GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC VỀ TAM GIÁC
1) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
2
3
cosCcosBcosA
≤++
Giải: Đặt y= cosA+cosB+cosC ta có:
01y
2
C
sin
2
BA
cos2
2
C
sin2
2
C
sin21
2
BA
cos
2
C
sin2y
2
C
sin21
2
BA

C
ta phải có:
2
3
cosCcosBcosA
2
3
y
3)
2
BA
(cos2y20)1y(2)
2
BA
(cos'
22
≤++⇔≤⇔
≤
−
+≤⇔≥−−
−
=∆
Vậy trong mọi tam giác ABC ta đều có
2
3
cosCcosBcosA
≤++
2) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
8
1

⇒
8
1
cosC.cosA.cosB
≤
Vậy trong mọi tam giác ABC ta đều có:
8
1
cosC.cosA.cosB
≤
3) Chứng minh rằng: Nếu
8
1
cosC.cosA.cosB
=
thì
∆
ABC đều.
Giải: Ta có
01)]CBcos()CB[cos(
2
1
.Acos8
8
1
cosC.cosA.cosB
=−−++⇔=
⇔
01)]CBcos()A.[cos(Acos4
=−−+−π




=
=
CB
2
1
Acos
⇒



=
=
CB
60A
0
⇒A=B=C=60
0
⇒ ∆ABC đều.
4) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
4
9
CsinBsinAsin
222
≤++
Giải: Ta có
Ccos1
2

222
≤++
.
Vậy trong mọi tam giác ABC ta đều có
4
9
CsinBsinAsin
222
≤++
5) a) Chứng minh bất đẳng thức: Với 6 số thực a
1
, a
2
, a
3
, b
1
, b
2
, b
3
ta luôn có:
2
3
2
2
2
1
2
3

+m
b
+m
c
=
2
R9
thì ABC là một tam giác đều.
Giải: a) Xét trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz xét 2 vectơ khác
→
0
:
)a;a;a(a
321
=
→
và
)b;b;b(b
321
=
→
. Theo công thức đònh góc của 2 vectơ ta có
|b|.|a|
b.a
)b,acos(
→→
→→
→→
=
. Vì

b,a
cùng phương ⇔
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
==
.
b) Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki: |1.m
a
+1.m
b
+1.m
c
| ≤
2
c
2
b
2
a
222

mmm
222
222222222
2
c
2
b
2
a
++=
−+
+
−+
+
−+
=++
(2)
Theo đònh lý sin trong tam giác ABC ta có:
4
9
.R4)CsinBsinA(sinR4CsinR4BsinR4AsinR4cba
2
4bài
2222222222222
≤++=++=++

2222
R9cba
≤++⇒
(3).

+m
c
≤
2
R9
.
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki: m
a
+m
b
+m
c
=
2
R9
⇔
1
m
1
m
1
m
cba
==
⇒ Tam giác ABC là tam giác đều.