Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Đề tài:
"Một số kinh nghiệm
Giải bài toán cực trị đại số"
Phần thứ nhất
mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Nh chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chơng trình toán
THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những
dạng toán khó, lại hay thờng gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS. Mặc dầu
vậy, chúng ta vẫn cha có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những
phơng pháp, những dạng toán cơ bản thờng gặp và cũng cha có một phơng
pháp tìm cực trị nào tối u cho mọi dạng toán.
ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã đợc làm quen với loại toán
này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì
thấy nó cũng không dễ dàng với HS.
Với những lí do nh vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài Một số kinh
nghiệm giải bài toán cực trị Đại số. Với mong muốn đợc trình bày một vài
kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong đợc
sự đóng góp chân thành để đề tài đợc phát huy hiệu quả.
II. nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu:
1. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra một số sai
lầm thờng mắc phải.
- Đề xuất một số phơng pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phơng pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả
năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến
khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy đợc khả
năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc lòng say mê, sáng

I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Cho biểu thức đại số F(x,y,) xác định trên miền
D
và
,M m R
.
Ta nói:
M
là giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của
, ),( yxf
trên
D

nếu 2 điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) Với mọi x, y, . . .

D
thì F(x,y, . . .)
M
(hoặcF(x,y, . . .)
m
),
ii) Tồn tại x
0
, y
0
, . . .

D

Ta ký hiệu
MaxA
là giá trị lớn nhất của
MinAA,
là giá trị nhỏ nhất của
A
II. Những sai lầm th ờng g ặp khi giải toán cực trị:
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
544
3
2
+
=
xx
A
Lời giải sai: Phân thức
A
có tử số là số không đổi nên
A
có giá trị lớn
nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có:
xxxx +=+ ,44)12(544
22
x
xx

+
,

Với lập luận phân thức
B
có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi
mẫu nhỏ nhất, do mẫu nhỏ nhất bằng
4
khi
0=x
, ta sẽ đi đến:
4
1
max =B

không phải là giá trị lớn nhất của
B
, chẳng hạn với
3=x
thì
4
1
5
1

.
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã
máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên
sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét:
44)12(544
22
+=+ xxx

22
=+

2== yx
Khi đó
822
22
=+=MinA
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta
mới chứng minh đợc
),(),( yxgyxf
, chứ cha chứng minh đợc
myxf ),(
với
m
là hằng số.
Ta đa ra một vị dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng
44
2
xx
sẽ suy ra:
2
x
nhỏ nhất
20)2(44
22
=== xxxx
.
Dẫn đến:
24

Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
xxA +=
Lời giải sai:
4
1
2
1
4
1
4
1
2







+=






++=+= xxxxxA
Vậy

==
xA
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của:
))(()( xzxyyxxyzA +++=
Với
0,, zyx
và
1=++ zyx
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức:
2
)(4 baab +
1)()(4
2
=+++ zyxzyx
1)()(4
2
=+++ xzyxzx
1)()(4
2
=+++ yxzyxx
Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
1)))((64 +++ xzxyyxxyz
64
1
=MaxA
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ cha chỉ ra đợc trờng hợp xẩy ra
dấu đẳng thức. Điều kiện để
64
1
=A

=++
===
0,,
1
0
zyx
zyx
zyx
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
.31 xyzzyx ++=
)1(
3
))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx ++++++++=

)2(
Nhân từng vế
)1(
với
)2(
do 2 vế đều không âm)
3
3
9
2
.92



142
2
+= xxB
3/ Tìm giá trị nếu có của
143
2
+= xxC
4/ Cho tam thức bậc hai
2
P ax bx c= + +
-Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
nếu
0>a
-Tìm giá trị lớn nhất của
P
nếu
0<a
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/
1515)4(18
22
=+= xxxA

415min == xA
2/
11)1(2142
22
=+= xxxB

7
max == xC
4/
c
acb
a
b
xa
a
c
x
a
b
xacbxaxP
4
4
2
2
2
22








=


2
=

=<
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
)1( ++= xxA
HD:
)1(
2
++ xxMinMinA
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau:
[ ]
)()(
2
NkxfB
k
=
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
)7)(4)(3( = xxxxC
HD: Dùng phơng pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số,
có mẫu là tam thức bậc hai.
VD: Tìm giá trị lớn nhất của
544
3
2
+
=

*********************************************************************************
7 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Đặt
,
1
1
+
=
x
y
có
4
3
4
3
2
1
1
2
2
+






=+= yyyP

+
+
=
x
x
x
xx
P
,
1
4
3
== xMinP
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các
biến:
VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
3 yxxyA =
Biết
yx,
là nghiệm của phơng trình:
1025 =+ yx
Giải:
Ta có:
2
510
1025
x
yyx









+






= x
25
59
1600
59
80
4
59
2
+







95
59
80
59
125
max
y
x
A
c, Tiểu kết:
Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phơng pháp tam thức bậc
hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng
giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi
các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
2. Ph ơng pháp miền giá tr ị của hàm số:
a, Nội dung phơng pháp:
*********************************************************************************
8 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
)(xf
với
.Dx


Gọi
0
y
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phơng

và
bxfMax =)(
trong đó
.Dx

Nh vậy thực chất của phơng pháp này là đa về phơng trình bậc hai và sử
dụng điều kiện
.0
b, Ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
1
1
2
2
++
+
=
xx
xx
A
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị

khi và chỉ khi phơng trình ẩn x sau đây có nghiệm:
1
1
2
2
++
+

+ TH2: Nếu
0a
thì để
)2(
có nghiệm, cần và đủ là
0
, tức là:
0)1(4)1(
22
+ aa
0)2214)(221( ++++ aaa
0)3)(13( aa
)1(3
3
1
aa
.
Với
3
1
=a
hoặc
3
=
a
thì nghiệm của
)2(
là:
)1(2
)1(

x
Gộp cả hai trờng hợp 1 và 2 ta có:
1
3
1
== xMinA
,
13
==
xMaxA
Cách khác:
3
1
)1(2
3
1
242333
2
2
2
22

++
+
=
++
++
=
xx
x

++
+
+
++
++
=
++
+
=
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
A
1
3
1
== xMinA
Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dới dạng khác, đó là:
1/ Chứng minh:
3
1
1
3
1
2


=

=
MxfDx
DxMxf
xMaxfM
00
(:
,)(
)(
*********************************************************************************
10 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************



=

=
mxfDx
DxMxf
xfMinm
00
(:
,)(
)(
Nh vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
)(xf

a
Tổng quát
ka
k
,0)(
2

nguyên dơng
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=
a
3/
.0a
Xẩy ra dấu đẳng thức
0= a
4/
aaa
Xẩy ra dấu đẳng thức
0= a
5/
baba ++
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0
cùng dấu)

baba +
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0
cùng dấu)

+
2
(hoặc
)2
22
abba +
. Xẩy ra dấu đẳng thức
ba =
+ Đối với
:, ,1;0
1
nia =

n
n
aaa
n
aaa
221
21
+++
9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:
*********************************************************************************
11 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Nếu

a
b
a
=
(với quy ớc rằng nếu
0=
i
a
thì
0=
i
b
).
10/ Bất đẳng thức Trêbsép.
+ Nếu
n
aaa
21
,
n
bbb
21

thì
) ).( () (
21212211 nnnn
bbbaaabababan +++++
Dấu bằng xẩy ra
ji
aa =

Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với
),,( zyx
và
),,( xzy
22222222222
)(1))(()(1 zyxxzyzyxzxyzxy ++++++++=

)1(
Mặt khác, đối với
)1,1,1(
và
),,,
222
zyx
ta có:
).()111().1.1.1(
44422222222
xzyzyx ++++++
)2(
Từ
)1(
và
)2(
suy ra:
3
1
3)(31
444
=++ PPxzy

y
x
MinP
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
b/
y
y
x
x
B
2
1

+

=
Giải:
a/ Điều kiện:
;1x

2y
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng:
ab
ba

+
2
ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
)(2

11
)1.(1
1
=
+


=

x
x
x
x
x
x

4
2
22
2
.
22
22
2
)2(22
==
+


=

1
y
x
x
x
MaxB
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
32 += xxA

Giải:
Ta có:
13232 =++= xxxxA
30)3()2(1 = xxxMinA
*********************************************************************************
13 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi
xx = 33
để áp dụng bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2000 21 +++= xxxy

Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức:
baba ++
đối
với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có:

cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận dụng. Vì
vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./.
4. Ph ơng pháp dùng ẩn ph ụ:
Đối với dạng toán này, nếu biết cách dùng ẩn phụ sẽ giúp chúng ta nhìn nhận
ra vấn đề một cách rõ ràng.
Ví dụ 1:
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức x
2
+y
2
với điều
kiện: (x
2
-y
2
+1)
2
+ 4x
2
y
2
-x
2
-y
2
= 0.(1)
Lời giải:
Điều kiện (1) biến đổi đợc về dạng(x
2
+y

2
-3u+1

0 (4)
Hay (3-
5
)/2

u

(3+
5
)/2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức x
2
+y
2
là
(3+
5
)/2 khi x=0
Giá trị bé nhất của biểu thức x
2
+y
2
là
(3-
5
)/2 khi x=0.
Ví dụ 2:

2
1
x
+
2
1
y
-
xy
1
(chia cả hai vế cho x
2
y
2).
Suy ra C=t
2
và
x
1
+
y
1
=
4
1
(
x
1
+
y

t
2
.Suy ra 0

t

4 nên t
2

16.
Từ đó suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng 16 khi và chỉ khi x=y=
2
1
Cách 2:Có thể đặt u=x+y,v=x.y(điều kiện u
2

4v).
IV. một số Bài tập tự luyện:
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a/
35204
2
+= xxA
b/
132
2
++= xxB
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/
)5)(3(2)(1( = xxxxA

/
2
2
+
++
=
x
xx
yb
5/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
32
)1()1( xxA =
với
1x
(HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm:
3
1
;
3
1
;
3
1
;
2
1
;
2
1 xxxxx +++
)







+
2
)( yxy
2
=
4
2
x
; x+
3
4
x
=
3
x
+
3
x
+
3
x
+
3
4

*********************************************************************************
16 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này. Hy vọng rằng, nó sẽ
giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu toán những điều
thú vị và bổ ích.
Mặc dầu trong quá trình tìm tòi, học hỏi, tôi đã rất cố gắng chọn lọc
kiến thức và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu nhng dẫu sao
cũng không tránh khỏi những hạn chế, những sai sót, tôi rất mong các đồng
chí, đồng nghiệp và các em học sinh chỉ bảo, đóng góp ý kiến để sáng kiến
kinh nghiệm này đợc hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
*********************************************************************************
17 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình
Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị ĐS
********************************************************************************
Danh mục tài liệu tham khảo:
1. Tuyển tập toán "30, 45 năm toán học và tuổi trẻ" do hội toán học Việt Nam
biên soạn.
2. Sách "Bồi dỡng đại số cho học sinh lớp 8" do nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình -
Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều biên soạn.
3. Sách giáo khoa toán 8, toán 9
4. Sách giáo viên toán 8, toán 9.
5. Tuyển tập "Các dạng toán dành cho học sinh THCS" do tác giả Phan Duy
Khải biên soạn.
6. Một số cuốn tạp chí Thế giới trong ta
*********************************************************************************
18 Nguyễn Văn Tuấn GV THCS Yên Bình