Chuyên đề Hình học ồ Văn Hoàng
1
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2008
Phần hình học không gian.
Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông
góc, cho 2 đường thẳng :
1 2
1
2
: ; : 2
2 3 4
1 2
 



   


 

x t
x y z
d d y t
z t
1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d
1
và song song d
2
2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường
thẳng d

( , )
6

a
d A B B D
2) Góc giữa MP và C
1
N bằng 90
0
Bài 3 : D – 2002 :
1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc mp (ABC ) ,
AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ
điểm A tới mp ( BCD ).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho
đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng d
m
là giao
tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là :
( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ;
( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0
Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mp ( P ) .
Đáp số : 1)
6 34
( ,( ))
17
d A DBC
2) m = - 1 / 2
Bài 4 : A – 2003 :

1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là
một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 60
0
. Gọi M là trung điểm
cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4
điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài
cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
2) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A ( 2; 0; 0) , B( 0; 0; 8)
và điểm C sao cho
(0;6;0)

AC
. Tính khoảng cách từ trung
điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N
đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5.
Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d
k
là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình :
( ): 3 2 0 ; ( ) : 1 0       P x ky z Q kx y z
Tìm k để đường thẳng d
k
 với mp(R) : x – y – 2z + 5 = 0.
Đáp số : 1 vtcp của d
k
là
2
1
2
, (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1



 


  

x t
y t
z t
.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và
vuông góc với đường thẳng d.
Đáp số :
4 2 4
':
3 2 1
  
 

x y z
d
Bài 9 :D – 2004 :
1)Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a)Tính khoảng cácch giữa hai đường thẳng B’C và AC’
b)Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và AC’ lớn nhất
2.Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0),
C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình

Viết phương trình tham số của đường  nằm trong mặt phẳng
(P), biết  đi qua điểm A và vuông góc với d.
Đáp số : a) I
1
(−3; 5; 7); I
2
(3; −7; 1).
b) A(0; − 1;4). Phương trình tham số của
: 1
4



  


 

x t
y
z t
Bài 11 - B 2005
Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với
A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0) , B

2 2 2
576
( 3)
25
   x y z
b) ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, N ( 0 ; - 1 ; 4)  MN =
17
2
Chuyên đề Hình học Hồ Văn Hoàng
2
Bài 12. D 2005
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
1
:
1 2 1
3 1 2
  
 

x y z
và d
2
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ): 2 0 ; ( ) : 3 12 0
 
      x y z x y
a.Chứng minh rằng: d
1
và d

d A C MN
b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 (
2 2 2
a +b +c >0
)
Vì (Q) chứa A’&C nên: c + d = 0 & a+b+ d = 0  c = - d = a + b
Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0
Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) .
Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1).
Ta có :
2 2 2
2
1 1
cos
2
6 6
( )


 

   

 

  
a b
a b
b a
a b a b

1
và d
2
.
b.Tìm các điểm Md
1
, Nd
2
sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng
Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M(0; 1; −1), N(0; 1; 1 )
Bài 15- D 2006 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và
hai đường thẳng d
1
:
2 2 3
2 1 1
  
 

x y z
d
2
:
1 1 1
1 2 1
  
 

x y z
a.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d



 




x t
y t
z
a.Chứng minh rằng: d
1
và d
2
chéo nhau.
b.Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho 
M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3)
Phương trình d :
2 1 5 1 3
7 1 4 7 1 4
    
   
 
x y z x y z
hay

(S) = A,B. Nếu d(A ;P)

d(B;(P)) thì
d(M;(P)) lớn nhất khi M

A
Phương trình đường thẳng d :
1 1 1
2 1 2
  
 

x y z
Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là nghiệm của hệ phương trình :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 9
1 1 1
2 1 2

     


  
 

 
x y z
x y z

A(-1; -1; -3), B(3; -3; 1).

2 1 2
 
 
x y z
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d)
b) Viêt phương trình mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng
cách từ A tới () là lớn nhất.
Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d  H ( 3 ; 1 ; 4 )
b) () là mp đi qua H và  AH  (): x – 4y – z + 3 = 0.
Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ;
B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) .
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho
MA= MB=MC.
Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0.
b) Gọi M(x; y; z) (P).Ta có :
2 2 2
M(x;y;z) (P)
MA =MB =MC




M(2;3;-7)
hoặc M  đt  mp ( ABC ) tại trung điểm I (0; −1; 1) của BC.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
2x+2y+z-3=0
M(2;3;-7)
x y+1 z-1