Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 1

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
(Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn)

Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
1.1 Tìm miền xác định của các hàm số:
a.
2 2 2
1
z
a x y


Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2 2 2 2 2 2
0a x y x y a      

KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
 
2 2 2
( , ):D M x y x y a  

b.

x y y x
y
y



  




  
        
  










Với

0 ( ; ] ;x x x

     


 
( , ): 0D M x y x y  

d.
u x y z  
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
0x y z   

KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
 
( , , ): 0D M x y z x y z   

1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
1.
( , ) .
x
f x y xy
y

Tính
''
(2,1) (2,1)
xy
ff

Hướng dẫn:
Ta có:
'
2


Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

'
2
2
''
2
( , ) (2,1) 0
222
yy
x
x
xy
x
y
xy x
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y






    

u
)’ = u’.e
u 
 
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
y
z e x y e ye
  
   

3.
( , ) ( 1)arcsin .
x
f x y x x
y
  
Tính:
'
(1,1)
x
f



. Khi đó ta coi x ở CT trên chính là
x
,a
ở CT trên chính là
y
. Do đó
'
1
arcsin
x
y
yx






)
Vậy
'
2
(1,1) 1
22
x
f


  


          



       
 
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
yy
f x y x y x y x y x y y x y f


          



5. Cho
lnz y x

'' '
1
0
xx x
x
xy x
y
yy y
y
y
zz
x
zz
x
zz
  



6. Cho
lntan .
y
z
x




Tìm:
''

y y y y y
x
x
x x x x x
   

   
  

   
    





Vậy:
 
 
''
'
'
2 2 2 2
'
'' '
2 4 2 4 2
2
2 2 2 2
2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2
2







7. Cho
1
ln
2
u
z
v

với
22
tan , cot .u x v x
.Tìm
'
x
z
.
Hướng dẫn:
Với
22
tan , cot .u x v x
thì
2
24
2

x
x
z x x x x
xx
   

8.
a)


22
lnz x x y  
Hướng dẫn:
Ta có:







22
'
22
2 2 2 2
22
'
22
22
2 2 2 2


  

Vậy


22
2 2 2 2
dx xdy
dz
xy
x x y x y


  
.
b)
 
cos sin
x
z e y x y
Hướng dẫn:
Ta có:
   
'
'
cos sin cos sin sin
xx
x
z e y x y e y x y y

c)
2
.
yz
ux
Hướng dẫn:
Ta có:






2 2 2 2
22
''
' 2 1 '
'
'2
, .2 .ln
. .ln
y z y z y z y z
xy
y z y z
z
u x y zx u x x yz x
u x x y x

   


31
xx
z
xx




Ta có:
''
( ; ) ( ; )
xy
dz z x y dx z x y dy

Khi đó:
'
( ; )
x
dz
z x y
dx

. Vậy:
 
'
'
22
'
2
22

.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy  




 


'
22
22
'
' 2 2
22
2 2 2 2
2
ln
x
xy
xy
x
z y x y
y x y
x y y x y




     


    

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 5

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 












 

x y y x y x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
x y x y
x y y x y x
x y y x y x y x y x x y
xy
x y y x y x y x y y x y


      



  


  

  




    
       



22
22
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xy x
y
x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
y y x y
x y x y
xy
xy y x y xy x y x x y
x y y x y x y x y y x y


   



  



y
xy
y
zz
x y x y
xy



     






''
''
''
(0,1) 1
(0,1) 0
(0,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z



2
(2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln
x
x x x x x y
z x y x y
y y y y x
   

      


   


''
'
2
(2 )ln ln ln (2 ) ln
y
x x x x x y
z x y x y
y y y y y
   

      


   





     



Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 6

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
'
'
'' '
2
2 1 2
ln
yy y
y
x x y x
zz
y y y y


     


2
2
2,1 ; 2,1 .
x
dz
x



Hướng dẫn:
Ta có:

   
       
''
' 2 2 2 2
22
2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
xy
z y x y x y y
xy

  








Vậy:
     
''
2,1 2,1 2,1 2 2 2
xy
dz z dx z dy dx dy   
.
Tính:
 
2
2
2,1 .
x
x

 
 
 

 
2
2
2,1 6
x
x



.
15. Chứng tỏ rằng hàm số
 
22
lnz y x y
thỏa mãn phương trình:
2
11z z z
x x y y y




Hướng dẫn:

Ta có:
   
       
''
' 2 2 2 2
22

Page 7

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Như vậy ta có:
 
     
2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
. ln
ln ln ln .
22
z z xy y
VT x y
x x y y x x y y x y
x y x y x y y
y y z
VP
x y y x y y y y


     

   

  

x
y
f x y x y
f x y x y
  

Nên:
 
 
'
'
0,0 0
0,0 1
x
y
f
f



Vậy
 
0,0df dy
.
Lại có:
     
2 '' 2 '' '' 2
0,0 0,0 2 0,0 (0,0)
xx xy yy
df f dx f dxdy f dy  

f f f  
.
Vậy:
 
2
0,0 0df 

25. Cho
3 2 3
( , ) .f x y x xy y  
Tính
2
( , ); ( , ).df x y df x y

Hướng dẫn:
Ta có:
''
( , ) .
xy
df x y f dx f dy

Tính:

   
   
''
' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2
' ' 2 2 2
3 ; 2 3
( , ) 3 2 3

xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x f f x y y
f f xy y x y
        
      

Vậy:
   
2 2 2
, 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy   
.

1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp.
1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi
2 2 3 3
,,x u v y u v z u v     
. Tính:
''
,
xy
zz

Hướng dẫn:
Ta có:

   
3

         

Nên ta có:

'
'3
'
'3
1 3 3 3
2 2 2 2
1 3 3
2 2 2
x
y
z x xy x y
z x xy x

     



   



2. Cho hàm hợp
 
1z xy y
(1) với
22

'
'
'' ' 2 2
0; 2 2 ;
1 2 2 2 .
xx x xy x
xy
yy y
y
z z y z z y y u v
z z xy x u v
       
     

Vậy
 
 
2 2 2 2
22dz u v dxdy u v dy   
.
3.
4.
1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học)
1.5 Tìm cực trị của các hàm số:
1.
33
3z x y xy  
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:

'' '
''
'' ' 2
2 3 ' 2
2 3 ' 3
3 3 6
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z x y
z z x y
z z y x y
   
    
   

 Ta xét hệ phương trình:
'
2
22
'
2
0
2 3 0 2 3 0
2 3 0
3 3 0
0

9
3
4
2
3
2
xy
y
x
y
y
yx



















     
'' '' ''
1 1 1
2, 3, 0.
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy: AC – B
2
= – 9 < 0.
Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại
 
1
0;0M
.
 Xét điểm
2
93
;.
42
M




     
'' '' ''
2 2 2
2, 3, 9.
xx xy yy


''
' 2 2 2 2
22
1
x
x
z x y x y
xy
       




''
' 2 2 2 2
22
1
y
y
z x y x y
xy
       
 

 
'
22
'
'' '
2 2 2 2 2 2
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xy x
y
yy y
y
xy x y
x
zz
x y x y x y
yx
zz
x y x y x y



   

  



y x y
xy






  




  
   
    















22
50 20
,
xy
z y z x
xy
   
.

   
 
''
''
'' ' '' '
2 3 2
'
'
'' '
23
50 100 50
;1
20 40
xx x xy x
xy
yy x
y
z z y z z y
x x x
z z x
yy

0
0
x
y
y
yy
y
y
z
x
xx
x
y
z
xx
x
y
yy
y



  








4
0
5
A 
.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2).
4.
( , ) .
y
f x y x y x e  
.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 11

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
' . ' 1 ; ' . ' 1 . .
y y y y
xy
f x y xe e f x y xe xe         


'
0
1
1 0 1 1
0
1
0
1 . 0 . 1
yy
x
y
yy
y
f
x
e e x
y
e
f
xe xe




   


  
   
    


Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
 
22
, : 0, 0, 1D M x y x y x y    

 Ta có:
' 2 3 ' 3 2
3 ; 3
xy
z y x y y z x x xy        
''
'' ' 2 3
36
xx x
x
z z y x y y xy        
   
''
'' ' 2 3 2 2
''
'' ' 3 2

22
22
0
1 3 0
0
0
1 3 0
1 3 0
0
30
0
0
0
30
1 3 0
1 3 0
1 3 0
1 3 0
1 3 0
x
y
xy
xy
y
y
xy
y x y
z
y x y y
x




  

   



   
   




  

  






  






0
1
11
1
0
00
2
0
1
00
1
0
11
0
1
1
1 3 0 1 3 0
2
xy
x y x y
xy
x
xx
xy
y
yy
x
x
xx
y
















   









  







Vậy hàm số đã cho có bốn điểm dừng:
   
1 2 3 4
11
(0,0); , ; 1,0 ; 0,1
22
M M M M




 Xét tại điểm
1
(0 ,0)M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0; ( ) 1; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M      

Ta thấy:
2
. 1 0AC B   
nên hàm số đạt cực trị tại
1
(0,0)M
.




.
 Xét tại điểm
 
3
1,0M
.
'' '' ''
3 3 3
( ) 0; ( ) 2; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy
2
. 4 0AC B   
nên hàm số đạt cực đại tại
 
3
1,0M
.
 Xét tại điểm
 
4
0,1M
.
'' '' ''
4 4 4


       
   
' ' ' '
'' ' 3 '' ' 3
''
'' ' 3 2
4 4 12 4; 4 4 0
8 2 24 2
xx x xy x
xy
yy x
y
f f x x x f f x x
f f y y y
        
    

 Ta xét hệ phương trình:
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 13

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
 
2

2
2
1
0
x
y
xy
x
x
x
y
x
y
x
y
xx
f
x x x
x
y
y
f
x
yy
yy
y
y
y
x
y









   

    

     


   



















0
1
1
2
x
y





















nên hàm số đã cho đạt cực đại tại
 
1
0,0M
.
 Xét tại điểm
2
1
0,
2
M



.
'' '' ''
2 2 2
( ) 4; ( ) 0; ( ) 4
xx xy yy
A f M B f M C f M       

Ta thấy
2
. 16 0AC B   
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
2
1
0,
2
M

''
''
'' ' '' '
'
'
'' '
2 2 4 2; 2 2 4 2
2 8 2
xx x xy x
xy
yy x
y
f f x y f f x y
f f x
         
   

 Ta xét hệ phương trình:
'
'
0
2 2 4 6
2 8 0 4
0
x
y
f
x y x
yy
f

.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 14

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
''
' 3 2 2 2 ' 3 2 2 2 2 2
2 5 2 2 ; 2 5 6 10
xy
f y x y y x xy x f y x y y x y x y             
 
 
 
   
''
''
'' ' '' '

6 10 0
0
6 10 0
6 10 0
2
1
2
0
1
0
2
5
3
1
x
y
x
y
x
f
xy
xy x
y
y
y x y
f
y x y
y x y
x
y






   



  


  







  












Vậy hàm số đã cho có 4 điểm dừng
     
1 2 3 4
5
0,0 ; 0, ; 2, 1 ; 2, 1 .
3
M M M M

   



 Xét tại điểm
 
1
0,0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 2; ( ) 0; ( ) 10
xx xy yy
A f M B f M C f M      

Ta thấy
2
. 20 0& 2 0AC B A    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
 

xx x xy x
xy
yy x
y
z z x y x xy z z x y x x
z z x
        
   

 Ta xét hệ phương trình:
'
2
'
3
3
0
0
3 24 0 2
80
4
0
80
80
x
y
x
z
x y x x
xy
y

Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng:
 
2, 4M 

'' '' ''
( ) 24; ( ) 12; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 15

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Ta thấy:
2
. 12 0AC B   
nên hàm số không đạt cực trị tại
 
2, 4M 
.
10.
3 3 2
3 3 3 3 1z x y x xy x y      

Hướng dẫn:
 MXĐ:
2

y
z z x x y x z z x x y
z z y x y
             
    

 Ta xét hệ phương trình:

2
'
22
'
24
1
1
0
0
3 6 3 3 0 1
0
0
0
3 3 3 0 0
1
1
x
y
x
xy
z
y

















Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
   
12
1,0 ; 0,1MM
.
 Xét tại
 
1
1,0M 
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0; ( ) 3; ( ) 0
xx xy yy

4 4 2 2
2 , 0.z x y x y xy x     

Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
 
 
'
' 4 4 2 2 3
'
' 4 4 2 2 3
2 4 2 2
2 4 2 2
x
y
z x y x y xy x x y
z x y x y xy y y x
       
              
   
' ' ' '
'' ' 3 '' ' 3
''

y y x y x y y x y



  
     

   
   
    


      
  


  
 Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 16

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com 1


 Xét tại
 
1
1,1M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 10; ( ) 2; ( ) 10
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy
2
. 98 0& 10 0AC B A    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
 
1
1,1M
.
 Xét tại
 
2
1, 1M 
.
'' '' ''
2 2 2
( ) 14; ( ) 2; ( ) 14
xx xy yy
A z M B z M C z M         

   
 
 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
''
'
' 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. . .
2 . 2 . . 2 . 1
x y x y x y
x
x y x y x y
z x y e x y e e x y
xe x x y e x e x y
     
     
   
     
   
   

     

 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2
'
'
22
2 2 2 2
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 2 .2 .
2. 4 . . 1 4
x y x y x y



 
22
.
xy
e
 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2







    


 Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 17

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
 
 
 
   
 
 
   
 
 


     

   



    







    



 
22
.
xy

 Xét hệ phương trình:  
 
 

0
xy
x
xy
y
x
y
x
xe x y
z
xy
x
xy
z
y
y e x y
xy
y
xy
xx
yy
xx
y
x
y









  
















  









































 Các điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận.
13.
 
3 2 3 2 4 2 3 3
6 6 ; 0, 0z x y x y x y x y x y x y       

Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
( , ): 0, 0D M x y x y  

 Ta có:

 
 
'
' 3 2 4 2 3 3 2 2 3 2 2 3
'
' 3 2 4 2 3 3 3 4 3 2
6 18 4 3 .
6 12 2 3 .
x
y
z x y x y x y x y x y x y
z x y x y x y x y x y x y
     
        

z z x y x y x y x x x y      
.
 Xét hệ phương trình:

 
 
22
22
'
2 2 3 2 2 3
'
3 4 3 2 3
3
0
18 4 3 0
0
18 4 3 0
18 4 3 0
0
12 2 3 0 9 2 0
0
9 2 0
0 ( )
8
9
2
9
8
2
0 ( )

  
   

    



























2
. 58104216 0AC B  
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
9
,8
2
M



.
14.
2
63z x y x y x    
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
( , ): 0D M x y y

 Ta có:

 
 
'
'2
'
'2
6 3 2 6
6 3 1

24
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z y x
z z y x
y
xx
zz
y y y
     
    

    




 Xét hệ phương trình:
'
'
2 6 0
4
2 6 0
0
2
4

  
     
   




  







Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 19

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M(4,4).
'' '' ''
11
( ) 2; ( ) ; ( )
48
xx xy yy
A z M B z M C z M        
.

 
'
'
'
' 2 2 2
2
'
'
'
' 2 2 2
. . 2 .
.

2
y y y y
x
y
y y y y
y
y
z x y e x y e e x y x e
e x y
z x y e x y e e x y e
e

      



       

22
y
xx x
x
y
y
xy x
y
y
y
y y y y
y
y
y
y
yy y
y
y
yy
z z x e
xe
z z x e
e
e
e x y e e e x y
e x y
e
e
z z e
e

0
2
2
y
x
y
y
y
yy
y
y
y
y
x
xe
z
x
x
ey
e x y
e
y
e e y
z
e
e
e




( ) 0; ( ) 2; ( )
2
xx xy yy
A z M B z M C z M
e
      
.
Ta thấy
2
1
. 0& 2 0AC B A
e
    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, –2).
16.
17.
18. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí.
19.
20.

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 20

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Gợi ý:
16. Hệ phương trình có các nghiệm là:












  



  
















xy
z
y xy y
x
z
x x xy
y
x
y









  









  


2
2
2
2
xy xy
x
xy xy
y
x
y
e x y ye
z
z
e x y xe
x
y
















'
2
'
2
3
3
3
0
0
3
9
0
3
0
3
3
x
y
x
y
z
y
x
z
x
x
y
y









.