ĐỀ TÀI 5
15- Câu 1: Cho hàm z = x
2
– 2xy + 1. Tìm cực trị
Giải:
Ta có: z = x
2
– 2xy + 1 = f(x,y)
2 2 0
2 0
x
y
f x y
f x
′
= − =



′
= − =


⇒
0
0
x y
x
− =



0 ( 2)= − −
2
0
y
C f
′′
= =

4 0= − <
⇒
Tại (0,0) không có cực trị
24 - Câu 2: Cho hàm z = x
6
– y
5
– cos
2
x – 32y. Tìm cực trị.
Giải:
Ta có: z = x
6
– y
5
– cos
2
x – 32y = f(x,y)
5
4
6 2sin cos 0
5 32 0

y = −
(vô nghiệm)
Vậy hàm z không có điểm dừng
33- Câu 3: Cho hàm z = x
2
+ 4xy + 10y
2
+2x + 16y. Tìm cực trị
Giải:
Ta có: z = x
2
+ 4xy + 10y
2
+2x + 16y = f(x,y)
2 4 2 0
4 20 16 0
x
y
f x y
f x y
′
= + + =



′
= + + =


⇒

4
xy
B f
′′
= =

40 16= −
2
20
y
C f
′′
= =

24 0= >
mà
2 0A
= >
⇒
(1,-1) là điểm cực tiểu.
59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I =
∫∫
D
yxf ,(
dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi
các đường: D: x + y
≤
1, x – y
≤
1, x

⇒ =
∫ ∫
68 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I =
1
0
dx
∫
3
0
( , )
x
f x y dy
∫
.
Giải:
Ta có:
3
3
0 1
0 1
0
1
y
x
y x
y x
≤ ≤

≤ ≤


 
78 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I =
2 2
1
( , )
x
x
dx f x y dy
∫ ∫
.
Giải:
[ ] [ ]
[ ]
1 1, 1,2
2 ,2 2,4
2
D y x
y
D x
=
 
=
 
 
2 4 2
1 1 2
2
( , ) ( , )
y
y

2
1
-1
( )
( )
2
2 2
2
1
1 1
1
4 1 1
| 1 2 1
2 2 2 2
y
y
J x dy y dy y
 
   
= = − = − = − − − =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫ ∫4
4 4
2

3
y
xy
I dy y e dx=
∫ ∫
Giải:
2
1
3
0 0
3
y
xy
I dy y e dx=
∫ ∫
2
1
2
0
0
3 |
xy y
y e dy
 
=
 
∫
=
3
1 1

J e dt e e= = = −
∫
(1)
1
2 3 1
0
0
3 | 1K y dy y= = =
∫
(2)
(1)(2)
→
1 1 2I e e= − − = −
105 - Câu 8: Tính
cos
D
y
I dxdy
x
=
∫∫
D là miền giới hạn bởi
1, 2, 0,
2
x x y y
π
= = = =

Giải:
2

1
ln | ln 2x= =
115 - Câu 9: Tính tích phân:
( )
2
D
I x y dxdy= +
∫∫
D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0);
B(0,1).
Giải:
( )
( )
1 1
0 0
2
2
2
D
x y
I x y dxdy dxdy
+
= + =
∫∫ ∫∫
O
D
x
y
A(1,0)
B(0,1)

0 0
1 1 1
| | 1
2 2 2 2
y
y= + == + =
125 - Câu 10: Tính tích phân:
2 2
D
dxdy
I
x y
=
+
∫∫
trong đó D là hình tròn
2 2
9x y+ ≤
Giải:
Ta có
0 2
φ π
≤ ≤
vì
2 2
9x y+ ≤
0 3r
⇒ ≤ ≤
Ta đặt
cos

Ta có
0 1x
x y x
≤ ≤



≤ ≤


Vậy
1
0
x
D x
I dxdy dy dx
 
= =
 ÷
 ÷
 
∫∫ ∫ ∫
( )
1 1 1 1
0 0 0 0
|
x
x
y dx x x dx xdx xdx= = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

I dx dy f x y z d z dydx y dx
− −
−
= = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
O
2
D
x
yy = 2-x
O
x
y
y x=
y x
=
1
1
O
3
x
y
=
( )
2
0
4 2 4x dx− =
∫
159 - Câu 13: Tính tích phân bội ba

xy e xy xe x
dx dx xe x dx
   
− = − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
2 ln3 2 1 ln3
0
( ) | 1x e x e= − = −
= 2
170 - Câu 14: Tính
cosI xy zdxdydz
Ω
=
∫∫∫
,
Ω
là hình hộp
0 1;0 2;0
2
x y z
π
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Giải:
1 2 1 2 1 2
2
2
0
0 0 0 0 0 0 0

=
∫∫∫

Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân.
Giải:
Ta có
2 2
1 0 1x y r+ ≤ ⇒ < ≤
Đặt
cos 0 1
sin 0 2
1 4
x r r
y r
z z z
ϕ
φ φ π
= < ≤
 
 
= ⇔ ≤ ≤
 
 
= ≤ ≤
 
Vậy I =
( )
4 2 1
1 0 0
.cos , .sin ,f r r z dz d rdr

≤ ≤
 

2
1 ( ) 1 1 2
x
dl y dx dx dx
′
= + = + =
( )
1
1 1
2
0 0
0
1 2 2 (2 1) 2 0I x x dx x dx x x
 
= − + = − = − =
 
∫ ∫
211 - Câu 17: Tính tích phân đường
C
I ydl=
∫
, trong đó C có phương trình
1;0 1x y x+ = ≤ ≤
.
Giải:
Ta có:
'

0
2
1 2 2 1 2
2 2
x
I x dx x dx x
 
= − = − = − =
 
 
∫ ∫
Câu 18: Tính tích phân đường
( )
C
I x y dl= +
∫
, trong đó C là đường biên của tam giác với các
đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1).
Giải:
Ta có:
C OA AB BO
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
1
0
1
0
2
OA

∫ ∫
(3)
(1)(2)(3)
1 1
2 2 1
2 2
C
⇒ = + + = +
∫
231 - Câu 19: Tìm độ dài cung tròn
cos , sinx a t y a t= =
với
6 3
t
π π
≤ ≤
Giải:
Ta có:
cos
a sin
x a t
y t
=


=


sin
cos

3
6
6
6
L ds adt at a
π
π
π
π
π
= = = =
∫ ∫
Câu 20: Tính
2 2
( 2 ) (2 )
OA
I y xy dx xy x dy= − + −
∫
lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(1,2).
Giải:
Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx
( ) ( )
1 1
1
2 2 2 2 2 3
0
0 0
4 4 4 2 6 2 2I x x dx x x dx x dx x= − + − = = =
∫ ∫
257 - Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [-1;1] x [0;2]. Tính

( )
sin sin 0
C D
I Pdx Qdy x x dxdy= + = − + =
∫ ∫∫Ñ
267 - Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật
1 3;0 3x y≤ ≤ ≤ ≤
. Tính tích phân đường loại
2.
( ) ( )
2 2I x y dx x y dy= + + −
∫
Giải:
Áp dụng công thức Green:
Ta có
2
2
2
1
y
x
P
P x y
Q x y
Q
′
=

= +


y
⇒ + =
2 0
dy
xdx
y
⇔ + =
∫ ∫
2
ln | | 0x y⇔ + =
(nghiệm tổng quát)
397 - Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2
y y
y
x x
′
= −
Giải:
Ta có
2
y y
y
x x
′
= −
(*)
Đặt
.
y

u y
⇔ = ⇔ = +
(nghiệm tổng quát)
413 - Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
( )
( )
2
1 1 0y tgx tg x y
′
+ − + =
Giải:
Ta có:
( )
( )
2
1 1 0y tgx tg x y
′
+ − + =
(*)
Khi
1
4
tgx x
π
≠ − ⇔ ≠ −
, chia 2 vế cho
1 tgx+
(*)
( )
2

⇔ =
+
∫ ∫
1 442 4 43
(**)
(1) = ln|y|
(2) Đặt u = 1 + tgx
( )
2
1du tg x dx⇒ = +
ln | | ln |1 |
du
u tgx
u
⇒ = = +
∫
Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát:
( )
ln | | ln |1 | 1 .y tgx C y tgx C⇒ = + + ⇒ = +
425 - Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2 3xy y x
′
+ =
Giải:
Ta có:
2 3xy y x
′
+ =
(*)
Đặt

du dx
u x
u x
⇔ = ⇔ − − =
−
∫ ∫
ln |1 | 3.ln | |
y
x C
x
⇔ − = − +
(nghiệm tổng quát)
443 - Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
4 16 0y y
′′
− =
Giải:
Ta có:
4 16 0y y
′′
− =
(*)
Phương trình đặc trưng:
2
4 16 0k − =
1
2
2
2
k

− + = −
Giải:
Ta có:
( )
2 2
8 12 1
x
y y y e x
′′ ′
− + = −
(*)
Xét phương trình thuần nhất:
8 12 0y y y
′′ ′
− + =
(**)
Ta có phương trình đặc trưng:
2
8 12 0k k− + =
1
2
6
2
k
k
=

⇒

=

′ ′
+ =



′ ′ ′ ′
+ = −


( )
6 2
1 2
6 2 2 2
1 2
. . 0
6 . 2 . 1
x x
x x x
C e C e
C e C e e x
′ ′
+ =


′ ′
+ = −


Đơn giản e
2x

C x C x dx
x
′
= = − − ⇒ = − −
−
∫
( ) ( )
4
4 2 4 2
2 2
2
4
0
1 1
1
6
x
x x
x
e
C e x C e x dx
x
e
′
= = − ⇒ = −
−
∫
Thế
1
C

3
y
y x y x y
x
′
⇒ − = − +
(**)
Đặt
.
y
u y u x y u x u
x
′ ′
= ⇒ = ⇒ = +
Từ (**)
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
3u x x u x u x u x u
′
⇔ − + = − +
; đơn giản x
2
, và nhân phân phối :

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 3u u x u u u u
′

u u u
⇔ − = −
+ +
( ) ( )
2 2
2
1 1
M N
u du dx
du
x
u u u
⇔ − = −
+ +
∫ ∫ ∫
1 442 4 43 1 42 43
(***)
Tính M:
Đặt
2
2t u dt udu= ⇒ =
2
1 1 1
ln | 1| ln | 1|
2 1 2 2
dt
M t u
t
⇒ = = + = +
+

1 1 1 1 1
ln | | ln | 1| ln | | ln | 1|
2 1 2 2 2 2
dt dt
t t u u
t t
 
⇔ − = − + = − +
 ÷
+
 
∫ ∫
(2)
Thay (1) và (2) vào (***), có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1
ln | 1| ln | | ln | 1| ln | 1| ln | |
2 2 2 2
u u u u u+ − + + = + −
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là :
2 2
2 2
1
ln | 1| ln | |
2
y y
C
x x
+ = +
Câu 36: Giải phương trình

1 1
1 1
p p
dp
p
x dx x
+ +
′
⇒ = − ⇒ = −
+ +
( )
2 2
1 1
dp dx
arctgp arctgx C p tg arctgx C
p x
⇒ = − ⇒ = − + ⇒ = − +
+ +
Mà
( )
( )y p y p x dx y tg acrtgx C dx
′
= ⇒ = ⇒ = − +
∫ ∫
Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là:
( )
y tg arctgx C dx= − +
∫
HẾT