GiỚI HẠN HÀM SỐ
Khái niệm giới hạn hàm số
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x
0
( có thể
không xác định tại x
0
). Nếu giá trị của f(x) rất gần với
a khi x đủ gần x
0
thì a gọi là giới hạn của f tại x
0.
Xem 2 VD số sau đây:
sin
1 / ( ) ,
x
f x
x
=
khi x ≈ 0












không bị đứt tại x ≈ 0
Lúc này coi như f(0) ≈ 1
(giới hạn của f tại x = 0 là 1)
2 / ( ) sin ,f x
x
π
=
khi x ≈ 0
f(x) không xác định tại 0,
nhưng khi x ≈ 0 thì f(x) ≈ 0
SAI vì
2
2 ,
4 1 2
x k k Z
k x
π π
π
= ⇒ = + ∈
+
⇒ f(x) = 1
1 0
0.5 0
0.1 0
0.0001 0
0.000001 0
 
 
 
 

tùy thuộc vào giá trị của x
o

và a là vô hạn hay hữu hạn
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY
0
lim
n
n
x x
→∞
=
0
lim ( )
x x
f x a
→
=
{ }
0
& ,
n n
x D x x⇔ ∀ ⊂ ≠
nếu thì
lim ( )
n
n
f x a
→∞
=


0
lim ( )
b
x x
f x a
→
⇒ =
Xét hàm số có dạng:
Chứng minh:
[ ]
0
( )
lim ( )
v x
x x
u x
→
0
( ) ln ( )
lim
v x u x
x x
e
×
→
=
lnb a b
e a
×

n
x
n
x
n
=
′
= −
Chọn 2 dãy {x
n
} và
{x’
n
} sao cho:
Ví dụ:
1.Chứng minh
không có gh khi x → 0
Chọn
0,
0,
n →∞
( )
n
f x n=
( )
n
f x n
′
= −
n →∞

 ÷
 
n →∞
n →∞
n →∞
2
2
n
n
x n
x n
π
π
π
=
′
= +
(x
o
= + ∞)
+ ∞
+ ∞
0
1
lim ( ) lim ( )
n n
n n
f x f x
→∞ →∞
′

Giới hạn phải tại x
o
:
0
lim ( )
x x
f x a
+
→
=
(Xét x
n
>x
o
và x
n
→ x
o
)
GiỚI HẠN MỘT PHÍA
0
lim ( )
x x
f x a
+
→
=
0
lim ( )
x x

Xét gh của f(x) tại x
o
= 1
1
lim ( )
x
f x
+
→
1
1
lim
x
x
+
→
=
1=
1
lim ( )
x
f x
−
→1
lim (2 1)
x
x
−
→
− =

→ →
= = −∞
⇒ f(x) không có gh khi x → 0.
0
3 / lim
x
x
x
→
GiỚI HẠN CƠ BẢN
( )
1
0
2 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
3 / lim
x
x
x
→
+
0
1
4 / lim 1,

+
0
1
lim 1
ln( 1)
u
u
u
→
= =
+
GiỚI HẠN CƠ BẢN
0
(1 ) 1
6 / lim
x
x
x
α
→
+ −
0
1
5 / lim
x
x
a
x
→
−

+
BẢNG TÓM TẮT CÁC GH HÀM SƠ CẤP
lim 0( 0) lim ( 0)
x x
x x
α α
α α
→+∞ →+∞
= < = +∞ >
1: lim & lim 0 ;
0 1: lim 0 & lim
x x
x x
x x
x x
a a a
a a a
→+∞ →−∞
→+∞ →−∞

> = +∞ =


< < = = +∞


0
lim ln , lim ln
+
→+∞

x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x

x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
LƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠN
1.Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn.

lim
1 cos2
(2 )
x
x
x
x
x
→
−
=
−
1/ 2 25
1/ 2 4
= ×
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x

α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x

x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
Dạng 0/0
25
4
=
2
2
(5 )
(2 )
x
x
×
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1

x
x
α
α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim

=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
2
cos
2 / lim
2
x
x
A
x
π
π
→
=
−
0
cos
2
lim
2
x
u

8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,

sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x

−
sin
0
1 sin
lim
sin
x
x
e x
x x
→
−
= ×
1 1 1= × =
Dạng 0/0
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x

α
→
+ −
=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x

x
x
a
a
α
→+∞
= ∀ >
2
0
3
4 / li m
x x
x
e
x
→
−
Dạng 0/0
2
0
1 (3 1)
lim
x x
x
e
x
→
− − −
=
2

=
2
0
1 ln
3
x
e
→
 
→ ×
 ÷
 
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→

=
0
1
4 / lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−

a
α
→+∞
= ∀ >
3
0
tan sin
5 / lim
x
x x
x
→
−
Dạng 0/0
2 2
0
1 tan 1 sin
lim
x
x x
x x
x x
→
 
= −
 
 
2 2
0
1 1

2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e
x
→
−
=
0
(1 ) 1
5 / lim
x
x
x
α
α
→
+ −
=
0
1

tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→
=
0
lim 1,
arctan
x
x
x
→
=
lim 0, 1
x
x
x
a
a
α
→+∞

−
= ×
1
1
2
= ×
ln
8 / lim 0, 0
p
x
x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x

a
a
x
→
−
=
0
sin
6 / lim 1,
x
x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x

6 / lim
2 1
x
x
x
x
+
→+∞
+
 
 ÷
−
 
(Dạng 1
∞
)
2 1
4
4
lim 1
2 1
x
x
x
−
→+∞
 
 
 
= +

x
x
α
α
→+∞
= ∀ >
( )
1
0
1 / lim 1
x
x
x e
→
+ =
0
ln(1 )
2 / lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
3 / lim 1,
x
x
e

x
x
→
=
2
0
1 cos 1
lim
2
x
x
x
→
−
=
0
lim 1,
tan
x
x
x
→
=
0
arcsin
7 / lim 1,
x
x
x
→

−
=
−
Dạng 0/0
Đặt:
0
1u x x x= − = −
2
5
3
0
( 1) 1
lim
1 1
u
u
A
u
→
+ −
=
+ −
2/5
1/3
0
( 1) 1
lim
( 1) 1
u
u