GIỚI HẠN DÃY SỐ
DÃY SỐ THỰC
Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số
từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N.
VD:
1/ x
n
= n
2
, n = 0, 1, 2, …
2/ x
n
= 1/n, n = 1, 2, …
3/ {x
n
} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, …
Các cách cho dãy số
2
1, /
n n
x n x n= =
1/ Dạng liệt kê:
VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,…
2/ Dạng tường minh:
{x
n
} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.
3/ Dạng quy nạp:
Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước
VD:
VD:

{x
n
} là dãy giảm ⇔ x
n
≥ x
n+1
, với mọi n đủ lớn
Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng
(giảm) ngặt.
1.Xét hiệu số: x
n+1
– x
n
(so với “0”)
2.Xét thương số: x
n+1
/x
n
(so với “1”)
(dùng cho dãy số dương)
3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = x
n
Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:
Ví dụ
1 1
1
2
= + + +K/ :
n

+
n n
x x
n
0>
⇒
tăng
2 3
/ :
3 4
n
n
c x
n
−
=
−
Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm
2
2 3 1
( ) , ( ) 0
3 4
(3 4)
x
f x f x
x
x
−
′
= ⇒ = >

/ 3
n
b
{ }
2
1
/a
n
•
Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra ∞
{ }
{ }
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , , , ,
n n
x x x x x x x x x x
=
L L
DÃY CON
Cho {x
n
}, chọn ra các số hạng từ dãy này
1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta
được 1 dãy con của {x
n
}.
VD:
{x
2n – 1
}

0, : ,
ε ε
⇔ ∀ > ∃ ∈ − < ∀ ≥
n
N N x a n N
0 0
0, :
n
N a x a n N
ε ε ε
⇔ ∀ > ∃ − < < + ∀ ≥
: lim höõu haïn
n
n
a x a
→∞
∃ =
a
0
N
x
0
( )
n
x n N
>
a
ε
−
a

n
x n
n
ε ε
ε
− < ⇔ < ⇔ + >
+
Chứng minh
0
1 1
1 1
n
n N n n x
ε
ε ε
≥ ⇒ ≥ ⇒ + > ⇒ − <
Chọn N
0
≥ 1/ε , với ε > 0 (đủ bé)
* Với ε = 10
-3
, tìm N
0
?
Tính chất dãy hội tụ
•
Dãy hội tụ thì bị chận.
•
a
n

lim , lim
lim lim lim
lim lim lim lim 0
lim lim 0 & lim 0
n
ÑK :
ÑK :
n n
n n
n n n n
n n n
n n n n n
n n n n
n n n
n n n
x y
x y x y
x y x y y
x x x x
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
∃

± = ±


⇒ = ≠


= a ⇔ Mọi dãy con của {x
n
} đều → a
Dãy {x
n
} phân kỳ ⇔
1 dãy con phân kỳ
2 dãy con co ùlim nhau
∃


∃ ≠

2
2 1−
→

⇔ →

→

n
n
n
x a
x
x a
a
Hệ quả:
GIÔÙI HAÏN KEÏP

≤ ≤
a
Hệ quả:
0 & lim 0 lim 0
n n n n
n n
x y n y x
→∞ →∞
≤ ≤ ∀ = ⇒ =
Dãy phân kỳ ra vô cùng
Giới hạn = ± ∞ : không thể xét | x
n
– a | !
Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ:
Không có giới
hạn
Phân kỳ ra vô
cùng
0 0
lim , : , > 0
n n
n
x M N N x M n N
→ ∞
= +∞ ⇔ ∀ ∃ ∈ > ∀ ≥
0 0
lim , : , > 0
n n
n
x M N N x M n N

a n N
→∞
=



> < ∀ ≥


1
lim 0
n
n
a
→∞
=
lim
n
n
a
→∞
= ∞
1/ Nếu
thì
2/ Nếu thì
lim
n
n
a
→∞



⇒

= ∞ ≠


neáu c 0
, lim
n
n
b
→∞
= +∞ lim( )
n n
n
a b
→∞
⇒ + = +∞
lim
n n
n
a b
→∞
⇒ = ∞lim
n
n
a
→∞
= +∞

= ∀ >
1 lim
1 1 lim 0
n
n
n
n
a a
a a
→∞
→∞

> ⇒ = ∞


− < < ⇒ =


0 lim
0 lim 0
n
n
n
n
α
α
α
α
→∞
→∞

n n a
α
= =
2
/ lim 1
−
→∞
=
n
n
e n
2
/ lim
→∞
= ∞
n
a n
1 2
1
/ lim lim 0
n n
b n
n
−
→∞ →∞
= =
/ lim 2
→∞
= +∞
n

0 0
1 ,0 ,
∞
∞
•
Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia:
•
Đối với dạng mũ
( )
n
b
n
a
2
sin
2 / lim
1
n
n n
n
→∞
+
1000
3 / lim
n
n
n
→∞
 
 ÷

2
n n
n
   
< ≤ →
 ÷  ÷
   
Ví dụ tổng hợp
Tổng cấp số nhân
( )
1
1
2
1 1
lim 1 lim
1 1

n
q
n
n n
q
q q q
q q
+
<
→∞ →∞
−
+ + + + = =
− −

→∞
 
+ + + +
 ÷
 
K
n
n
1
1 1 2 1
lim 2
1 1 2 1 1 2
n
n
+
→∞
−
= = =
− −
2 1 3 9
lim ,
3 2 8 32
→∞
 
= − + − +
 ÷
 
K
n
5/ S