32

Chơng 4
Chơng 4Chơng 4
Chơng 4
Hệ tiê
Hệ tiêHệ tiê
Hệ tiên đề của cơ học lợng tử
n đề của cơ học lợng tửn đề của cơ học lợng tử
n đề của cơ học lợng tử

4.1. Tiên
4.1. Tiên4.1. Tiên
4.1. Tiên đề về hàm sóng (
đề về hàm sóng ( đề về hàm sóng (
đề về hàm sóng (tiên đề 1)
tiên đề 1) tiên đề 1)
tiên đề 1) -

- Nguyên lí chồng chất các trạng thái
Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái
Nguyên lí chồng chất các trạng thái
2

dv
Mật độ xác suất
2

=
dv
dw
(4.1)
Nếu lấy tích phân của
2

trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy
hạt trong toàn không gian, theo lí thuyết xác suất thì xác suất này bằng 1. 2

dv = 1 (4.2)
Biểu thức (4.2) muốn thoả mãn tích phân
2

dv phải có giá trị hữu hạn,
nghĩa là 0 đủ nhanh ở vô cực.

Đây là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, hàm
(q,t)
gọi là hàm đã chuẩn hoá.
Ngoài ra, hàm

tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đợc trạng thái của hệ lợng tử đó

.
= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
n

n
: hàm trạng thái (4.3)
C
1
, C
2
, . là những hệ số tuỳ ý.
Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái này đối với
một trạng thaí khác.
4.2.
4.2.4.2.
4.2.


x
i
x
i
p
x


=


=

p
y

y
i
yi
p
y


=


=

ppp

++
p

= -i
=


+


+


i
x
Zy
)(
34

d. Toán tử bình phơng xung lợng

=++=


M
y
= zp
x
- xp
z

)(

z
x
x
ziM
y





= M
z
= xp
y
-yp
x



zyxUg. Toán tử động năng
T =
2
2
mv

===
m
m
p
m
mv
T
2
2

2

222
h. Toán tử năng lợng (toán tử Hamilton)

E = T + U
UTH
35L


n
= L
n

n
(4.4)

4.3.2. Những giá trị mà ở đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định

Nếu hệ lợng tử ở trạng thái mà hàm này đồng nhất với một hàm riêng
k

nào đó của toán tử Hermite
L

, thì ở trạng thái đó đại lợng vật lí L có giá trị xác
định và bằng trị riêng L
k
của toán tử tuyến tính Hermite
L

.

nhng không biết chắc là trị nào. Vì thế ngời ta phải xác định L theo định luật xác
suất.
Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ
hàm riêng của toán tử tuyến tính Hermite
L

ngời ta biểu diễn hàm mô tả trạng thái
của hệ thành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng.

= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
n

n
= C
i

i
(4.5)

Nh vậy, trạng thái đợc xem là sự chồng chất những trạng thái riêng U
i
của

n
.
Từ
L


n
= L
n

n

n
*

L


n
=
n
*
L
n
= L
n

n
*

n
L
=
n
*

L


n
d (4.6)

n
*

n
d

Giá trị trung bình này còn gọi là kì vọng của L.

4.4. Điều kiện để
4.4. Điều kiện để 4.4. Điều kiện để
4.4. Điều kiện để hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng
hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng
hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng
thái
tháithái
thái


phải giao hoán với nhau. Ngợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có
chung hàm riêng và hai đại lợng vật lí tơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định.
Vậy:
Điều kiện cần và đủ để hai đại lợng vật lí của hệ lợng tử có trị xác định
đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau
.
Một số thí dụ:
a. Các toán tử giao hoán:
- Toán tử
x

,
y

,
z

giao hoán với nhau từng đôi một

[
x

,
y

] = 0; [
y

,

y
, M
z
của
momen động lợng không thể có những giá trị xác định.

[
M

x
,
M

y
] = i
M

z
; [
M

y
,
M

z
] = i
M

x

2

lại giao hoán với mỗi toán tử
M

x,

M

y
,
M

z
.

[
M


2
,
M

x
] = [
M


2

= M
2M

z
= M
z Một cách hoàn toàn tơng tự chúng ta cũng có thể chứng minh đợc ba toán tử
hình chiếu momen động spin S
x
, S
y
, S
z
ở cùng một trạng thái không giao hoán với nhau
từng đôi một. Ngợc lại, toán tử bình phơng momen động spin giao hoán với một
trong S
x
, S
y
, S
z4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger
4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger

,
H

: toán tử Haminton
H

=
H

(q,t)
: hàm sóng mô tả trạng thái của hệ theo thời gian (q,t)

Phơng trình (4.7) do Schrodinger đa ra năm 1926 nh một tiên đề, nghĩa là
không thể suy ra từ bất kì một nguyên lí nào khác. Sự đúng đắn của phơng trình chỉ
có thể đợc khẳng định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ lợng tử
cụ thể.
Phơng trình (4.7) là phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất; do đó nếu
1

và
2
là hai nghiệm độc lập của (4.7) thì mọi tổ hợp tuyến tính = C
1

1
+C
2

2
của


4.5.2. Phơng trình Schodinger của các trạng thái dừng
Giả sử hệ lợng tử ở vào một trờng thế U không phụ thuộc vào thời gian, chỉ
phụ thuộc vào toạ độ
U

= U(q), thì
H

không phụ thuộc vào thời gian. Lúc đó
H

chỉ

38

tác động lên phần phụ thuộc toạ độ của hàm (q,t). Do đó, hàm (q,t) tách thành hai
phần:
(q,t)= (q).F(t)

Thay vào phơng trình Schodinger tổng quát: )()(
.

),(
tq
FH
t


(4.9)

Hai vế của đẳng thức (4.9) phụ thuộc vào hai biến số khác nhau, nên hai vế chỉ
có thể bằng nhau khi hai vế phải bằng cùng một hằng số nào đó:
=


)(
.
)(
)(
t
F
F
i
t
t

(4.10)


=
)(

Phơng trình Schodinger cho trạng thái dừng: H


(q)
= E.
(q)
(4.13)

hay
)(
2
)(
)(
2
qq
UE
m

+

= 0 (4.14)

Phơng trình (4.13) hoặc (4.14) là phơng trình quan trọng nhất của cơ học
lợng tử. Vì hoá học lợng tử chủ yếu nghiên cứu các hệ ở trạng thái dừng.

Giải phơng trình (4.10)
)(

)(
2
),(
.

iEt
qtq
e

=

.
2
)(
2
),( qtq

=
(4.15)

Phơng trình (4.15) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ
thuộc vào thời gian. Do đó, khi giải phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta
chỉ cần tìm đến (q) là đủ, vì hóa lợng tử chủ yếu nghiên cứu các trạng thái dừng của
phân tử.

4.6. Một số bài toán ứng dụng
4.6. Một số bài toán ứng dụng4.6. Một số bài toán ứng dụng

do trong kim loại hoăc electron không định c trong các phân tử liên hợp.
Ta có phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng:
8

840
)(
2
)(
)(
2
qq
UE
m

+

= 0
Vì là hộp thế một chiều theo phơng x nên:
2
2
dx
d
=


+
= 0 (4.16)

Đây là phơng trình vi phân tuyến tính bậc hai có nghiệm tổng quát: (x)
= A coskx + Bsinkx (4.17)

Trong đó A, B là các hằng số cha xác định.
Ta có thể xác định A bằng cách để ý tới điều kiện bờ của bài toán (x = 0 và x =
a).
Tại các giá trị bờ (x = 0, x = a) hàm sóng phải triệt tiêu, nghĩa là = 0:

(0) = 0 , (a) = 0

* (0) = A cos 0 + Bsin0 = 0 A = 0


(x)
= Bsinkx

* (a) = Bsinka = 0 sinka = 0 ka = n ( n: nguyên)

(B không thể bằng 0, vì nếu B = 0 thì
(x)
bằng 0 với mọi x)

k =
a

==
aa
xdx
a
n
SinBdx
0
22
0
2
11

B =
a
2
(thờng chọn B dơng)

Vậy hàm sóng đã chuẩn hoá:
n
(x) =
a
2
sin
a
n

x

2
8
ma
h
;
1
=
a
2
sin
a

x (x =0, x = a)
n = 2 : E
2
= 4.
2
2
8
ma
h
= 4E
1
;
2
=
a
2
sin 2
a

(x) có (n-1) điểm nút. Số điểm nút tăng theo chiều tăng của
mức năng lợng.

42

- Xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí giữa x và dx là : dw =
2
dx. Xác suất này
có cực đại tại những vị trí khác nhau tuỳ theo trạng thái của hệ. ở trạng thái cơ bản
n =1, mật độ xác suất cực đại tại x =a/2.
- Mức năng lợng thấp nhất của hệ có giá trị hữu hạn khác không E
1
=
2
2
8
ma
h
.
Ngời ta gọi năng lợng này là năng lợng điểm không. Sự tồn tại năng lợng điểm
không là đặc trng của các hệ liên kết.

4.6.3. Bài toán vi hạt trong hộp thế 3 chiều

Mở rộng trờng hợp hộp thế 1 chiều đối với hộp thế 3 chiều, với thế năng:
U = Const = 0 trong khoảng 0 x a, 0 y b, 0 z c
và U = ở ngoài khoảng đó.

x
y


+


(4.19)

E = E
x
+ E
y
+ E
z Để giải phơng trình (4.19) ta phân li biến số:
(x,y,z)
=
(x)

(y)

(z)
(4.20)
Đa (4.20) vào (4.19) rồi chia cả hai vế cho
(x)

(y)

(z)
ta đợc:

+


+








(4.21)

hay
0)(
2111
22
)(
2
)(
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
=+++
Phơng trình (4.22) có thể đợc xem nh là tổng của 3 phơng trình có dạng
giống nhau:

0
2
)(
2
)(
2
2
=+


xxx
E
m
x


(a)

0
2
)(
2
)(
2
2


(x)
= A
x
sin
x
a
n

; E
x
=
2
2
2
8
ma
h
n
xy
= A
y
sin
y
b
n
y

h
n
z

ở điều kiện chuẩn hoá thì A
x
=
a
2
; A
y
=
b
2
; A
z
=
c
2
. Do đó hàm sóng
chuẩn hoá và năng lợng của hệ là: a
zyx
2
),,(
=

sin

2
2
2
2
2
2
2
c
n
b
n
a
n
m
h
z
y
x
++
(4.24)

Từ (4.24) suy ra: Nếu một hay hai cạnh của hộp thế có độ dài bằng số nguyên
lần một cạnh khác thì sẽ có một số hàm riêng (trạng thái) khác nhau có cùng một giá
trị năng lợng nh nhau, tức là trị riêng E
nx,ny,nz
có suy biến. Sự xuất hiện trị riêng suy
biến rất thờng gặp trong cơ học lợng tử, phản ánh tính đối xứng của hệ khảo sát.
4.6.3. Dao động tử điều hoà
E =
2
2
1
ka
(4.26)

vì a (biên độ ) có thể nhận các giá trị bất kì nên E thu đợc là các giá trị liên tục.
Theo cơ học lợng tử, thay thế năng vào phơng trình Schrodinger, ta có: 0)
2
1
(
2
22
22
2
=+


xmE
m
dx
d

(4.27)

Đặt:

x

=
(4.31)

Lấy đạo hàm theo x ta có:

=
dx
d
45

Hay




d
d
dx
d
d
d
dx

d
d
(4.34)

Hay
0)(
2
2
2
=+





d
d
(4.35) Hàm phải liên tục, đơn trị, hữu hạn đối với mọi gía trị của . Khi khá lớn thì
tỉ số / có thể bỏ qua, lúc đó phơng trình có dạng: 0
2
2
2
=





= e

Nghiệm đúng của hàm trong phơng trình là :
Z
eH

=
)(

ở đây hàm H()
phải đợc xác định. Muốn vậy ta đặt Z =
2
/2; Z

= để đa phơng trình (4.35) về
dạng Hermit.
Giải phơng trình này ngời ta đợc nghiệm:

H
n
() = (-1)
n

)(
2
2


về vị trí và xung lợng sinh và năng lợng điểm không. Câu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tập
1.
1.1.
1. Hãy cho biết nội dung của tiên đề về hàm sóng.
2.
2.2.
2. Hàm sóng của một hệ lợng tử phải thoã mãn điều kiện gì?
3.
3.3.
3. Hãy cho biết ý nghĩa vật lý của hàm sóng.
4.
4.4.
4. Hãy cho biết nội dung, ý nghĩa của nguyên lý chồng chất trạng thái.
5.
5.5.
5. Hãy cho biết nội dung của tiên đề về toán tử.
6.
6.6.
6. Hãy cho biết điều kiện để hai đại lợng vật lý xác định đồng thời trong một
trạng thái.
7.
7.7.

14.14.
14. Tìm năng lợng động học thấp nhất của một electron trong hộp thế 3 chiều có
kích thớc 0,1.10
-13
cm, 1,5.10
-13
cm và 2.10
-13
cm.
15.
15.15.
15. Xác định mức suy biến của mức năng lợng E =
2
2
8
17
ma
h
của hạt trong hộp thế 3
chiều có các cạnh bằng nhau.
16.
16.16.
16. Giả thiết một hộp thế một chiều với độ rộng a = 10 nm có một vi hạt chuyển
động đợc mô tả bằng hàm sóng:
x
aa


sin
2

19.19.
19. Hãy cho biết ứng với những giá trị nào khi electron chuyển động trong giếng thế
một chiều với độ dài là a ở trạng thái n = 3 sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu.
Cho
x
a
n
a


sin
2
=

20.
20.20.
20. Electron của phân tử etylen hấp thụ một bớc sóng = 1625A
o
khi chuyển từ
mức năng lợng E
1
= h
2
/8ma
2
đến mức năng lợng E
2
= 4h
2
/8ma