Bài tập toán cao cấp
Tập 2 Nguyễn Thủy ThanhNXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’

.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
Mu
.
clu
.
c
7 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3
7.1 Gi´o
.

du
.
.
a trˆen c´ac
d
i
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n ................ 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.

du
.
.
atrˆend
iˆe
`
u
kiˆe
.
ncˆa
`
nv`ad
u
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y hˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo

’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n ........ 51
8 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n60
8.1 D
-
a
.
oh`am.......................... 61
8.1.1 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
p1 .................. 61
8.1.2 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
pcao ................. 62

i
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
h`am kha
’
vi........ 84
8.3.2 Khu
.
’
c´ac da
.
ng vˆo d
i
.
nh. Quy t˘a
´
c Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆong th´u
.
cTaylor................. 96
9Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´

o h`am theo hu
.
´o
.
ng............... 112
9.1.5 D
-
a
.
o h`am riˆeng cˆa
´
pcao.............. 113
9.2 Vi phˆan cu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n............... 125
9.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1................... 126
9.2.2
´
Ap du
.
ng vi phˆan d
ˆe
’
t´ınh gˆa

9.3.1 Cu
.
.
c tri
.
....................... 145
9.3.2 Cu
.
.
c tri
.
c´o d
iˆe
`
ukiˆe
.
n................ 146
9.3.3 Gi´a tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tv`ab´e nhˆa
´
tcu
’
a h`am . . . . . . 147
Chu
.

i
ha
.
n ...................... 5
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.

.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’
dˆe

`
gi´o
.
iha
.
n27
7.3 H`am liˆen tu
.
c .................. 41
7.4 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n. 51
4Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.

.
i l`a d˜ay sˆo
´
vˆo ha
.
n. D˜ay sˆo
´
thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng:
a
1
,a
2

’
asˆo
´
ha
.
ng trong d˜ay.
Ta cˆa
`
nlu
.
u ´y c´ac kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
i) D˜ay (7.1) d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`abi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u ∃ M ∈ R
+

ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∀ ε>0, ∃ N(ε):∀ n  N ⇒|a
n
− a| <ε. (7.2)
iii) Sˆo
´
a khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∃ ε>0, ∀ N : ∃ n  N ⇒|a
n
− a|  ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o
.
iha
.
nd
u

i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe
´
u lim
n→∞
a
n
=0v`ago
.
i l`a d˜ay
vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u ∀ A>0, ∃ N sao cho ∀ n>N⇒|a
n
| >Av`a viˆe
´
t
lim a
n
= ∞.
vi) D
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe
’

n
<a+ ε. (7.4)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
5
Hˆe
.
th´u
.
c (7.4) ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ha
.
ng v´o
.
ichı

Nhu
.
vˆa
.
y, nˆe
´
u d˜ay (7.1) hˆo
.
itu
.
d
ˆe
´
nsˆo
´
a th`ı mo
.
isˆo
´
ha
.
ng cu
’
a n´o tr`u
.
ra mˆo
.
tsˆo
´
h˜u

.
n khˆong hˆo
.
itu
.
v`a k´y hiˆe
.
u
lim a
n
= ∞ (−∞)chı
’
c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
l`a vˆo c`ung l´o
.
nv`ak´yhiˆe
.
ud
´o
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o
.
iha
.
n.
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.

.
csaud
ˆay:
i) Lˆa
.
pbiˆe
’
uth´u
.
c |a
n
− a|
ii) Cho
.
n d˜ay b
n
(nˆe
´
udiˆe
`
ud´o c ´o l o
.
.
i) sao cho |a
n
− a|  b
n
∀ n v`a
v´o
.

su
.
’
(7.5) c´o nghiˆe
.
ml`an>f(ε),
f(ε) > 0. Khi d
´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa
`
n
nguyˆen cu
’
a f(ε).
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
su
.
’

ng a
n
tho
’
a m˜an di
.
nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ∀ M>0sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
isˆo
´
hiˆe
.
u n = 2([M]+1)b˘a
`
ng
n v`a l´o
.

ng a
n
khˆong pha
’
i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y,
ta x´et khoa
’
ng (−2, 2). Hiˆe
’
n nhiˆen mo
.
isˆo
´
ha
.
ng cu
’
a d˜ay v´o
.
isˆo
´
hiˆe
.
ule

’
a d˜ay. T`u
.
d
´o,
theo d
i
.
nh ngh˜ıa suy ra a
n
khˆong pha
’
i l`a vˆo c`ung l´o
.
n. 
V´ı du
.
2. D`ung d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n d˜ay sˆo
´
d
ˆe
’
ch´u

.
ng minh
r˘a
`
ng d
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
˜
isˆo
´
ε>0 cho tru
.
´o
.
cc´othˆe
’
t`ım d
u
.
o
.
.
csˆo
´
N (N phu
.
thuˆo

(−1)
n−1
n



=
1
n
·
Gia
’
su
.
’
ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng cho tru
.
´o
.
ct`uy ´y. Khi d
´o:
1
n
<ε⇔ n>

’
ng ha
.
n, ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N =[1/ε], trong d
´o[1/ε] l`a phˆa
`
n nguyˆen
cu
’
a1/ε).
Khi d
´o ∀ n  N th`ı:
|a
n
− 0| =
1
n

1
N
<ε.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu

− 1



<ε.
Bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|a
n
− 1| <ε⇔
1
n +1
<ε⇔
1
ε
− 1.
Do d
´o ta c´o thˆe
’
lˆa
´
ysˆo
´
N(ε) l`a phˆa

N +1
<ε⇒ lim
n→∞
n
n +1
=1. 
V´ı d u
.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau d
ˆay phˆan k`y:
1) a
n
= n, n ∈ N (7.6)
2) a
n
=(−1)
n
,n∈ N (7.7)
3) a
n
=(−1)
n
+
1
n
· (7.8)

´
hiˆe
.
u N sao cho ∀ n>Nth`ı
ta c´o |a
n
− a| < 1 ngh˜ıa l`a |n− a| < 1 ∀ n>N.T`u
.
d
´o −1 <n− a<1
∀ n>N⇔ a− 1 <n<a+1∀ n>N.
Nhu
.
ng bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c n<a+1,∀ n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa
.
pho
.
.
p c´ac
sˆo
´
tu
.

2
,a+
1
2

cu
’
ad
iˆe
’
m a.Taviˆe
´
t d˜ay d˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng:
{a
n
} = −1, 1,−1, 1,.... (7.9)
8Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.

ˆo
`
ng th`o
.
i thuˆo
.
c lˆan cˆa
.
n

a−
1
2
,a+
1
2

cu
’
ad
iˆe
’
m a,
v`ı khoa
’
ng c´ach gi˜u
.
a −1v`a+1b˘a
`
ng 2. D

’
trˆen) sˆo
´
a khˆong thˆe
’
l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay.
C´ach 2. Gia
’
su
.
’
a
n
→ a. Khi d´o ∀ ε>0 (lˆa
´
y ε =
1
2
) ta c´o
|a
n
− a| <
1
2

´
ha
.
ng kˆe
`
v´o
.
in´o
c´o sˆo
´
hiˆe
.
ule
’
2m +1(hay2m − 1) v`a
a
2m+1
= −1+
1
2m +1
< 0 (hay a
2m−1
= −1+
1
2m − 1
 0).
T`u
.
d
´o suy r˘a

u n`ao
d
´o ( a
n
) tho
’
a m˜an bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c |a
n
− a| <
1
2
. Khi d
´o
|a
n
− a
n+1
|  |a
n
− a| + |a
n+1
− a| <
1
2

˜
n n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng khˆong mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c
n`ao c´o thˆe
’
l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay d
˜a cho. 
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu

ng
1. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
2n − 1
2n +2
2. lim
n→∞
a
n
=
3
5
nˆe
´
u a
n
=
3n
2
+1
5n
2
− 1

4. lim
n→∞
cos n
n
=0.
5. lim
n→∞
2
n
+5· 6
n
3
n
+6
n
=5.
6. lim
n→∞
3
√
n
2
sin n
2
n +1
=0.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`

n
2
+ n +1
=1.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
=(−1)
n
+1/n phˆan k`y.
10. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay; a
n
= sin n
0
phˆan k`y.
11. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; ...,0, 22 ...2


2
10
n
(DS. lim a
n
=2/9)
10 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
12. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; ...,0, 233...3

2
+
3
10
3
+ ···+
3
10
n

(D
S. 7/30)
13. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
dˆe
´
n a, c`on d˜ay b
n
dˆa
`

’
dˆa
˜
n. i) Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u
.
c:
2
n
= (1 + 1)
n
=1+n +
n(n − 1)
2
+ ···+1>n+
n(n − 1)
2
>
n
2
2
·
v`a u
.

n
=[1+(a − 1)]
n
>
n(n − 1)
2
(a − 1).
15. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim a
n
=2nˆe
´
u a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
2
n
Chı
’
dˆa
˜
n.

− 2|.
16. Biˆe
´
tr˘a
`
ng d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
n, c`on d˜ay b
n
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n. C´o
thˆe
’
n´oi g`ıvˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay:
i) {a

ii) C´o thˆe
’
g˘a
.
pca
’
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o gi´o
.
iha
.
n v`a khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n,
v´ıdu
.
:
a
n
=
n − 1
n

a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´yvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Dˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
, ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng su

= a ± b.
ii) lim a
n
b
n
= lim a
n
· lim b
n
= a · b.
iii) Nˆe
´
u b = 0 th`ı b˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o d˜ay a
n
/b
n

`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o
a
n
 z
n
 b
n
th`ı lim z
n
= a (Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai phi´a).
v) T´ıch cu
’
a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o
.
i d˜ay bi
.

n
=0th`ıd˜ay

1
α
n

l`a vˆo c`ung l´o
.
n.
Nhˆa
.
nx´et. D
ˆe
’
´ap du
.
ng d´ung d˘a
´
nc´acdi
.
nh l´y trˆen ta cˆa
`
nlu
.
u´ymˆo
.
t
sˆo
´

tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n ho˘a
.
cmˆa
˜
usˆo
´
c´o gi´o
.
iha
.
n
b˘a
`

.
c nhˆan tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
v´o
.
ic`ung mˆo
.
t
biˆe
’
uth´u
.
c.
12 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.

`
n pha
’
ibiˆe
´
nd
ˆo
’
i c´ac biˆe
’
uth´u
.
c a
n
± b
n
v`a
a
n
· b
n
tru
.
´o
.
c khi t´ınh gi´o
.
iha
.
n (xem v´ıdu

)
2) a
n
=(2+4+6+···+2n)/[1+3+5+···+(2n + 1)]
3) a
n
= n
3
/(1
2
+2
2
+ ···+ n
2
)
Gia
’
i. D
ˆe
’
gia
’
i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe
´
tcˆa
´
psˆo
´
1) Nhˆan tu
.

´o
lim a
n
= lim
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1
= −49 v`ı lim 7
−n
=0,n→∞.
2) Tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
d
ˆe
`
u l`a cˆa
´
psˆo
´

+ ···+ n
2
=
n(n + 1)(2n +1)
6
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
13
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
6n
3
n(n + 1)(2n +1)
= lim
6
(1+1/n)(2 + 1/n)
=3. 
V´ı d u
.
2. T`ım gi´o
.
iha

v`a mˆa
˜
usˆo
´
d
ˆe
`
ul`acˆa
´
psˆo
´
nhˆan nˆen
1+
1
2
+ ···+
1
2
n
=
2(2
n
− 1)
2
n
,
1+
1
3
+ ···+

·
2
3
lim
3
n
3
n
− 1
= 2 lim[1 − (1/2)
n
] ·
2
3
lim
1
1 − (1/3)
n
=2· 1 ·
2
3
· 1=
4
3
· 
V´ı d u
.
3.
1) a
n

ˆo
’
i a
n
b˘a
`
ng c´ach nhˆan v`a chia cho da
.
ilu
.
o
.
.
ng liˆen ho
.
.
p
a
n
=
(
√
n
2
+ n − n)(
√
n
2
+ n + n)
√

o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
2) Biˆe
´
ndˆo
’
i a
n
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
1) ta c´o:
a
n

n

2
a
n
=
2

3
√
n +2

2
+
3
√
n +2·
3
√
n +

3
√
n

2
Biˆe
’
uth´u
.

3
√
n
3
v`a ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c:
a
3
+ b
3
=(a + b)(a
2
− ab + b
2
)
suy ra
a
n
=

3
√
n
2
− n
3
+ n

√
n
2
− n
3
+ n
2
=
n
2

3
√
n
2
− n
3

2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=
1

=
n
√
n
2
+1
,
c
n
=
1
√
n +1
+
1
√
n
2
+2
+ ···+
1
√
n
2
+ n
·
Gia
’
i. D
ˆa

15
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
lim b
n
=1.
D
ˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c
n
ta s˜e ´ap du
.
ng Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai ph´ıa.
Mˆo

= b
n
nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
c
n
>
1
√
n
2
+ n
+
1
√
n
2
+ n
+ ···+
1
√
n
2
+ n
= a
n
.

.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay (q
n
) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
|q| > 1. Ta lˆa
´
ysˆo
´
A>0bˆa
´
tk`y. T`u
.
d
˘a
’
ng th´u

|q| < 1, q = 0. Khi d
´o q
n
=

1
q

n

−1
.V`ı



1
q



> 1nˆen
d˜ay


1
q

n

l`a d˜ay vˆo c`ung l´o

AI T
ˆ
A
.
P
T`ım gi´o
.
iha
.
n lim
n→∞
a
n
nˆe
´
u
1. a
n
=
n
2
− n
n −
√
n
.(D
S. ∞)
2. a
n
= n

4. a
n
=
√
n cos n
n +1
.(D
S. 0)
5. a
n
=
5n
n +1
+
sin n
n
.(D
S. 5)
6. a
n
=
n
3
n
2
+1
−
3n
2
3n +1

3n
6n +1
.(D
S. −
1
2
)
10. a
n
=
(−1)
n
5
√
n +1
.(D
S. 0)
11. a
n
=
√
n
2
+1+
√
n
3
√
n
3

(n + 3)!
2(n + 1)! − (n + 2)!
.(D
S. −∞)
15. a
n
=
2+4+···+2n
n +2
− 2. (D
S. −1)
16. a
n
= n −
3
√
n
3
− n
2
.(DS.
1
3
)
17. a
n
=
1 − 2+3− 4+5−···−2n
√
n

.
ng
1
n(n +1)
=
1
n
−
1
n +1
(D
S. 1)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
17
19. a
n
=1−
1
3
+
1
9
−

.(DS. 1)
22. a
n
=

1
√
n

1
√
1+
√
3
+
1
√
3+
√
5
+ ···+
1
√
2n − 1+
√
2n +1
Chı
’
dˆa
˜

1 · 2 · 3
+
1
2 · 3 · 4
+ ···+
1
n(n + 1)(n +2)
Chı
’
dˆa
˜
n. Tru
.
´o
.
chˆe
´
ttach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1
n(n + 1)(n +2)
=
1
2

1
n(n +1)

1
a
1
d
)
trong d
´o {a
n
} l`a cˆa
´
psˆo
´
cˆo
.
ng v´o
.
i cˆong sai d =0,a
n
=0.
25. a
n
=(1− 1/4)(1 − 1/9)···(1 − 1/(n +1)
2
). (DS.
1
2
)
Chı
’
dˆa

a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo
´
a
n
du
.
o
.
.

.
i l`a d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u. Ta lu
.
u´y
r˘a
`
ng d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u bao gi`o
.
c˜ung bi
.
ch˘a
.
n ´ıt nhˆa
´
t l`a mˆo
.
tph´ıa. Nˆe
´

’
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u tiˆen cu
’
a n´o, d˜ay
d
o
.
nd
iˆe
.
u gia
’
mth`ıbi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
isˆo
´
ha
.

a d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u.
D
-
i
.
nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u v`a bi
.
ch˘a
.
n th`ı hˆo
.
itu
.
.
D
i
.
nh l´y n`ay kh˘a

ng ph´ap t`ım gi´o
.
iha
.
nd
´o. Tuy vˆa
.
y, trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p khi biˆe
´
t gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay tˆo
`
nta
.
i, c´o thˆe

tu
.
:
lim
n→∞
a
n+1
= lim
n→∞
a
n
.
Khi t´ınh gi´o
.
iha
.
ndu
.
.
atrˆend
˘a
’
ng th´u
.
cv`u
.
a n ˆe u t i ˆe
.
nlo
.

a
n
=
1
5+1
+
1
5
2
+1
+ ···+
1
5
n
+1
hˆo
.
itu
.
.
Gia
’
i. D˜ay d
˜achodo
.
nd
iˆe
.
u t˘ang. Thˆa
.

1
5+1
+
1
5
2
+1
+
1
5
3
+1
+ ···+
1
5
n
+1
<
1
5
+
1
5
2
+ ···+
1
5
n
=
1

iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n trˆen nˆen n´o hˆo
.
i
tu
.
. 
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
19
V´ı du
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=

n!
,...
D˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m. Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
n+1
a
n
=
2
n+1
(n + 1)!
:
2
n
n!
=
2

´o
.
i. Do d
´o d˜ay do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m v`a bi
.
ch˘a
.
n. N´o hˆo
.
itu
.
theo d
i
.
nh l´y Weierstrass. Gia
’
su
.
’
a l`a gi´o
.
iha
.

2
n +1
lim a
n
v`a nhu
.
vˆa
.
y: a =0· a → a = 0. Vˆa
.
y: lim
2
n
n!
=0. 
V´ı du
.
3. Cho d˜ay a
n
=
√
2, a
n+1
=
√
2a
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a

u
t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
ibo
.
’
isˆo
´
√
2. Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng n´o bi
.
ch˘a
.
n trˆen
bo
.
’
isˆo
´
2.

.
.
cr˘a
`
ng a
n
 2.
Khi d
´o:
a
n+1
=
√
2a
n

√
2 · 2=2.
20 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’

nd
´o
l`a a.
Ta c´o:
a
n+1
=
√
2a
n
⇒ a
2
n+1
=2a
n
.
Do d
´o:
lim a
2
n+1
= 2 lim a
n
hay a
2
− 2a = 0 v`a thu du
.
o
.
.

a d˜ay
x
1
=
√
a; x
2
=

a +
√
a,...,
x
n
=

a +

a + ···+
√
a, a > 0,n dˆa
´
u c˘an.
Gia
’
i. i) R˜o r`ang: x
1
<x
2
<x

=

a +
√
a<

a +
√
a +1<

a +2
√
a +1=
√
a +1.
Gia
’
su
.
’
d
˜ach´u
.
ng minh d
u
.
o
.
.
cr˘a


a +2
√
a +1=
√
a +1.
Do d
´o nh`o
.
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctad
˜ach´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay d
˜a
cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i
√
a +1.

n−1
.
T`u
.
d
´o :
lim x
2
n
= lim(a + x
n−1
)=a + lim x
n−1
hay nˆe
´
u gia
’
thiˆe
´
t lim x
n
= A th`ı: A
2
= a + A → A
2
− A − a =0v`a
A
1
=
1+

√
1+4a
2
· 
V´ı du
.
5. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n
du
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh nhu
.
sau: a
1
l`a sˆo
´
t`uy ´y m`a
0 <a

ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
0 <a
n
< 1. (7.11)
Tac´o0<a
1
< 1. Gia
’
su
.
’
(7.11) d
˜adu
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh v´o
.
i n v`a ta

d
´o suy ra: 0 <a
n+1
< 1 ∀ n.
ii) Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
l`a d˜ay t˘ang.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı a
n
< 1nˆen2− a
n
> 1. Chia (7.10) cho a
n
ta thu
d
u
.
o
.
.

.
vˆa
.
y d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n.
Do d
´o theo di
.
nh l´y Weierstrass, lim A
n
tˆo
`
nta
.
i v`a ta k´yhiˆe
.
u n´o l`a a.
iii) T`u
.
(7.10) ta c´o:

n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
m, thˆa
.

n
n
(n +1)
n
< 1nˆena
n+1
<a
n
.
V`ı a
n
> 0nˆenn´obi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
iv`adod
´o lim a
n
tˆo
`
nta
.
i, k´yhiˆe
.
u
lim a

n
=2.
Do d
´o:
n
n
(n +1)
n
<
1
2
v`a a
n+1
<
1
2
a
n
.
Chuyˆe
’
n qua gi´o
.
iha
.
ntad
u
.
o
.

2
+3
· 2) b
n
=(−1)
n
2n
n +1
sin n. 3) c
n
= n cos πn.
H˜ay chı
’
ra d˜ay n`ao bi
.
ch˘a
.
n v`a d˜ay n`ao khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
(D
S. 1) v`a 2) bi
.
ch˘a
.
n; 3) khˆong bi
.
ch˘a

n
=
a
n−1
a + a
n−1
,... (a>1,a
0
> 0)
hˆo
.
itu
.
.
3. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
ˆay hˆo
.
itu
.
1) a
n
=
n
2
− 1
n
2
2) a

n
 2+
1
2
+
1
2
2
+ ···+
1
2
n−1
=3−
1
2
n−1
< 3.
4. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
ˆay hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
n a cu
’

a
n
=
2
n +3
< 1. (D
S. a =0)
3) a
n
=
E(nx)
n
trong d
´o E(nx) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a nx.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u