giới hạn của hàm số
I/ Kiến thức cơ bản.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử
(a;b)
là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định trên
khoảng
0
(a;b) \ x
. Khi đó
0
0
x x
lim f(x ) L

=
nếu
n
dãy số (x )
trong tập hợp
0
(a;b) \ x
mà
n 0
limx x=
,ta đều có
n
limf(x ) L=

giới hạn là số thực L khi x dần đến
+
nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
(a; )+
mà
n
limx = +
,ta đều có
n
limf(x ) L=
.
Ta viết
x
lim f(x) L
+
=
.

x x x
x x
+/ Tương tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,
lim f(x) , lim f(x) .
+ +

= + = =
= + =
2.Một số định lý về giới hạn.

0
x x
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M


= .
Định lý 2: Giả sử
0
0
x x
lim f(x ) L

=
, khi đó:
a/
0
x x
lim f(x) L

=
.
b/
0
3
3

0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )

trong khoảng
0
(x ;b)
mà
n 0
limx x=
,ta đều có
n
limf(x ) L=
.
Ta viết
0
x x
lim f(x) L
+

=
.
+/ Định nghĩa tơng tự cho
0
x x
lim f(x) L



.
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
+/ Nếu
0
x x
lim f(x)

= +
thì
0
x x
1
lim 0
f(x)

=
.
+/ Quy tắc 1.
Nếu
0 0
x x x x
lim f(x) và lim g(x) L 0

= =
,thì
[ ]
0
x x
lim f(x).g(x)


và
0
x x
lim g(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0

=


0
x J \ {x }
, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm
0
x
,thì
0
x x
f(x)
lim
g(x)

cho
bởi bảng sau:

Dấu của L Dấu của f(x)
0
x x
f(x)
lim
g(x)


x
rồi giản ớc).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đa
k
x
ra ngoài (k là
bậc cao nhất của x trong căn) trớc khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x.
Dạng

và dạng
0.
:
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dới
dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm
giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
3x x 1
lim
x 1

+

.
Giải :

+ +
= = =

+/ Vậy
2
x 2
3x x 1
lim 11
x 1

+
=

.
Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính
2
2
x 1
x 2x 3
lim
2x x 1

+

.
Giải :
+/ Hàm số
2
2
x 2x 3

n
x 2x 3
f(x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x 3
4
lim
1
3
2(x )
2
+
=

+
=
+
+
= =
+
+/ Vậy
2
2
x 1
x 2x 3 4

Giải :
1/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
+ + +


= = =
+ +

.
2/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25



= = =
+ +


=

+ <

.
Tính
x 1
limf(x)

.
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
Ă
.
+/
2
x 1 x 1
limf(x) lim(7x 4x 3) 6

= + =
.
+/
x 1 x 1
lim f(x) lim(4x 2) 6= + =
.
+/ Do
x 1 x 1

 
−
 
2/
3
2
x
3x x 1
lim
x 3x 1
→−∞
+ +
+ −
.
Gi¶i :
1/ Ta cã
3
3 2
x x
3
1
1
x
lim lim 0
1 2
3x x 2
3
x
x
→−∞ →−∞

2
2 3
x
2
1 1
x 3
3x x 1
x x
2/ lim lim
3 1
x 3x 1
x 1
x
x
1 1
3
x x
lim x
3 1
1
x
x
= .
→−∞ →∞
→−∞
 
+ +
 ÷
+ +
 

 ÷
 
+
 
 
− − = − −
 ÷
 
 ÷
 
−
 
 
 ÷
−
 ÷
 
 
 
= −∞

x
x x
V× lim x
7
1
1
x
lim 2 2, lim 3 2 .
1

3 x 1
lim
x 2
→
− −
−
2/
2
x 1
9 5x 2
lim
x 1
→
− −
−
4/
3
2
2
x 1
5 x x 7
lim
x 1
→
− − +
−
.
Gi¶i :

1/ Ta cã

9
(x 1)( 9 5x 2)
→ →
→
→
− − −
=
−
− − +
−
=
− + − +
−
= = −
+ − +3
x 2 x 2
2
3
3
2
x 2
3
3
3/ Tacã
3 x 1 (3 x) 1
lim lim
x 2

 ÷
= −
−  − − 
.
MÆt kh¸c