cho hai đường thẳng (d
1
):



=+−
=++
0104
0238
zy
zx
(d
2
):



=++
=−−
022
032
zy
zx
1) CMR: (d
1
) chéo (d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d

3) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SO, AB. Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ
và KM cắt nhau.
Bài23: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0
Bài24: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và ⊥ (P).
2) Viết phương trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q). Tìm toạ độ điểm K đối xứng với A qua
(P).
Bài25: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình
hộp đó.
1) Tính khoảng cách Từ C đến (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu ⊥ của C xuống (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm
trên mặt phẳng xOy.
Bài26: Cho (d):



=−−−
=−−−
017322
0322
zyx
zyx
(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d.
2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Bài27: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) Viết phương trình tham số của BC. Hạ AH ⊥ BC. Tìm toạ độ điểm H.
2) Viết phương trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài28: Cho A(2; 3; -1) (d):

3) Thiếp lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài2: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2) Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S).
3) Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P).
Bài3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D': A ≡ O ; B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0; 0; 1). Gọi M là trung điểm
của AB và N là tâm hình vuông ADD'A'.
1) Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D', M, N.
2) Tính bán kính đường tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các điểm A' , B, C, D.
3) Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cắt bới mặt phẳng (CMN).
Bài4: Cho (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 67 = 0
(d):



=+−
=−+−
032
0823
yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S).
2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q).

6a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
1) CMR: ∆ASC vuông.
2) CMR: (B, SA, D) là nhị diện vuông.
3) Tính số đo góc phẳng nhị diện (S, BC, A).
Bài6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA
= a
2
và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1) (SBC) và (ABC) 2) (SBC) và (SAB) 3) (SBC) và (SCD)
Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với DC = 2a, AB = AD = a, SD
= a và vuông góc với đáy.
1) CMR: ∆SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a,
SA = a
6
và vuông góc với đáy.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
4) Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
5) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng α song song với mặt phẳng (SAB)
và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.
Bài9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M,
N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).