Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
Phần A: Lý do chọn chuyên đề
Hệ phơng trình đối xứng là dạng toán hay trong chơng trình Toán của bậc học Phổ thông.
Để giải quyết tốt đợc bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó
giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn
luyện cho học sinh kỹ năng về t duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã
học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể.
Chính vì lí do đó, nên tôi đã su tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:
Hệ phơng trình đối xứng
Phần b: những nội dung cụ thể
I. Hệ phơng trình đối xứng loại I:
Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng
- Phơng trình n ẩn x
1
, x
2
, ..., x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phơng trình
không thay đổi.
- Khi đó phơng trình luôn biểu diễn đợc dới dạng:
x
1

1
x
2
... x
n
- Hệ phơng trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phơng trình đối xứng.
- Với học sinh phổ thông ta đa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đa
vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.
- Để giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.
*) Nếu đa thức F(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+... a
n
, a
0
0, a
i
P có nghiệm trên P là c
1
, ..., c
n
thì



1.Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 2 (lớp 10).
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
1 2
1 2
-b
S = x + x =
a
c
P = x .x =
a







Ngợc lại nếu 2 số x
1
, x
2
có
1 2
1 2

2
- SX + P = 0.
+ Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phơng trình
X
2
- SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán.
4.Bài tập:
Loại 1: Giải hệ đơn thuần
VD1: Giải hệ
2 2
x + y + xy = 2
x + xy + y = 4



(I)
Giải: (I)
2
(x + y) + xy = 2
(x + y) - xy = 4




Đặt S = x+y, P = xy ta có
2
S + P = 2
S - P = 4











Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phơng trình X
2
- 2X = 0
X = 0
X = 2



{(x;y)} = {(0;2); (2;0)}
Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phơng trình X
2
+ 3X +5 = 0 vô nghiệm
Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}.
Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn
VD2: Giải hệ
2
x (x + 2)(2x + y) = 9
x + 4x + y = 6



(II)



========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
2
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
Vậy x
5
, y
5
là nghiệm của phơng trình X
2
- 4X -32 = 0
X = 8
X = - 4



Vậy
5
5
5
5
x = 8
y = - 4
x = - 4
y = 8















Chú ý: Với hệ có dạng
n n
x + y = a (1)
xy = b (2)



+ Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi x
n
, y
n
nh nghiệm của phơng trình
X
2
- aX + b
n
= 0.
+ Giải và biện luận phơng trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu đợc.
VD4: Giải hệ



(3)
Giải (3) ta đợc S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6
Từ đó suy ra nghiệm của (2) .
(1) có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3).
VD 5: Giải hệ:
2 2
3 3
3
3
2(x + y) = 3( x y + xy )
x + y = 6





(1)
Giải: Đặt
3
3
x = u ; y = v ta có hệ
2
3 3 2
2(u + v ) =3(u v + uv )
u + v = 6





2
(x + y) - 2xy
= m
xy
x + y = 8






64 = (m + 2)xy
x + y = 8




Với m = -2: Hệ vô nghiệm
Với m

-2: Hệ tơng đơng với
64
xy =
m+2
x + y = 8





S = 2
P = - m + 1
S - 2P = 2(m + 1)
S = - 2
S = 4
P = 1 - m


















Vậy (x;y) là nghiệm của:
2
2
X - 2X + 1 - m = 0
X - 2X + 1 - m = 0


. Vậy ta có hệ :
3 3
3
u + v =
2
u + v = 1






2
3
u + v =
2
(u + v) (u + v) - 3uv = 1





3
u + v =
2
19
u.v =


3
3
6 + 5
u = ( )
8
6 - 5
u = ( )
8






Vậy phơng trình có 2 nghiệm {x} = {
3 3
6 + 5 6 - 5
( ) ; ( )
8 8
}.
VD2: Cho x, y, z thoả mãn:
x + y + z = 5
xy + yz + xz = 8



(I)
CMR:
7

-4(x
2
-5x+8)
7
0 1
3
x
Do vai trò của x,y,z là nh nhau nên ta có
7 7
1 y ,1 z
3 3

.
B. Bài tập:
I) Giải hệ phơng trình:
1)
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y

+ =


+ = +


(ĐHAN -97)
2)
2 2

x y xy

+ =


+ + =


5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y

+ + + =

+ + =

========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
5
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
6)
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49


+ + + =


(ĐHAN-99)
8)
7
1
78
x y
y x
x y
x xy y xy

+ = +



+ =

(ĐH HH-99)
9)
( ) ( )
2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
+ =


1. Giải và biện luận:
a)
2 2 2
4x y
x y m
+ =


+ =

(QHQT-99)
b)
4 4 4
x y m
x y m

+ =


+ =


(129-III)
c)
1
2 5
2
2
2
x y