SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CAO CP (A1)
Biên son: TS. V GIA TÊ
Ths.  PHI NGA Gii thiu môn hc
0
1
2 GII THIU MÔN HC

1. GII THIU CHUNG:
Toán cao cp A1 là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh
viên các nhóm ngành thuc khi k thut.  hc tt môn Toán cao cp theo
phng thc ào to t xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa

các ni dung đó ch mang tính cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do
cu to chng trình. Vì th nu không t đc mt cách nghiêm túc các đnh
ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy rt gp
khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp.
Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 60 đn 75 tit:
Chng I: Gii hn ca dãy s.
Chng II: Hàm s mt bin s.
Chng III: Phép tính vi phân hàm s mt bin s.
Chng IV: Phép tính tích phân.
Chng V: Lý thuyt chui
2. MC ÍCH MÔN HC
Hc phn này s cung cp các kin thc v phép tính vi, tích phân ca hàm
s mt bin, s thc và phép tính vi phân ca hàm nhiu bin s. Ni dung ca
hc phn tuân th theo quy đnh v hc phn Toán cao cp A1 ca B GD-T
dành cho các Trng thuc khi ngành công ngh.
3. PHNG PHÁP NGHIÊN CU MÔN HC
 hc tt môn hc này, sinh viên cn lu ý nhng vn đ sau :
1- Thu thp đy đ các tài liu :
◊ Bài ging: Toán cao cp A1.V Gia Tê, Nguyn Phi Nga, Hc vin
Công ngh BCVT, 2005.
◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A1. V Gia Tê,
Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005.
◊ Bài ging đin t: Toán cao cp A1. Hc vin Công ngh BCVT,
2005.
Nu có điu kin, sinh viên nên tham kho thêm: Các tài liu tham kho
trong mc Tài liu tham kho  cui cun sách này.

3
Gii thiu môn hc
2- t ra mc tiêu, thi hn cho bn thân:

truyn thông khác (đin thoi, fax,...) đ trao đi thông tin hc tp.

4
Gii thiu môn hc
6- T ghi chép li nhng ý chính:
Nu ch đc không thì rt khó cho vic ghi nh. Vic ghi chép li chính là
mt hot đng tái hin kin thc, kinh nghim cho thy nó giúp ích rt nhiu
cho vic hình thành thói quen t hc và t duy nghiên cu.
7- Tr li các câu hi ôn tp sau mi chng, bài.
Cui mi chng, sinh viên cn t tr li tt c các câu hi. Hãy c gng
vch ra nhng ý tr li chính, tng bc phát trin thành câu tr li hoàn thin.
i vi các bài tp, sinh viên nên t gii trc khi tham kho hng dn,
đáp án. ng ngi ngn trong vic liên h vi các bn hc và ging viên đ
nhn đc s tr giúp.
Nên nh thói quen đc và ghi chép là chìa khoá cho s thành công ca
vic t hc!

5
Chng 1: Gii hn ca dãy s
1.
2. CHNG I: GII HN CA DÃY S

1.1 MC ÍCH
Trong nhiu vn đ lý thuyt cng nh thc t, ngi ta phi xét nhng đi
lng mà trong quá trình bin thiên đi lng đó ly nhng giá tr rt gn đn
mt hng s a nào đy. Trong quá trình này, ta gi đi lng đang xét là dn
đn a hay có gii hn là a. Nh vy đi lng có gii hn là a có th đt đc
giá tr a và cng có th không bao gi đt đc giá tr a, điu này trong quá
trình tìm gii hn không cn quan tâm đn.
Ví d:

Trong mc th hai cn hiu đc vai trò ca s phc v mt lý thuyt cng
nh ng dng sau này trong k thut. Thc cht mt s phc z là mt tng
ng 1-1 vi cp có th t các s thc (x,y). Cn phi nm vng khái nim

7
Chng 1: Gii hn ca dãy s
modul và acgumen ca s phc và các dng biu din s phc: dng đi s,
dng lng giác, dng hàm m. T đó có th làm thông tho các phép tính trên
tp C, đc bit dùng công thc Moivre trong các ng dng vào lng giác.
Trong mc th ba cn nm vng khái nim hi t, có gii hn và phân k
ca dãy s. Nm vng các tính cht: b chn, không b chn, đn điu ca dãy
s. Nh vào các tính cht này mà thit lp đc các điu kin cn, điu kin đ
đ dãy s có gii hn. Khái nim dãy con ca mt dãy s cng là mt khái nim
khó. Ngi hc phi đc k đnh ngha và c gng hình dung đ hiu rõ khái
nim này. ôi khi s hi t hay phân k ca mt dãy s có th nhn bit nh
vào tính cht ca vài dãy con. c bit phi nm đc khái nim hai dãy k
nhau đ t đó có khái nim v các đon lng nhau đc dùng trong chng minh
đnh lý Bolzano-Weierstrass.
1.2 TÓM TT NI DUNG
1.2.1 S thc
a. Các tính cht c bn ca tp s thc.
Tt c các s hu t và s vô t to thành tp hp s thc.
Kí hiu tp s thc là R. Tp s vô t là R\Q.
X Tính cht 1: Tp R là mt trung giao hoán vi hai phép cng và nhân: (R,
+ , .).
1.
RbaRbaRba ∈∈+∈∀ .,,,
2.
)().(),()(,,, bcacbacbacbaRcba
=++=++∈∀

1.,},0{\,
11**
=∃=∈∀
−−
aaaRRRa
X Tính cht 2: Tp R đc xp th t toàn phn và đóng kín đi vi các
s thc dng.
1. hoc
baRba <∈∀ ,,
ba
=
hoc
ba >
2.
bcacbaRcRba
cbcabaRcba
≤⇒≤∈∈∀
+≤+⇒≤∈∀
+
,,,
,,,

3.
+++
∈∈+∈∀ RabRbaRba ,,,

X Tính cht 3: Tp R là đy theo ngha sau đây: Mi tp con X không
rng ca R b chn trên trong R đu có mt cn trên đúng thuc R và
mi tp con không rng X ca R b chn di trong R đu có mt cn
di đúng thuc R.

++
xRxRRx

−∞=−∞=−∞
+∞=+∞=+∞
xx
xx
)()(
)()({}
0,,
**
<∈=∈∀
−−
xRxRRx

+∞=−∞=−∞
−∞=+∞=+∞
xx
xx
)()(
)()(

4.
−∞=+∞−∞=−∞+∞
+∞=−∞−∞=+∞+∞
))(())((
))(())((

bxaRxba
≤<∈=
<≤∈=
;,
;,
đc gi là các khong m
[
){ }
(
]
{}
(){
(){ }
(){
axRxa
xaRxa
bxaRxba
axRxa
xaRxa
<∈=∞−
<∈=+∞
<<∈=
≤∈=∞−
≤∈=+∞
;,
;,
;,
;,
;,
Các s thc a,b gi là các mút ca khong.


n
n
n
i
i
n
i
in
xxRx
xxRxxxxNn
yxxyRyx
=∈∀
=∈∀∈∀
=∈∀
∏∏
==
,
,,,,,,
,,
11
321
*
K

4.
xx
Rx
11
,

yxyxyxMin
yxyxyxMaxRyx
−−+=
−++=∈∀
2
1
),(
2
1
),(,,

7.
yxyxRyx −≤−∈∀ ,,

e. Khong cách thông thng trong R
X nh ngha: Khong cách trong R là ánh x

()
yxyx
RRRd
−
→×
a,
:

ó là hình nh trc quan v khong cách gia 2 đim x và y trên đng
thng trc s thc R.
X Tính cht
1.
()

≥=+= ryxz11
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Gi Acgumen ca z ,kí hiu Argz xác đnh bi s thc
Argz=
⎩
⎨
⎧
=∈∈
z
x
RR
θθθ
cos;; và
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
z
y
θ
sin
, vi
0
≠z


X Phép ly liên hp
Cho ,liên hp ca z,kí hiu
Ciyxz ∈+=
z cho bi iyxz −=
X Phép ly s phc đi
Cho z=x+iy
∈
C,s phc đi ca z, kí hiu –z (đc là tr z ) đc xác đnh:
-z = -x-iy
X Phép cng
Cho z = x+iy,z’= x’+iy’,tng ca z và z’,kí hiu z+z’ xác đnh nh sau:
z+z’=(x+x’)+i(y+y’)
X Phép nhân
Cho z=x+iy và z’=x’+iy’,tích ca z và z’,kí hiu z.z’ xác đnh nh sau:
z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y)
X Phép tr và phép chia
Là các phép tính ngc ca phép cng và phép nhân

"'."
'
)'('
zzzz
z
z
zzzz
=⇔=
−+=−

X Phép lu tha,công thc Moavr ( Moivre)
Cho

,xác
đnh nh sau: z
n
=
ς
Nu gi
ςρ
= và Φ = Arg
ς
thì hay là
⎩
⎨
⎧
+=Φ
=
πθ
ρ
kn
r
n
2
n
r
1
=
ρ
và
Φ=
n
k

k
r
n
πθπθ
ς

c. Áp dng s phc vào lng giác
X Khai trin
θθθ
tgnnn ,sin,cos

Cho .Áp dng công thc Moivre và công thc nh thc Newton
*
, NnR ∈∈
θ

()
∑
=
−
=+=+
n
k
kkknk
n
n
iCinin
0
sin.cossincossincos
θθθθθθ

θ
θ
θ
θ
4422
331
1
cos
cos
cos
sin
cos
sin
tgCtgC
tgCtgC
n
n
n
n
tgn
nn
nn
n
n

X Tuyn tính hoá
θθθθ
qppp
sin.cos,sin,cos
Cho

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ω
ωθ
1
cos2
và
()
p
p
p
i
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
ω
ωθ
1
sin2

S dng công thc nh thc Newton và xét các trng hp sau đây:


−
=
−−
−
−
−
1
0
22
)12(2
2
1
2
1
2
2
22
221
2
2
222
)(2cos
2
1
2cos
2cos2`)1(2cos22cos2
11
cos2
m
k

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
−
−=
−++−−=
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=−
∑
−
=

m
m
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
mmmm
kmCC
CmCm
CC
θθ
θθ
ω
ω
ω
ωθ
L
L

b.Trng hp
Nmmp ∈+= ,12
∑

⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
m
k
k
m
mm
m
mm
m
m
m
m
m
m
mmm
kmC
CmCm
CC
0
12

ω
ωθ
)212sin()1(12sin
sin)1(2)12sin(.2)12sin(2
11
sin)1(2
12
0
212
12
1
12
12
21
12
12
121212
kmC
CimCimi
Ci
k
m
m
k
k
m
mm
m
m
m

+
+++
∑
L
L

 tuyn tính hoá
θθ
qp
sin.cos
trc ht tuyn tính hoá tng tha s
, sau đó thc hin phép nhân ri cùng tuyn tính hoá các s hng
thu đc.
θθ
qp
sin,cos
1.2.3 Dãy s thc
a. Các khái nim c bn ca dãy s thc
X nh ngha
Mt dãy s thc là mt ánh x t N vào R,kí hiu:
RNu →:

hay đn gin nht,kí hiu (u
n
)

14
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Vi xác đnh, gi là s phn t th nNnn ∈=
0

⎛
−
+
n
n
nn
1
1,
1
,)1(),1(
1

X S hi t, s phân kì ca dãy s
1. Dãy (u
n
) hi t v
Ra
∈
nu

εε
<−⇒>∈∀∈∃>∀ aunnNnNn
n00
,,,0

Kí hiu , rõ ràng (u
au
n
n
=

AunnNnA
n
>⇒>∀∈
∃>∀
00
,,0
Kí hiu , đôi khi nói rng (u
+∞=
∞→
n
n
ulim
n
) tin ti +
∞
5. Dãy (u
n
) nhn -∞ làm gii hn nu
BunnNnB
n
<⇒>∀∈∃<∀
00
,0 .
Kí hiu
−∞=
∞→
n
n
ulim
Dãy có gii hn là +∞ hoc -∞ cng gi là phân k.

1. Dãy (u
n
) hi t thì b chn trong R.
2. Dãy (u
n
) tin đn +∞ thì b chn di.

15
Chng 1: Gii hn ca dãy s
3. Dãy (u
n
) tin đn -∞ thì b chn trên.
X Tính cht đi s ca dãy hi t
1.
auau
n
n
n
n
=⇒=
∞→∞→
limlim
.
2.
0lim0lim =⇔=
∞→∞→
n
n
n
n

u
n
) b chn
0)(lim
=⇒
∞→
nn
n
vu
.
6.
abvubvau
nn
n
n
n
n
n
=⇒==
∞→∞→∞→
)(limlim,lim
.
7.
b
a
v
u
bvau
n
n

,, nnn >
∀∃ có bua
n
≤≤ khi đó
bla ≤≤
3. Gi s 3 dãy (u
n
),(v
n
),(w
n
) tho mãn:

nnn
wvunnn
≤≤⇒>∀∃
00
, và
awu
n
n
n
n
==
∞→∞→
limlim

Khi đó
av
n

nn
uuNn ,
Dãy (u
n
) tng ngt nu
1
,
+
<∈∀
nn
uuNn .
2. Dãy (u
n
) gim nu
1
,
+
≥
∈∀
nn
uuNn ,
Dãy (u
n
) gim ngt nu
1
,
+
>
∈∀
nn

n
) gim và

0)(lim =−
∞→
nn
n
uv
nh lí: Hai dãy k nhau thì hi t và có chung mt gii hn l, ngoài ra

nnnn
vvluuNn
<≤≤≤∈∀
++ 11
,
H qu: (nh lí v các đon lng nhau)
Cho hai dãy (a
n
),(b
n
) tho mãn :
[][
nnnnnn
bababaNn ,,,,
11
⊂
]
≤∈∀
++
và

k
< ....
Gi là mt dãy con ca (u
)(
k
n
u
n
).Chng hn:
(u
2n
) và (u
2n+1
) là các dãy con ca (u
n
)

( )
2
n
u
là các dãy con ca (u
n
)
không phi là dãy con ca (u
)(
2
nn
u
−

Câu 1. S thc là gì? Nêu các tính cht ca s thc.
Câu 2. S hu t có tính đy không? Cho ví d minh ho.
Câu 3. Trc s là gì? nh ngha các loi khong s thc.
Câu 4. Tr tuyt đi ca s thc là gì? Nêu các tính cht ca nó.
Câu 5. S phc là gì? Ti sao trc hoành và trc tung có tên gi là trc
thc và trc o.
Câu 6. Nêu các dng s phc.
Câu 7. Nêu các phép tính s phc.
Câu 8. Phép khai cn s phc khác vi phép khai cn s thc  ch nào?
Câu 9. Dãy s thc là gì?
Câu 10. nh ngha s hi t ca dãy s thc. T đó có th đnh ngha v s
hi t ca dãy s phc?
Câu 11. Th nào là dãy s b chn?
Câu 12. Th nào là dãy s đn điu?
Câu 13. Dãy s hi t thì b chn có đúng không? Ngc li dãy b chn có
hi t không? Ti sao?
Câu 14. Các dãy không hi t có tính cht đi s ging nh các dãy hi t
không?
Câu 15. Nêu điu kin đ mt dãy đn điu hi t.
Câu 16. Th nào là hai dãy k nhau? Th nào là các đon lng nhau? Nêu
các tính cht ca chúng.
Câu 17. Th nào là mt dãy con? Nu dãy phân k thì các dãy con ca nó có
phân k không?
Câu 18. Phát biu đnh lý Bolzano-Weierstrass. Nu dãy không b chn thì
có th ly ra mt dãy con ca nó hi t đc không?
1.4 BÀI TP CHNG I
S THC:
Câu 1. Chng minh rng
3
là s vô t.

n
∈−
−+
=
.
Câu 4. Bng đnh ngha hãy chng minh s hi t ca các dãy cho bi s
hng tng quát tng ng và tìm gii hn ca chúng
a)
1+
=
n
n
u
n
. b)
1n4
1n
u
n
+
+
= .
c)
1
3
2
+
=
n
n

. d)
33
n1n
−+
.
Câu 6. Chng minh s hi t và xác đnh gii hn ca các dãy sau cho bi
s hng tng quát tng ng
a)
∑
=
+
n
k
kk
1
)1(
1
. b)
∑
∑
=
=
+
+
n
k
n
k
k
k

2
) = 0
Chng minh
0limlim
==
∞→∞→
n
n
n
n
vu
..
Câu 8. Cho dãy (x
n
) vi x
n
= x
n-1
+
1n
x
1
−
, x
0
= 1
a) Chng minh (x
n
) không có gii hn hu hn.
b) Chng minh .

0
> 0

19
Chng 1: Gii hn ca dãy s
a) Chng t rng a
n
>0, b
n
>0 Nn ∈∀ .
b) Biu din x
n+1
qua x
n.
c) Tính x
n+1
- x
n
và chng t rng (x
n
) đn điu. Hãy tìm x
∞
→n
lim
n
Câu 10. Chng t rng các dãy sau có gii hn hu hn
a)
22
n
n

log
2
3
log
1
2
logx
aaan
+
+++= L
, a>1.
Câu 12. Tìm gii hn ca dãy sau:
a)
1
x
2
x
1n
n
+
=
−
, x
0
= 1 .
b)
1nn
x1x
−
+=

+
=
, x
1
= 0, x
2
= 1.
f)
2
x
2
1
x
2
1n
n
−
+=
, x
1
=
2
1
.
g)
1n
2
1n
n
x2

x
lim
+
∞→
.

20
Chng 1: Gii hn ca dãy s
S PHC
Câu 1. Cho E,F,G,H , xác đnh bi các h thc sau:
2
R⊂
E:
22
22
yx
x
yx
+
=−
. F: 3
yx
y
xy2
22
=
+
+ .
G: x
3

3
),,( Czyx ∈

xzzxzyyyzxx
zyx
⎩
⎨
⎧
+−=+−=+− 2)1(2)1(2)1(
,,

Khác nhau tng đôi mt
Câu 4. Gii h phng trình vi n
3
C)z,y,x(
∈

xy = z , yz = x , zx = y.
Câu 5. Cho ánh x f: tho mãn CC →

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
∈∀
=∈∀


Câu 8. Vi (a,b,c) tho mãn
3
C∈
1ccbbaa ===
và a+b+c = 0. Chng
minh a
3
= b
3
=c
3

Câu 9. Chng minh
2
C)'z,z(
∈∀

a.
)'zz(2'zz'zz
2222
+=−++
(Hng đng thc hình bình hành).
b.
)'z1)(z1('zz1'zz
222
2
+
+=−++
.

.Chng minh
∑∑
==
=
n
k
k
n
k
k
zz
11
khi và ch
khi , Cu ∈
∃ nkuR
k
n
n
,1,.z ,),...,(
k1
==∈∃
+
ααα

Câu 11. Chng minh
2
C)b,a(
∈∀

a.

z
2
∈
+
.
Câu 14. Tính 2zzSup
3
1z
+−
=

Câu 15. Vi R
a ∈ ,n (x,y) . Tìm nghim ca h
2
R∈

⎩
⎨
⎧
=++++
=++++
0)yasin()xasin(asin
0)yacos()xacos(acos

Câu 16. Gii các phng trình sau trên trng s phc:
a. z
2
- 2zcos
θ +1 = 0 , R∈θ .
b. z

2
xz
zy
yx
Câu 18. Chng minh vi R∈
α
a.
α
α
α
α
itgn1
itgn1
)
itg1
itg1
(
n
−
+
=
−
+
.
b. z
m
+ z
-m
= 2cosm nu α
αcos2

n
nk
ikx
n
e)x(A
∑
=
=
n
0k
kn
)x(A)x(B
1.5 HNG DN VÀ ÁP S BÀI TP CHNG I
S THC
Câu 2. Rút gn v dng toàn phng bng phng pháp Gauss
a. (0,0,0).
b. ( 3z,
z
2
3
,z) , z hoc (6t, 3t, 2t) ,t
R∈
R∈
.
Câu 3. Không tn ti InfE , SupE = -1 = MaxE
Câu 4. a) 1; b)
4
1
; c) 0 ; d) 0
Câu 5. a)

=
2x
)x3)(x3(
n
nn
+
+−

Bng qui np chng minh:
* Nu x
0
<
3
thì (x
n
) tng và x
n
<
3

n∀
. Qua gii hn s có x
n
3→

* Nu x
0
>
3
thì (x

0
,b
0
.

23
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Câu 10.
a) Rõ ràng x
n
< x
n+1
và x
n
< 1n >∀<−=
−
+++ ,2
n
1
2
n)1n(
1
2.1
1
1 L

b) Tng t a)
Câu 11. a) x
n
>

n,
2x
2x
1n
1n
∀
+
−
−
−

Suy ra : (x
2n
) tng và b chn trên bi s 2.
(x
2n+1
) gim và b chn di bi s 2.
Lý lun s nhn đc
2xlim
n
n
=
∞→

b) Qui np s nhn đc dãy (x
n
) đn điu gim và b chn di bi s 0,
suy ra
, ta có a
0axlim

nn
xx
xx
++
−
−
−

Vy (x
n
) đn điu gim và b chn di do đó
)53(
2
1
axlim
n
n
−
−==
∞→

d) Bng qui np chng minh x
n
< x
n+1
và x
n
<
1+a
n

- x
1
=
2
1
(x
0
- x
1
), x
3
- x
2
=
2
1
(x
1
- x
2
), ...
Bng qui np chng minh x
k
- x
k-1
=
2k ,
2
)1(
2

1
2
2
2 −
−
−
+++−
n
n

=
3
2
(x
2
- x
1
) - (-1)
n-2
2n
12
2.3
xx
−
−
x
n
=
2n
12

n
< 1
n∀
==
∞→
ax
n
n
lim
22
1
2
a
+

g) x
n
=
n ,5)
5
(
2
1
1
1
∀≥+
−
−
n
n

y
3)
2222
+
+
=
+
i
z
z 3
1
2
+=⇔HGyx
yxyx
yxyx
∩∈⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=+−
⇔ ),(
033
133
32

ε

Xét (x,y) ,f(x+iy) = f(x) +f(iy) = f(x) + f(i)f(y) = x + iy
2
R∈
ε
Kim tra f(z) = z hoc f(z) =
z tho mãn.
Câu 6. z =
i
2
1
8
3
−25
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Câu 7. z
iRR ∪
∈
Câu 8.
)(0
111
0
2
cbaa
abc
abcabc

và b =
2
a
a

b) a = 0 hoc b =0 đúng
Xét : t u =
0,0 ≠≠ ba
b
b
v,
a
a −
=
. Bt đng thc đã cho tng
đng vi

vuv
ba
b
u
ba
a
+≥
+
+
+ 2
1

Kí hiu

)cb)(ad(
cb
1
cb
ad
2
−
−
−
=
−
−
thun o
)cb)(ad( −−⇒
thun
o.
Mt khác ta có s thun o s = ( b
)acca)(cbbc)(baa −−−

=
))(())(())(( bacdacbdcbad −−+−−+−−

Suy ra điu phi chng minh.
Câu 13. a) ng tròn tâm
)
3
4
,0(
và bán kính
3