Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN
B Ộ M Ô N T O A N C ơ B A N
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
■
T O Á N C Ạ O C Ấ P
CHO CÁC NHÀ KINH TÊ
(Phần i: Đại sô tuyên tính)
NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN
LỜI NÓI ĐẤU
Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do
Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên
soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.
Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt
môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào
Sau đại học.
Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của
giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm
tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán
phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và
đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện.
Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học
'Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.
Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh kha thiếu sót, rát mong
nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau
được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán
Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân.
ĐT/Fax: (04) 6283007.
Email: [email protected]
Xin chân thành cảm ơn!
Trường Bộ môn Toán Ca bản, ĐH KTQD.

aMx, + a,jX2 + - + a ^ x , + - + alax„ = b,
a H x 2 + - + a 2« x . + + a 2 . \ , =
ở đó, ai 5tO,Vi = l,2, ,m;m <n và aÿ=0 với i> j.
Cách giải:
+ Chọn là các ẩn chính (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng
trình); là ẩn tự do.
+ Chuyển các ẩn tự do sang VẾ phải và gán cho chiỉog nhũng giá
aị tnỳ ý:
Khi dó, la thu đuợc hẹ mới có dạng tam giác với các ẩn chinh, giải
hệ này ta đuợc:
vạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng:
(O p«i

Vì các giá trị m ì ta gán cho các ẩn tự do là tuỳ ỷ nên bệ hình
thang có vở số nghiệm .
Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình:
+ a^x,
b.
x»*l ~ a B»l> xm»2 - x« - CT|
2x, + 3 x2 - X, + x4 = 5
Xj - X, -2x„ =-2
2x, - X, = 3
Giải: Chọn x,,x2,x, là các ẩn chính; x4 là ẩn cự do, x4 * a, a e R.
Hệ phutmg trình ds cho tương dưong:
Ì
2 x, + 3 x j ’ - X, = 5 - a
Kj - X, = - 2 + 2 a
X, = 3 + a
= -8 a + 8 X, = -8 ( a-l)
Xj = ị( a + 3) + 2 a - 2 o ■ x2 = ị( 5 a - l)

b2
->
0
»'» •
a'í„ t>;
*aml a»2 •
• a^,
o
a«i
Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) bằng cách lấy dòng hai nhân với
â*
- — rồi công vào dòng i, i = 3,4, ,m.
ȇ
Cứ tiếp tục quá trình ưên ta đưa được hê phương ưìiih đã cho vé hệ
tam giác hoặc hẹ hình thang.
Trong quá trình sừ dụng các phép biến đổi tưong đương nếu thấy
trong hẹ phương trình xuất hiện phương trình dạng:
• 0x, +0x2 + + 0xn = b * 0 thì kết luận hẹ phương trình đã
cho vô nghiệm;
• 0x, + Ox, + + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này.
Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình:
X + 2 y - 3z = 1
2 x -
3y
+
z = 2
3x -
y
-
2 z = 4

Giải:
' 1 1 1 6 '
' 1 1 1 6 ^ ' 1 1 1 6 '
2 1 - 1 1
—>
0
1
1
ũ»
1
-» 0 -1 - 1 -11
,3 - ! 1 4
0 - 4 - 2 -14 0 0 10 30
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
x + y + z = 6 X = 1
-y - 3z = -1 1 o • y = 2
10z = 3 0 [z = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhát (1,2,3).
Vi dụ 5: Giải hệ phương trình:
-4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0
X, + 2x, - 2x, + X, = 0
- 2 x , + 3Xj + 7x , - 2 x4 = 0
Giải:
'-4 -1 10 -5 '
' 1
2 -2 1 '
1 2 -2 1
—►-4 -1 10
-5
,-2 3

Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau:
ix , + X , - 2 k , = - a
X, = - a - 2a - - ậ a
X, « - f a
7 x , + 2 x , = a O '
K2 = | a <=>
*2 *= -fa
[ *» ậ -«
X, = - a * - a
( 27 3 ^
Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là. I - — 0, - 0, - a ,a l , o e E .
Chú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình
ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg).
B. BỒI tập
IểĐỂb&l
Giải các bệ pbuơng trình tuyến tính sau bằng phương pháp kbử ẩn
liên úếp Gaus«:
2x+3y*5
3 x -y — 9
* +2y=4
X - 2 v * 3
2 x - y = 1
3x-3 y =5
3.
5.
7.
9.
l l ể
13.
15.

X +2y+3z « 2
12.
2x3 + X, = 1 i
2x+3y+2z =0
3 x,+ x ' =22
3x+ y +2z =4 4x, + X, =29
x ,+ k , + x, =6
x,+x,-x,+x. =-2
x, + x,+ x4 =9
X, + x4 + X| =8
14.
X,-X ,-X, J-X, = 0
X,+Xj+X,-X4 = 2
x4 + x, +Kj =7
X, -Xj +x, -X, = 4
X, - 2x, +3xj - X, =2
2x, + X, - X, +3x4 » 1
4x, -3 *j + SXj + x4 =3
16.
X, - 4 x ¡+ 6 x , - 4 Xj = - 1 0
-2x,+3x, - 4 x, + 5x4 = 7
3x, + 2X j -5 \ , - 3Xj = 7
17.
19.
X, - 2 x 2 +3X j - 4 x4 = 1
2x, - 3 x , + 4x, - x 4 = 2
3 x , - 5
x 2 + 7 x , - 5 x 4 = 3
4x ,- 6 x2 + 8x ,- 2 x4 =4
X, +3x2 -3x , - 2x< = 0

=> X + Y = (x, + y„Xj + y2, ,x„ + y„ ).
+ Phép nhân một số với véc tơ:
X = (x ,,x ,

x„), a € R.
s a x = (ax,,axj

ax„).
+ Véc tơ không:
0. = (0,0,—,0)
n
+ Véc tơ đối:
Cho véc tơ X = (x ,,x2, ,x„), ta có -X = (-x l,-x J, ,-x„).
là véc tơ đối của véc tơ X.
Tính chát:
Với X, Y, z e R’ ; a, p 6 R, ta có các tính chất sau:
* X + Y = Y + X;
* (X + Y) + Z = X + (Y + Z);
« X + 0„=X;
. X + (-X ) = 0„;
* 1.x =X;
* a(X + Y )-aX + aY ;
* (a + 0)X = aX + ßY;
* (aß )x = a(px) = ß(ax).
Ví dụ 1 : Xác dịnh véc tơ X biết
a. X = 2X, -X ,;
b. 3X - 2X, + Xj = Oj.
Giải:
-x BA-ĩ)
vty; X . 2 X . - X , w-i)

21. X = 2X, -3Xj
22. X = 3X, + 2Xj
23. 2X = 3X, +Xj
24. X = 3X, - 2Xj + 3X,
25. X = 2X, +3Xj -2X j
26. 3X-2X,-Xj+2X, = 0
với X, =(1,-2),x 2 =(-2,1).
với X, =(l,-4),X 2 =(-3,6).
với X, =(l,2),X j =(-1,4).
với X, = (l,0 ,-l),
x2 =(-2,0,2),
X, =(-1,1,0).
với X, =(1.3,—1),
X, =(-2,0,2),
X, =(-2,3,2).
với X, =(-1,1,2),
X, =(3,5,7),
X, =(2,-1,4).
n. Đáp số
21. X = (8,-7). 22. X = (-3,0). 23. x = (l,5).
24. x = (4,3,-7). 25. x = (0,0,0). 26. x = (-1,3,1)
A. Tóm tát lý thuyết và các vt dụ mẫu
Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa: Véc tơ X e R" được gọi là biểu diễn tuyến tính qua các
véc tơ n chiểu XI,X2, ,X1I1 nếu nó biểu diễn duới dạng:
x= a,x, +a,Xí + +a„X„.
ờ d ó a , , a 2 , . . . , a 111 6 R .
Vi dụ 1: Tìm X để véc tơ X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
x = (2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 =(-1,-2,-3).
Giải: Giảsửtồntại k,,kj sao cho: X = k,X |+k2X2.

0
X + 4
Hệ phương ttình tương đương với hệ phương trình ữên là:
4k, - k3 = 2
-4 k = - ị
4 2 2
0k2 = X + 4
Hệ phuơng ttình chi có ngtịiệtn khí-1 diễn
tuyến tính qua các véc tơ còn lại thì ỉ«í=>A-
Tổng quáL Để giải bài toán như trẾn la xét hê phương irình có ma trận
hệ só với các CỘI là tọa độ cấc véc tơ còn lại và CỘI he số tụ do là tọa
độ cùa véc tơ X. Nếu hệ phucmg trình này có nghiíím 'thì X biểu dién
luyến tính qua các véc lơ còn lại, ngược lại thì không.
Ví du 2: Tim X dể X biểu dién tuyén tính qua các véc tơ còn lại.
X = (X>2,5),X ,=(3,2,6), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3).
Giải: Xét hệ phưcmg trình có ma trận hệ số mở rộng sau:
'3 7 5 X'
'2 3 1 2 '
'2 3 1 2 '
2 3 1 2
6 8 3 5
-*
0-10 -1
6 * 3 5 ,
3 7 s \
1
©
'2
3 1
2 ' '2

(
k, -2 k 2-3 k, =0
-k, + k3 +2kj =0
-k j - kj =0
' 1 - 2 - 3 > 'ỉ -2 -3 '
-2 -3'
-1 1 2 -» 0 -1 -1
—>
0
1
1
©
1
1
0
1
1
0 0 0 ,
Hệ phương trình tương dương:
Jk1-2 k ,- 3 k , =0
ị - k , - k , =0
Hệ hình thang có vô sô' nghiệm. Vậy hệ véc tơ đã cho phụ thuộc
tuyến tính.
Chú ý: Để giải bài toán xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
của một hệ véc tơ, ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma
trận hệ sổ với các cột tương ứng là các véc tơ này viết theo dạng cột.
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trỄn ma trân này, nếu ma trân cuối
cùng có dạng hình thang thì
hẹ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, nếu có
dạng tam giác thì hẹ véc tơ độc lập tuyến tính.

-2 1 -3
—►
'\ -1
0 -1
2 '
1
-»
1 - 1 2 '
0 -1 1
- \ 2 X,
,0 >
X + 2 0 0 X + 3
Nếu X + 3 = 0 o X = -3 thì ma trận dạng hình thang, do đó hệ véc
ta ưén là phụ thuộc tuyến tính.
Nếu X + 3 * 0 <=> X * -3 thì ma trận có dạng tam giác nên hệ véc
tơ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 6: Chứng minh rẳng hệ véc tơ Xp X,, Xj phụ thuộc tuyến tính
mà Xj không thể biểu diễn tuyến tính qua X,,X; thì các véc tơ
X,, x : tỳ lẹ với nhau.
Giải. Do X ,,X ,,X 3 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại kr k ,,k j không
đổng thời bằng không sao cho: k,x, + k2X2 + k,X3 = 0 (*)
Mặt khác, ta có kj = 0, vì nếu k, * 0 thì từ (*) ta có :
Nghĩa là, X, biểu diễn tuyên tính qua X,, X2 mâu thuản với già
thiếl, suy ra k,x, + k ,x , =0 với k,,k, không đổng thời bằng lchồng,
» k
không mất tính tổng quát già sử k, * 0=> X, = - — X,.
*1
B. Bài tập
I. Đề bài
Tun sổ X để véc tơ X biểu diẻn tuyến tính qua các véc tơ

hệ véctơ sau:
43. Chứng minh rằng nếu hệ véc tơ độc lập tuyén
tính còn hệ véc tơ {X|t X,, ,Xk,X} với l< k ím phụ ihuộc tuyến
tính thì véc tơ X là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
II. Đáp số
27. X = -24. 28. x = 3. 29. X *12. 30. Khỏng tổn tại X.
31. Phụ thuộc. 32. Độc lập. 33. Phụ thuộc. 34. Độc lập.
35. Độc lập. 36. Phụ thuộc. 37. Độc lập. 38. Độc lập.
39. Phụ thuộc tuyến tính với X = -6.
40. Phụ thuộc tuyến tính với X = 4.
41. Phụ thuộc tuyến tính với X = -3.
42. Phụ thuộc tuyến tính VỚI X = 4.
X, = (1 2 1)
41. | x 2 =(-1,1,2)
X, = (2,-3, x)
X, = (2,-3,-2,3)
42. X, = (-3,2,1, -2)
X, = (1,-4 ,-3,X)
§4. Cơ sờ của không gian véc tơ
A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẩu
Cơ sờ của một không gian véc tơ, toạ độ của véc tơ trong một cơ sờ
+ Hệ gôm n véc tơ n chiếu, độc lập tuyến tính đuợc gọi là cơ sỡ cùa
thống gian R \
+ Nếu PpP,, ,?,, là một C<J sờ của khổng gian R" thì mọi véc tơ
X e R’ đều biểu diễn duy nhất duới dạng:
x = a ,p ,+ a 2P3+-" + a„P„ (1)
+ Bổ n sô' thực có thứ tự (a,,a 2, ,a„) thoả mãn hệ thức (1) được gọi
là toạ độ cùa véc tơ X trongcớsở PpP,, ,?,.
Chú ý: Với cơ sờ P|,P,, ,P, và véc tơ X cho tiuớc thì hê thức (1)
tương đương với hệ phương ưình tuyến lính gồm n phương trình và n

gian R“. Tun toạ độ của véc tơ X = (-5,-4,12,5) ữongcơsởđó.
Giải:
» Chứng minh hệ bốn véc tơ: p, =(o,l,3,4), Pj =(l,0,2,3)
= (“3,-2,0,-5), P4 =(4,3,-5,0) là một cơ sờ của không gian M\
Xét hệ thức:
k.P. + k^+k^ + k.P^O.
Hệ thúc trên tuơng dương với hệ phuơng trình:
kj - 3lt, + k4 = 0
k, - 2k, + k4 = 0
3k, + 2kj + k< = 0
4k, + 3kj - 5k, = 0
Giải hệ bầng phương pháp khử ẩn liên tiếp:
'0
1
1
0
-3
-2
4
3
-»
0
0
1
-2
-3
3 '
4
3 2 0 -5 3 2 0 -5
k4

Dẻ thấy hệ cố nghiệm là k, = k, = k, = k4 = 0. Suy ra hê bđn véc
tơ p, =(0,1,3,4),P2 =(1,0,2,3), p, =(-3,-2,0,-5),P4 =(4,3,-5,0) độc
lập tuyến tính. Do dó nó là cơ sở cùa khồng gian R‘.
* Toạ độ cùa véc tơ X trong cơ sờ p,, P2> p,, p, là hẹ thđng bốn sổ
thực thoả mãn hộ phương trình:
a , - 3a, + a 4 = -5
a, - 2a, + a 4 = -4
3a, + 2a; + a , = 12
4a, + 3(Xj - 5a, = 5
Giải hệ bầng phương pháp khử ân liên tiếp:
'o 1
-3
4 -5 '
'1 0 -2 3
- 4 ’
'1 0
-2
3 - 4 '
1
0
- 2
3
-4 0 1 - 3
4
-5 0
1
-3
4
-5
—» —>

0 12 -2 2
34
0 0 12
-2 2
34
0 12
-2 4
3 6 ;
0 0
- 2
2
/
Từ ma trận cuối này ta dẽ thấy hộ phương ưình đã cho có nghiệm
duy nhất là (a, = 1, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = -1). Vậy toạ độ của véc tơ X
trong cơ sờ p,, P,, p,, P4 ớ ưên là (1,2,1,-1).
Cơ sở của không gian con
Định nghĩa: Một hẹ véc tơ PpP,, ,Pr cùa không gian con L duợc
gọi là cơ sờ của nó nếu nó thoà mãn hai điều kiện sau:
i. p,,p,, ,p độc lập tuyến tính;
ii. Mọi véc tơ X e L đểu biểu diễn tuyến tính qua hệ véc to
p p p
I * 2ĩ ’ Ẻ"**T'
Chú ý: Với mỏi không gian con L, nó có thể có nhiều cơ sờ khác
nhau, luy nhiên số véc tơ ưong mỗi cơ sở đều bằng nhau. Trên cơ sớ
đó chúng ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa: Số véc tơ ưong một cơ sờ của không gian con được gọi là
số chiều của không gian con dó.
Ví dụ 3: Các tập véc tơ sau dây có phải là không gian con của khổng
gian véc tơ tương ứng hay không? Nếu đúng hãy tìm một cơ sò cùa
khòng gian con đó.