BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
CHƯƠNG I
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
BÀI TẬP:
1. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; (tính theo )
Giải:
Ta có: ;
⇒
= = =
2. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
3. Cho hàm f(x, y) = .Tìm ;
4. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
5. Cho hàm:
Page 1
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
f(x, y) = .
Tìm ; ;
Do: 6. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:
a. B = cos29
o
.tg137
o
b. C = sin32
o
.cotg133
o
c. D = cos28

⇒
&
Ta có:
f(x, y) = sinx.cotgy
• = cosx.cotgy
⇒
•
⇒
⇒
=
⇒A

c. D = cos28
o
.cotg136
o
Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.cotgy
Lúc này:
Page 3
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
⇒
&
Ta có:
f(x, y) = cosx.cotgy
• = sinx.cotgy
⇒
•
⇒
⇒

Ghic chú: N thì kết luận ngay P(0, 0) là điểm cực đại.
2. f(x, y) = xy
2
(2 – x – y) với
•
Tìm điểm dừng:
Ta có &
Nên: (*)
Giải hệ (*), ta có 3 cặp nghiệm:
Page 5
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
(loại) ; (loại);
Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P
•
Tính đạo hàm riêng cấp 2:
•
Tại điểm dừng P , ta đặt:

= B
2
– AC = < 0
mà A = < 0
Kết luận: P là điểm cực đại của f với:
f
max
= f =
3. f(x, y) =
•
Tìm điểm dừng:

2
+ 4y
2
= 25
Giải:
f(x, y) = 2x
2
+ 12xy + y
2
với điều kiện: x
2
+ 4y
2
= 25
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:
L(x, y) = f(x, y) +
= 2x
2
+ 12xy + y
2
+ (x
2
+ 4y
2
– 25)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(Không giải được hệ pt)

L(x, y) = f(x, y) +
= x
2
+ 12xy + 2y
2
+ (4x
2
+ y
2
– 25)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(Không giải được hệ pt) CHƯƠNG 2
TÍCH PHÂN BỘI
Page 8
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
BÀI TẬP:
Tính các tích phân kép:
D:
nên:
Đặt: y = x

(do phương trình:

Lúc này: D:
?????????????
Đổi biến: D:
Page 11
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
y
x y
y = x
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Lúc này: D:
Đổi biến: D:

(*)

(**)
Kết hợp(*) với (**) :
Lúc này: D:
Page 12
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
x

y
x
y = x
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

2
x1
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Suy ra:

= 8
Ta có phương trình tham số của :
•
r = 2

•
Mặt khác, ta có:

Suy ra:
Page 15
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
x
y
2
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.Ta có phương trình tham số của :
•
r = 1

•
Mặt khác, ta có:

Suy ra:

t + sin
2
t) + 1 (cos
2
t + sin
2
t = 1)
6
Do đó:
Page 17
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Page 18
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.