TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC
Y  Z
ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI
TOÁN CAO CẤP C2
(Bài Giảng Tóm Tắt)
6.1 Chuỗi lợng giác 16
6.2 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ 17
6.3 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn có chu kỳ khác 2 18
6.4 Thác triển tuần hoàn 18
6.5 Tích phân Fourier 19

II. Phơng trình vi phân

1. Khái niệm phơng trình vi phân 21
1.1 Vài mô hình dẫn đến phơng trình vi phân 21
1.2 Các khái niệm 22
1.3 Bài toán Cauchy 23

2. Giải một số phơng trình vi phân cấp 1 24
2.1 Phơng trình với biến số phân ly 24
2.2 Phơng trình vi phân thuần nhất 26
2.3 Phơng trình vi phân toàn phần 28
2.4 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 29
2.5 Phơng trình Bernoully 33
2.6 Phơng trình Clairaut 34
2.7 Phơng trình Lagrange 35
3. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 36
3.1 Khái niệm phơng trình vi phân cấp 2 36
3.2 Nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 37
3.3 Nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 39
3.4 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 41

4. Hệ phơng trình vi phân 44
4.1 Các khái niệm 44
4.2 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 45



k=0
a
k
= a
0
+ a
1
+ ããã+ a
k
+ ããã (1)
gọi là chuỗi số (thực).
Số a
k
gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi (1). Tổng hữu hạn
S
n
=
n

k=0
a
k
= a
0
+ a
1
+ ããã+ a
n

Ví dụ. 1) Xét chuỗi hình học


k=0
x
k
=1+x + x
2
+ ãããx
k
+ ããã
Ta có S
n
=1+x + x
2
+ ãããx
n
=











1 x

+ ãããx
k
+ ããã=
1
1 x
2) Xét chuỗi điều hòa


k=0
1
k
=1+
1
2
+
1
3
+ ããã
1
k
+ ããã
Tr-ớc hết ta có bất đẳng thức
n1

n
dx
x

1
n 1

2
+ ããã+
1
n

2

1
dx
x
+
3

2
dx
x
+ ããã+
n+1

n
dx
x
=
n+1

1
dx
x
= ln(n +1)
Vậy, lim

1
1 ã 2
+
1
2 ã 3
+ ããã+
1
n(n +1)
=1
1
2
+
1
2

1
3
+ ããã+
1
n

1
n +1
=1
1
n +1
.
Suy ra, lim
n
S

=1 1+11+ããã với a
n
=(1)
n
l phân kỳ vì
lim
n
a
n
.
2) Chuỗi


n=1
1
n
mặc dù thỏa lim
n
a
n
=0nh-ng phân kỳ. Ta dùng tiêu chuẩn
Cauchy để chứng minh sự phân kỳ của chuỗi điều hoà. Ta có
|a
n+1
+ ããã+ a
n+p
| =
1
n +1
+ ããã+



k=1
a
k
cũng hội tụ và


k=0
(a
k
+ b
k
)=


k=0
a
k
+


k=1
b
k


k=0
a
k

0
b
1
= a
n
0
+1
+ a
n
0
+2
+ ããã+ a
n
1
.
.
.
b
k
= a
n
k1
+1
+ a
n
k1
+2
+ ããã+ a
n
k

k
là dãy con của dãy các tổng riêng của chuỗi


k=0
a
k
.
Từ sự hội tụ một dãy suy ra sự hội tụ của các dãy con và chúng có cùng giá trị
giới hạn với dãy đó , ta có điều phải chứmg minh.
2 Chuỗi d-ơng
Trong phần ny ta xét các chuỗi m tất cả các số hạng đều d-ơng.
2.1 Chuỗi d-ơng
Chuỗi


n=1
a
n
đ-ợc gọi là chuỗi d-ơng nếu a
n
> 0, với mọi n.
Rõ rng chuỗi d-ơng có dãy các tổng riêng {S
n
} đơn điệu tăng nên sẽ hội tụ nếu
thỏa thêm điều kiện bị chặn trên.
Định lý 4. Chuỗi d-ơng


n=1

n
.
1) Giả sử a
n
b
n
, n N. Khi đó
a) Nếu


n=1
b
n
hội tụ, thì


n=1
a
n
hội tụ.
b) Nếu


n=1
a
n
phân kỳ, thì


n=1



n=1
a
n
phân kỳ.
c) Nếu 0 <K<+, thì


n=1
b
n
và


n=1
a
n
hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân
kỳ.
Chứng minh. 1) Từ giả thiết suy ra dãy các tổng riêng {S
(a)
n
} v {S
(b)
n
} của các
chuỗi



n=1
a
n
hội tụ. Tr-ờng hợp còn lại lý luận t-ơng tự.
2) Sử dụng 1).
Ví dụ. 1) Xét sự hội tụ của chuỗi


n=0
1
2
n
+ sin
2
n
. Đây l chuỗi d-ơng. Ta có
1
2
n
+ sin
2
n

1
2
n
, n N.
So sánh với chuỗi hội tụ



So sánh với chuỗi (phân kỳ, xem ví dụ tr-ớc)


n=1
1
n
suy ra chuỗi đã cho phân kỳ.
Khi dùng tiêu chuẩn so sánh ta th-ờng so sánh với chuỗi


n=1
1
n
s
, s R (đ-ợc gọi
là chuỗi Dirichlet) m sự hội tụ của nó đ-ợc cho bởi:
Mệnh đề 1. Chuỗi


n=1
1
n
s
hội tụ khi và chỉ khi s>1.
Định lý 6. (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử

a
n
là chuỗi d-ơng và lim
n

a
n
= lim
n
2
n

n
2
=2> 1.
2) Chuỗi


n=1
(1 1/n)
n
2
hội tụ vì
c = lim
n
n

a
n
= lim
n
(1 1/n)
n
= e
1


n=1
n!
n
n
hội tụ vì ta có a
n+1
=
(n + 1)!
(n +1)
n+1
và
d = lim
n
a
n+1
a
n
= lim
n

n
n +1

n
= lim
n
1
(1 + 1/n)
n

2
1
x ln x
dx = ln(ln x)



+
2
=
Vậy tích phân

+
1
f(x)dx phân kỳ. Do đó chuỗi phân kỳ.
2) Xét chuỗi Dirichlet (xem mệnh đề 1)


n=1
1
n
s
. Chuỗi ny hội tụ khi v chỉ khi

+
1
1
x
s
dx hội tụ. Ta cú

3 Chuỗi với dấu bất kỳ
Trong bi ny ta xét chuỗi với số hạng tổng quát có dấu tùy ý.
3.1 Chuỗi đan dấu
Chuỗi đan dấu l chuỗi có dạng


n=0
(1)
n
a
n
= a
0
a
1
+ a
2
a
3
+ ããã (1)
trong đó a
n
> 0, n (hoặc a
n
< 0).
Định lý 9. (Dấu hiệu Leibnitz) Giả sử chuỗi đan dấu (1) có a
n
> 0, n. Khi đó
nếu dãy {a
n

hội tụ
Mệnh đề 2. Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
Chứng minh. Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy để một chuỗi hội tụ.
Nhận xét. Điều ng-ợc lại của phát biểu trong mệnh đề l không đúng. Chẳng
hạn, chuỗi điều ho đan dấu


n=1
(1)
n1
n
hội tụ nh-ng không hội tụ tuyệt đối.
Một chuỗi hội tụ nh-ng chuỗi trị tuyệt đối phân kỳ thì ta nói chuỗi đó bán hội
tụ.
Định lý 10. (Hoán vị các số hạng) Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì khi hoán
vị tùy ý các số hạng ta đ-ợc chuỗi mới cũng hội tụ tuyệt đối v có cùng tổng nh-
chuỗi ban đầu.
9
Trong dịnh lý trên, giả thiết hội tụ tuyệt đối l điều kiện tiên quyết, nhu sẽ
thấy trong định lý sau đây:
Định lý 11. (Riemann) Trong một chuỗi bán hội tụ, bằng cách hoán vị các số
hạng có thể lm cho chuỗi mới hoặc có tổng bằng một số cho tr-ớc bất kỳ hoặc
phân kỳ.
4 Chuỗi hm
Trong bi ny ta nghiên cứu chuỗi m các số hạng l các hm số xác định trên
tập D R no đó.
4.1 Khái niệm chuỗi hm - Sự hội tụ v hội tụ đều
Cho dãy hm số {u
n
(x)}

)} hội tụ.
Nói cách khác, dãy các tổng riêng hội tụ tới x
0
. Ta nói chuỗi hm (2) hội tụ (từng
điểm) trên D về hm S(x) nếu nó hội tụ tại mỗi điểm x
0
D v tổng t-ơng ứng
l S(x
0
).
Ví dụ. Chuỗi hm


n=1
x
n
= x + x
2
+ x
3
+ ããã hội tụ trên khoảng (1, 1) về
hm S(x)=
x
1 x
(tổng của cấp số nhân lùi vô hạn!). Chuỗi ny phân kỳ trên
{|x|1}.
Một chuỗi


n=1

n+1
(x)+ããã+ u
n+p
(x)| = |
cos(n +1)x
(n + 1)(n +2)
+ ããã+
cos(n + p)x
(n + p)(n + p +1)
|

1
(n + 1)(n +2)
+ ããã+
1
(n + p)(n + p +1)
, x R
=
1
n +1

1
n +2
+ ããã+
1
n + p

1
n + p +1
=

n
(x) hội tụ đều trên D.
4.2 Các tính chất của chuỗi hm hội tụ đều
Định lý 14. (Tính liên tục của tổng) Nếu chuỗi hm gồm các hm liên tục trên
D hội tụ đều về hm S(x) thì S(x) liên tục trên D.
Định lý ny l một điều kiện cần cho sự hội tụ đều của chuỗi các hm liên tục.
11
Ví dụ. Xét chuỗi hm x +


n=1
x
n
(x 1) gồm các hm liên tục trên D =[0, 1].
Tổng riêng thứ n của chuỗi ny l S
n
(x)=x
n
. Do đó dãy các tổng riêng hội tụ
về hm (không liên tục) S(x)=

00 x<1
1 x =1
. Vậy sự hội tụ l không đều.
Định lý 15. (Tích phân qua chuỗi) Nếu chuỗi hm


n=1
u
n

(Tức l có thể tích phân từng số hạng của chuỗi).
Ví dụ. Tính tổng của chuỗi


n=0
x
n+1
n +1
v?i |x| < 1.
Cố định x với |x| < 1, xét chuỗi


n=0
t
n
trên [0,x] (nếu x 0 thì xét đoạn [x, 0]).
Chuỗi ny hội tụ đều trên [0,x] về hm
1
1 t
.Tacó


n=0
x
n+1
n +1
=


n=0

0
[a, b] no đó v chuỗi các
đạo hm


n=1
u

n
(x) hội tụ đều trên [a, b] thì chuỗi hm


n=1
u
n
(x) cũng hội tụ đều
trên [a, b] về hm S(x) khả vi v ta có
S

(x)=



n=1
u
n
(x)


=



n=0
a
n
(x x
0
)
n
= a
0
+ a
1
(x x
0
)+a
2
(x x
0
)
2
+ ããã (4)
Các a
n
đ-ợc gọi là các hệ số. Chuỗi (4) dễ dng đ-a về (3) bằng cách đặt
X := x x
0
.
Tập các điểm x m chuỗi lũy thừa (3) hội tụ đ-ợc gọi là miền hội tụ của nó.
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa luôn khác rỗng (vì ít nhất, chuỗi lũy thừa hội tụ

n
0
|M, n N
Với x (|x
0
|, |x
0
|) cố định, xét hai chuỗi d-ơng


n=0
|a
n
x
n
| v


n=0
M




x
x
0





x
x
0




n
.
M chuỗi


n=0
M




x
x
0




n
hội tụ (cấp số nhân lùi vô hạn) nên chuỗi



n
1
n

|a
n
|
= lim
n
|a
n
|
|a
n+1
|
(nếu tồn tại các giới hạn).
Ví dụ. 1) Chuỗi


n=0
x
n
n!
có bán kính hội tụ l
R = lim
n
1
n

1/n!

n=0
a
n
x
n
.
Khi đó chuỗi hội tụ đều trên đoạn [, ] (R, R) bất kỳ.
Hệ quả 2. Tổng của chuỗi lũy thừa liên tục trên ( R, R).
14
Định lý 19. (Đạo hm chuỗi lũy thừa) Cho chuỗi lũy thừa


n=0
a
n
x
n
với bán kính
hội tụ R. Khi đó chuỗi các đạo hm cũng có bán kính hội tụ R v có thể đạo
hm từng từ:



n=0
a
n
x
n



n
t
n

dt =


n=0
a
n
n +1
x
n+1
.
Ví dụ. Chuỗi


n=0
x
n
có bán kính hội tụ l R =1. V?i |x| < 1 ta cú
1
1 x
=


n=0
x
n
=1+x + x

Tớch phõn cỏc chu?i ny, ta thu du?c cỏc khai tri?n
ln(1 + x)=

x
0
dt
1+t
= x
x
2
2
+
x
3
3
ããã+(1)
n
x
n+1
n +1
+ ããã
arctgx =

x
0
dt
1+t
2
= x
x

n
x
n
trên (R, R)
(v?i R>0) thì f(x) khả vi vô hạn trên (R, R) v
a
n
=
f
(n)
(0)
n!
Nh- vậy, nếu hm số khai triển đ-ợc thnh chuỗi lũy thừa thì chuỗi lũy thừa
đó chính l chuỗi Taylor của nó. Tuy nhiên, hm số khả vi vô hạn ch-a chắc khai
triển đ-ợc thnh chuỗi lũy thừa, tức l chuỗi Taylor có thể không hội tụ về hm
số đó. Chẳng hạn hm số f(x)=

e
1/x
2
nếu x =0
0 nếu x =0
có f
(n)
(0) = 0, n, nên
chuỗi MacLaurin l


n=0
0=0= f(x).

= x
x
2
2
+
x
3
3
ããã+(1)
n
x
n+1
n +1
+ ããã
16
Miền hội tụ l (1, 1].
3) Hm lũy thừa: f(x)=(1+x)

, R
(1 + x)

=1+


n=1
( 1) ( n +1)
n!
x
n
.

x
2n+1
(2n + 1)!
+ ããã
6 Khai triển Fourier
Trong phần ny ta xét khai triển hm số thnh chuỗi các hm l-ợng giác l loại
chuỗi hm đ-ợc dùng nhiều trong các bi toán vật lý kỹ thuật.
6.1 Chuỗi l-ợng giác
Chuỗi hm có dạng sau đ-ợc gọi là chuỗi l-ợng giác
a
0
2
+


n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx) (5)
trong đó a
0
,a
1
,a
2
, ,b
1
,b


sin
2
nxdx = ,n 1;



dx =2.
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp.
Mệnh đề 6. Nếu f(x) khai triển đ-ợc thnh chuỗi l-ợng giác thì các hệ số của
khai triển (cũng gọi l các hệ số Fourier) cho bởi công thức:
a
m
=
1




f(x) cos mxdx, m =0, 1, 2,
b
n
=
1




f(x) sin nxdx, n =1, 2,
Để ý rằng nếu f(x) khả tích trên [, ] thì các hệ số Fourier của nó l tồn

các hm cosin.
18
6.3 Khai triển Fourier của hm tuần hon có chu kỳ khác 2
Giả sử f(x) tuần hon chu kỳ 2L với L = . Xét phép biến đổi
t =
x
L
.
Khi đó hm số g(t):=f(
tL

) có chu kỳ l 2 và khai triển Fourier của f(x) l:
f(
tL

)=g(t)=
a
0
2
+


n=1
(a
n
cos nt + b
n
sin nt).
Vì vậy:
f(x)=


L
L
f(x) cos
nx
L
dx, n =0, 1, 2,
b
n
=
1




g(t) sin ntdt =
1
L

L
L
f(x) sin
nx
L
dx, n =1, 2,
6.4 Thác triển tuần hon
Với các hm số đ-ợc cho trên một đoạn [a, b] no đó, ta có thể mở rộng thnh
một hm số tuần hon trên cả trục số R. Công việc đó đ-ợc gọi là thác triển
tuần hon một hm số. Nếu hm số đ-ợc cho trên [, ], ta thác triển tuần
hon bằng cách đặt

2
0
x
2
dx =0,
a
n
=
1


2
0
x
2
cos nxdx =0,
b
n
=
1


2
0
x
2
sin nxdx =
1
n
.






a
k
=
1




f(x) cos kxdx, k =0, 1, 2,
b
k
=
1




f(x) sin kxdx, k =1, 2,
Nếu f(x) l hm khả tích tuyệt đối trên R thì các hệ số có thể

liên tục hoá

thnh hm xác định trên R:
a(s)=
1

trong đó F l hợp lực tác động lên vật v a l gia tốc chuyển động. Hợp lực F
có thể giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỉ lệ với khối l-ợng của vật v h-ớng
xuống) v lực cản (tỉ lệ với vận tốc chuyển động v h-ớng lên trên). Ngoi ra,
do gia tốc chuyển động a =
dv
dt
nên (1) có thể viết d-ới dạng
m
dv
dt
= mg v, (2)
trong đó g 9, 8m/s
2
l gia tốc trọng tr-ờng, cũn l hệ số cản. Vậy vận tốc v
của vật rơi tự do thỏa mãn ph-ơng trình (2) với sự xuất hiện của đạo hm của v.
Những ph-ơng trình nh- vậy ta sẽ gọi l ph-ơng trình vi phân.
Dung dịch hóa học. Giả sử tại thời điểm ban đầu t = t
0
một thùng chứa x
0
kg muối hòa tan trong 1000 lít n-ớc. Ta cho chảy vo thùng một loại n-ớc muối
nồng độ a (kg/lít) với l-u l-ợng r (lít/phút) v khuấy đều. Đồng thời, cho hỗn
hợp đó chảy ra khỏi thùng cùng với tốc độ nh- trên. Gọi x = x(t) l l-ợng muối
trong thùng tại thời điểm bất kỳ. Rõ rng tỉ lệ thay đổi l-ợng muối trong thùng
dx
dt
bằng hiệu của tỉ lệ muối chảy vo ar(kg/phút) trừ đi tỉ lệ muối chảy ra tại
22
thời diểm đang xét
rx

ẩn xuất hiện trong ph-ơng trình.
Ph-ơng trình vi phân th-ờng cấp 1 có dạng tổng quát
F (x, y, y

)=0, (5)
trong đó F (x, y, z) đ-ợc giả thiết liên tục cùng với các đạo hm riêng của nó trên
miền G R
3
. Với một số giả thiết thích hợp (xem định lý hm ẩn), ph-ơng trình
vi phân cấp 1 có thể viết đ-ợc d-ới dạng sau (gọi l dạng giải ra đ-ợc đối với
đạo hm)
y

= f(x, y), (6)
với f(x, y) liên tục trong miền D R
2
no đó.
Ví dụ. Các ph-ơng trình
e
y
+ y

2
cos x =1
y

2
2xy =lnx

2