CHUN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
CHUN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
CHUN ĐỀ
TỔ HP
TỔ HP
PHẦN 1:
PHẦN 1:HOÁN VỊ – CHỈNH HP – TỔ HP
HOÁN VỊ – CHỈNH HP – TỔ HP
1. Hai quy tắc đếm
1. Hai quy tắc đếm
 Quy tắc cộng: Giả sử một cơng việc có thể được
thực hiện theo một trong k phương án
1 2
, , ,
k
A A A
và
 Phương án
1
A
có
1
n
cách thực hiện
 Phương án
2
A
có

Chọn tạp chí : có 200 cách chọn
Vậy có 500 + 1000 + 200 = 1700 cách chọn một trong
các quyển đó.
 Quy tắc nhân: Giả sử một cơng việc có thể được
thực hiện theo k cơng đoạn
1 2
, , ,
k
A A A
và
 Cơng đoạn A
1
được thực hiện theo n
1
cách
 Cơng đoạn A
2
được thực hiện theo n
2
cách
………
 Cơng đoạn A
k
được thực hiện theo n
k
cách
Khi đó, cơng việc có thể thực hiện theo
1 2
.
k

quy tắc cộng.
 Quy tắc nhân được sử dụng khi bài tốn
phải thực hiện qua nhiều cơng đoạn. Ta tìm kết
quả của từng cơng đoạn rồi thực hiện quy tắc
nhân.
2. Hoán vò
2. Hoán vò
Cho tập A có n
( )
1n ≥
phần tử. Khi sắp xếp n
phần tử này theo một thứ tự, ta được một hốn vị
các phần tử của tập A (gọi tắt là một hốn vị của A).
Số các hốn vị của tập hợp có n phần tử là:
( ) ( )
! 1 2 2.1
n
P n n n n= = − −
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Từ các số 1, 2, 3, 4 có bao nhiêu số có
bốn chữ số khác nhau.
Giải
Mỗi số có bốn chữ số khác nhau được chọn từ các
số 1, 2, 3, 4 là một hốn vị của 4 phần tử. Vậy số
các số cần tìm chính là số các hốn vị, đó là
4
4! 4.3.2.1 24P = = =
.
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách để phân cơng 4 bạn

k
n
n
A n n n n k
n k
= − − − + =
−
Chú ý:
Với quy ước 0! = 1 thì cơng thức trên vẫn đúng trong
trường hợp k = 0, ta có:
0
1
n
A =
.
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách bầu ra một bí thư, một
phó bí thư và một ủy viên từ một chi đồn 10 đồn viên.
Giải
Mỗi cách chọn 3 đồn viên từ 10 đồn viên để bầu vào 3
chức vụ khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 10 đồn
viên đã cho. Vậy số cách bầu là số chỉnh hợp, tức là
3
10
10!
10.9.8 720
7!
A = = =
.
Ví dụ 2:

k
n
n
C
k n k
=
−
Chú ý:
o Với quy ước 0! = 1 thì cơng thức trên vẫn đúng
trong trường hợp k = 0, ta có:
0
1
n
C =
.
o Hai tính chất cơ bản của
k
n
C
là:
k n k
n n
C C
−
=
và
1
1
k k k
n n n

Ví dụ 2: Có 5 nam và 7 nữ. Có bao nhiêu cách
chọn ra 3 cặp khiêu vũ khác nhau mỗi cặp một nam
một nữ.
Giải
Việc chọn 3 cặp khiêu vũ theo u cầu đề được thực
hiện theo hai bước sau:
o Chọn 3 nam từ 5 nam : có
3
5
C
cách
o Chọn 3 nữ từ 7 nữ : có
3
7
C
cách
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn là
7
3 3
5
. C C =
Nhận xét:
 Số cách lấy n phần tử của tập hợp có n phần tử
(để sắp xếp thứ tự) thì ta tính số các hốn vị của
n phần tử, nghĩa là tính P
n
= n!.
 Số cách lấy k phần tử
( )
1 k n≤ ≤

1.2. Có 4 quyển tốn khác nhau, 3 quyển hóa khác
nhau và 2 quyển lí khác nhau. Có bao nhiêu
cách chọn ra 4 cuốn mà ít nhất phải có một
cuốn tốn.
1.3. Một học sinh có 12 cuốn sách đơi một khác
nhau trong đó có 2 cuốn Tốn, 4 cuốn Văn, 6
cuốn Lí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các
Trang 2
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
cuốn sách đó lên một kệ dài, nếu mọi cuốn sách này
được xếp kề nhau, sao cho những cuốn có cùng
môn học được xếp gần nhau.
1.4. Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh
nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi lao động. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Chọn học sinh nào cũng được ?
b) Trong 4 học sinh được chọn có đúng một nữ sinh
?
c) Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất một nữ
sinh ?
Hướng dẫn – Đáp số:
a)
4
12
495C =
b)
1 3
3 9
252C C =

2
13
C
cách.
Suy ra có
2 2
15 13
5A .C
cách chọn cho trường hợp 1
o Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có
2
5
C
cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ
phó có
2
15
A
cách.
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.
Suy ra có
2 2
15 5
13A .C
cách chọn cho trường hợp 2
o Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có
3

13
5.C

cách.
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có
2
5
13.C

cách.
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có
3
5
C
cách.
Vậy có
( )
2 2 2 3
15 13 5 5
A 5.C 13.C C 111300+ + =
cách.
1.7. Biển số xe máy kí hiệu: XY-abcd, với X là một
trong các chữ cái: F, H, K, L, M, N và Y là một
trong các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Còn a, b, c,
d là các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi nếu
đăng kí hết thì có tất cả bao nhiêu xe máy.
Hướng dẫn – Đáp số:
6.9.10.10.10.10
1.8. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau ?

.
+ Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! =
24 cách.
Vậy có 4.24 = 96 số.
1.10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 8 có thể lập được
bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau ?
1.11. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác
nhau đều là số lẻ.
1.12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Gồm 5 chữ số.
b) Gồm 5 chữ số khác nhau.
c) Là số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
d) Gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có
mặt số 5.
e) Gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1.13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu cách viết
các số có ba chữ số:
a) Khác nhau không nhỏ hơn 342 ?
b) Khác nhau nhỏ hơn 342 ?
1.14. Từ tập hợp
{ }
X 0; 1; 2; 3; 4; 5=
có thể lập
được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Hướng dẫn – Đáp số:
Gọi

o Loại 1: chữ số a
1
tùy ý, ta có 5! = 120 số.
o Loại 2: chữ số a
1
= 0, ta có 4! = 24 số.
Vậy có 120 – 24 = 96 số.
1.16. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác
nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong
mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2.
Hướng dẫn – Đáp số:
o Loại 1: chữ số a
1
có thể là 0.
Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có
4
6
A 360=
cách.
Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có
4! = 24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 số.
o Loại 2: chữ số a
1
là 0 (vị trí a
1
đã có chữ số 0).
Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trí có
3
5
A 60=

2
5
C
cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và
tổ phó có
2
15
A
cách.
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13
cách.
Suy ra có
2 2
15 5
13A .C
cách chọn cho trường hợp 2
o Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có
3
5
C
cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và
tổ phó có
2
15
A
cách.
Suy ra có

- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có
3
5
C
cách.
Vậy có
( )
2 2 2 3
15 13 5 5
A 5.C 13.C C 111300+ + =
cách
1.18. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3
người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách.
Hướng dẫn – Đáp số:
o Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người
có
3
13
C
cách.
o Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7
nam có
3
7
C
cách. Vậy có
3 3
13 7
C C 251- =

o Loại 2: bầu 4 người tồn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có
2
7
A
cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có
2
5
C
cách.
Suy ra có
2 2
7 5
A .C
cách bầu loại 2.
Vậy có
2 2 2 2
12 10 7 5
A .C A .C 5520- =
cách.
1.20. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ,
5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi
từ hộp đó sao cho khơng có đủ 3 màu.
Hướng dẫn – Đáp số:
o Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có
4
9
C 126=
cách.

n
k n k k
n
k 0
C a b (n 0, 1, 2, )
-
=
= =
å
. (*)
Số hạng thứ k+1 là
k n k k
k 1 n
T C a b
-
+
=
,
( )
k
n
n !
C
k ! n k !
=
-
, thường được gọi là số hạng tổng qt.
2. Chú ý
2. Chú ý
Trong khai triển nhị thức Newton

k n k
n n
C C
−
=
.
5. Thay a = b = 1:
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2+ + + + =
.
6. Thay a = 1, b =
1−
:
( )
n
0 1 2 3 n
n n n n n
C C C C 1 C 0− + − + + − =
.
7. Cộng vế (5), (6) và trừ vế (5), (6):
0 2 4 1 3 5 1
2
n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + + =
.
3. Các dạng toán

−
 ÷
 
b)
( )
8
3 2x−
2.3. Khai triển nhị thức
( )
5
x y+
.
Trang 5
CHUN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
CHUN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Dạng 2:
Dạng 2:Tìm hệ số hoặc số hạng trong khai triển nhò thức Newton thỏa một
Tìm hệ số hoặc số hạng trong khai triển nhò thức Newton thỏa mộttính chất nào đó
tính chất nào đó
Phương pháp : Áp dụng cơng thức
1
−
+
=

ỉ ư
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
.
2.7. Tìm số hạng chứa x
37
trong khai triển
( )
20
2
x xy-
.
2.8. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
5 10
2
P x 1 2x x 1 3x= − + +
.
2.9. Biết rằng hệ số của
2n
x

n n
C C n
+
+ +
− = +
.
Trang 6