SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (3 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :
3 3 13 4 3 1− − − =
.
b) Giải hệ phương trình :
2
1 5
( 2 1) 36
x y
x x y

+ + =


+ + =


Bài 2: (1,5 điểm)
Cho phương trình:
4 2
x 2mx 2m 1 0
− + − =
.
Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm
1 2 3 4
x , x , x , x
sao cho:
1 2 3 4

nguyên.
Hết
SBD thí sinh: Chữ ký GT1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

BÀI NỘI DUNG Điể
m
B.1 3,0
1.a
( )
( )
2
2
3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1
3 3 2 3 1 3 3 2 3 1
3 3 2 3 1 3 3 1
3 3 1 3 3 1 1
− − − = − − − +
= − − − = − − −
= − − + = − −
= − − = − + =
0.25
0.25
0,25
0.25
1.b Điều kiện y
≥
0 . 0,25

y = 9 ) hoặc ( x

=
−
3 ;

y = 9) 0,25
Trường hợp u

= 3 , v = 2 có : ( x

= 2 ;

y = 4 ) hoặc ( x

=
−
4 ;

y = 4) 0,25
Hệ đã cho có 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . 0,25
B.2 1,5
4 2
x 2mx 2m 1 0
− + − =
(1)
Đặt :
2
t x=
, ta có :

( )
4 1 3 2 2 1 2 1 2 1
x x 3 x x 2 t 6 t t 3 t t 9t− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
(4)
0,25
2
Theo định lí Vi-ét, ta có:
1 2
t t 2m+ =
và
1 2
t t 2m 1= −
(5)
Từ (4) và (5) ta có:
1
10t 2m=
và
2
1
9t 2m 1= −
2
1 2
5
9m 50m 25 0 m ; m 5
9
⇒ − + = ⇔ = =
.
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ
là:

,
Do đó
PQ / /MN
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Hai tam giác MEP và MAE có :
·
·
EMP AME=
và
·
·
PEM EAM=
.
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra:
2
ME MP
ME MA MP
MA ME
= ⇒ = ×
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng có:
2
NF NA NQ= ×

. (a, b, c, d là các số
nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
c a
p q
d b
+ = +
0,25
3
Do b, c là số tự nhiên nên:
c b c b 1
> ⇒ ≥ +
. Vì vậy :
b 1 1
p q
9 b
+
+ ≥ +
1 b 1 1 b 1 7
p q 2
9 9 b 9 9 b 9
+ ≥ + + ≥ + × =
0,75
7
p q
9
+ =
trong trường hợp
b 1
c b 1, d 9, a 1,

c
chia 3 dư 2, vô lý.
0,25
+ Chứng minh
ab 4M

- Nếu a, b chẵn thì
ab 4M
.
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.
Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì
2
c 4M
, trong lúc
2 2
a b+
không thể chia hết cho
4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h
∈N
. Ta có :
( ) ( )
2 2
2
b 2h 1 2k 1= + − +
=
( ) ( )
4 h k h k 1− + +
=
( ) ( ) ( )