Bài tập toán cao cấp
Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
Mu
.
clu
.
c
7 Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
a trˆen c´ac
di
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
atrˆend
iˆe
`
u
`
u
kiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y hˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
.
tbiˆe
´
n60
8.1 D
-
a
.
oh`am 61
8.1.1 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
p1 61
8.1.2 D
-
a
.
o h`am cˆa
´
pcao 62
8.2 Viphˆan 75
8.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 75
2MU
.
CLU
’
vi 84
8.3.2 Khu
.
’
c´ac da
.
ng vˆo di
.
nh. Quy t˘a
´
c Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆong th´u
.
cTaylor 96
9Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 109
9.1 D
-
a
.
oh`amriˆeng 110
9.1.1 D
-
a
.
´
pcao 113
9.2 Vi phˆan cu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 125
9.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 126
9.2.2
´
Ap du
.
ng vi phˆan d
ˆe
’
t´ınh gˆa
`
nd´ung . . . . . . . 126
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 Vi phˆan cˆa
´
pcao 127
.
c´o d
iˆe
`
ukiˆe
.
n 146
9.3.3 Gi´a tri
.
l´o
.
n nhˆa
´
tv`ab´e nhˆa
´
tcu
’
a h`am . . . . . . 147
Chu
.
o
.
ng 7
Gi´o
.
iha
.
nv`aliˆen tu
.
ccu
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac d
i
.
nh l´y vˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
d
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`adu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l ´y h ˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n. 51
4Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng:
a
1
,a
2
, ,a
n
, (7.1)
ho˘a
.
c {a
n
}, trong d´o a
n
= f(n), n ∈ N du
.
o
.
i) D˜ay (7.1) du
.
o
.
.
cgo
.
il`abi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u ∃M ∈ R
+
: ∀n ∈ N ⇒|a
n
|
M; v`a go
.
i l`a khˆong bi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u: ∀M ∈ R
+
: ∃n ∈ N ⇒|a
n
.
ncu
’
a d˜ay (7.1) nˆe
´
u:
∃ε>0, ∀N : ∃n N ⇒|a
n
− a| ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o
.
iha
.
nd
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay hˆo
.
itu
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho
| >Av`a viˆe
´
t
lim a
n
= ∞.
vi) Diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
l`a d˜ay d´o pha
’
ibi
.
ch˘a
.
n.
Ch´u´y:i) Hˆe
.
th ´u
.
c (7.2) tu
ng to
’
r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ha
.
ng v´o
.
ichı
’
sˆo
´
n>Ncu
’
a d˜ay
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
un˘a
`
m trong khoa
’
ha
.
ng cu
’
a n´o tr`u
.
ra mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
ha
.
ng dˆe
`
un˘a
`
m trong ε-lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`yb´ebao
nhiˆeu t`uy ´y cu
’
ad
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o
.
iha
.
n.
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n
Dˆe
’
ch´u
.
ng minh lim a
n
= a b˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng d
ud´o c ´o l o
.
.
i) sao cho |a
n
− a| b
n
∀n v`a
v´o
.
i ε du
’
b´e bˆa
´
tk`ybˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh dˆo
´
iv´o
.
i n:
b
n
<ε (7.5)
c´o thˆe
’
V´ı du
.
1. Gia
’
su
.
’
a
n
= n
(−1)
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
i) D˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
ii) D˜ay a
n
khˆong pha
’
il`avˆoc`ung l´o
.
hiˆe
.
u n = 2([M]+1)b˘a
`
ng
n v`a l´o
.
nho
.
n M.Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
6Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
.
isˆo
´
hiˆe
.
ule
’
d
ˆe
`
u thuˆo
.
c khoa
’
ng (−2, 2) v`ı khi n le
’
th`ı ta c´o:
n
(−1)
n
= n
−1
=1/n ∈ (−2, 2).
Nhu
.
vˆa
.
y trong kho
’
ng ( −2, 2) c´o vˆo sˆo
´
d
ˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
1) lim
n→∞
(−1)
n−1
n
=0. 2) lim
n→∞
n
n +1
=1.
Gia
’
i. D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh d˜ay a
n
c´o gi´o
.
N (N phu
.
thuˆo
.
c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a
n
−a| <ε. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta
c´o thˆe
’
chı
’
ra cˆong th´u
.
ctu
.
`o
.
ng minh biˆe
’
udiˆe
˜
n N qua ε.
1) Ta c´o:
|a
n
− 0| =
n
<ε⇔ n>
1
ε
·
V`ıthˆe
´
ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao d´o tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n:
N>
1
ε
⇒
1
N
<ε.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
7
Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim
n→∞
(−1)
n
n
=0.
2) Ta lˆa
´
ysˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`yv`at`ımsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N(ε) sao cho ∀n>
N(ε) th`ı:
n
N(ε) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a
1
ε
− 1, t´u
.
c l`a:
N(ε)=E((1/ε) −1).
Khi d
´ov´o
.
imo
.
i n N ta c´o:
n
n +1
− 1
=
1
n +1
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
d˜ay (7.6) hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y ε =1.
Khi d´o theo di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ntˆo
`
nta
.
isˆo
´
.
ch˘a
.
n.
2) C´ach 1. Gia
’
su
.
’
d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y lˆan
cˆa
.
n
a −
1
2
,a+
’
a h`am sˆo
´
V`ıdˆo
.
d`ai cu
’
a khoa
’
ng
a −
1
2
,a+
1
2
l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hai diˆe
’
m −1
v`a +1 khˆong thˆe
’
dˆo
`
ng th`o
.
i thuˆo
.
n
a −
1
2
,a+
1
2
c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.
ng cu
’
ad˜ayv`av`ıthˆe
´
(xem ch´u
´yo
.
’
trˆen) sˆo
´
a khˆong thˆe
’
l`a gi´o
.
, |−1 −a| <
1
2
⇒2=|(1 − a)+(1+a)| |1 − a| + |a +1|
1
2
+
1
2
=1
⇒2 < 1, vˆo l´y.
3) Lu
.
u´yr˘a
`
ng v´o
.
i n =2m ⇒ a
2m
=1+
1
2m
.Sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
v´o
.
Nˆe
´
usˆo
´
a n`ao d
´o l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay(a
n
) th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u n`ao
d´o ( a
n
) tho
’
a m˜an bˆa
´
ugi˜u
.
a hai sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
nhau bˆa
´
tk`ycu
’
ad˜ayd˜a cho luˆon luˆon
l´o
.
nho
.
n1. Diˆe
`
u mˆau thuˆa
˜
n n`ay ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng khˆong mˆo
.
tsˆo
P
H˜ay su
.
’
du
.
ng di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ndˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
2n − 1
2n +2
|a
n
− 3/5| < 0, 01 (DS. N =5)
3. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
3
n
+1
3
n
.
4. lim
n→∞
cos n
n
=0.
5. lim
n→∞
2
n
+5· 6
n
3
=
n
2
−2
2n
2
− 9
.
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim
n→∞
n
2
+2n +1+sinn
n
2
+ n +1
=1.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
=(−1)
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=0, 22 2=
2
10
+
2
10
2
+ ···+
2
10
n
(DS. lim a
n
=2/9)
10 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=
2
10
+
3
10
2
+
3
10
3
+ ···+
3
10
n
(D
S. 7/30)
13. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
i) lim
n→∞
n
2
n
=0.
ii) lim
n→∞
n
a
n
=0 (a>1).
Chı
’
dˆa
˜
n. i) Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c:
.
ng tu
.
.
nhu
.
i). Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c:
a
n
=[1+(a −1)]
n
>
n(n − 1)
2
(a − 1).
15. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim a
t´ınh a
n
rˆo
`
i
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 2|.
16. Biˆe
´
tr˘a
`
ng d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
n, c`on d˜ay b
n
khˆong c´o gi´o
`
nta
.
i. H˜ay ch´u
.
ng minh.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
11
ii) C´o thˆe
’
g˘a
.
pca
’
hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o gi´o
.
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
c´ac di
.
nh l´yvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Dˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha
lim a
n
= a, lim b
n
= b.
i) lim(a
n
± b
n
)=lima
n
± lim b
n
= a ± b.
ii) lima
n
b
n
= lim a
n
· lim b
n
= a · b.
iii) Nˆe
´
u b = 0 th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
b
·
iv) Nˆe
´
u lim a
n
= a, limb
n
= a v`a b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
mˆo
.
tsˆo
´
hiˆe
.
u n`ao d
´o
a
n
z
n
b
n
th`ı lim z
n
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u α
n
l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α
n
=0th`ıd˜ay
1
α
n
l`a vˆo c`ung l´o
.
n.
Nhˆa
.
nx´et. D
ˆe
’
´ap du
.
ng d´ung d˘a
´
.
ng du
.
o
.
.
cnˆe
´
u
tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
khˆong c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n ho˘a
.
cmˆa
˜
ng,
ch˘a
’
ng ha
.
nb˘a
`
ng c´ach chia ho˘a
.
c nhˆan tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
v´o
.
ic`ung mˆo
.
t
biˆe
’
uth´u
.
c.
12 Chu
.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta cˆa
`
n pha
’
ibiˆe
´
nd
ˆo
’
i c´ac biˆe
’
uth´u
.
c a
n
± b
n
v`a
a
n
·b
n
tru
´
u:
1) a
n
=(1+7
n+2
)/(3 − 7
n
)
2) a
n
=(2+4+6+···+2n)/[1+3+5+···+(2n + 1)]
3) a
n
= n
3
/(1
2
+2
2
+ ···+ n
2
)
Gia
’
i. Dˆe
’
gia
’
i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe
−n
+7
2
3 · 7
−n
−1
Do d´o
lim a
n
= lim
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1
= −49 v`ı lim 7
−n
=0,n →∞.
2) Tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
dˆe
1
2
+2
2
+ ···+ n
2
=
n(n + 1)(2n +1)
6
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
13
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
6n
3
n(n + 1)(2n +1)
= lim
6
(1+1/n)(2 + 1/n)
=3.
V´ı du
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
dˆe
`
ul`acˆa
´
psˆo
´
nhˆan nˆen
1+
1
2
+ ···+
1
2
n
=
2(2
n
−1)
2
n
,
1+
− 1
2
n
·
2
3
lim
3
n
3
n
− 1
= 2 lim[1 − (1/2)
n
] ·
2
3
lim
1
1 − (1/3)
n
=2·1 ·
2
3
· 1=
4
3
·
V´ı du
.
1) Ta biˆe
´
ndˆo
’
i a
n
b˘a
`
ng c´ach nhˆan v`a chia cho da
.
ilu
.
o
.
.
ng liˆen ho
.
.
p
a
n
=
(
√
n
2
+ n − n)(
√
n
2
14 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
2) Biˆe
´
ndˆo
’
i a
n
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
1) ta c´o:
3
√
n
2
a
n
=
2
3
√
n +2
2
+
3
√
n +2·
3
√
n +
3
√
n
2
Biˆe
’
t n =
3
√
n
3
v`a ´ap du
.
ng cˆong th´u
.
c:
a
3
+ b
3
=(a + b)(a
2
− ab + b
2
)
suy ra
a
n
=
3
√
n
2
− n
3
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=
n
2
3
√
n
2
− n
3
2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=
n
=
n
√
n
2
+1
,
c
n
=
1
√
n +1
+
1
√
n
2
+2
+ ···+
1
√
n
2
+ n
·
Gia
’
i. D
´
15
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
lim b
n
=1.
D
ˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c
n
ta s˜e ´ap du
.
ng Nguyˆen l´ybi
.
ch˘a
.
n hai ph´ıa.
+1
= b
n
nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
c
n
>
1
√
n
2
+ n
+
1
√
n
2
+ n
+ ···+
1
√
n
2
+ n
= a
n
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay (q
n
) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
|q| > 1. Ta lˆa
´
ysˆo
´
A>0bˆa
´
tk`y. T`u
.
d˘a
’
ng th ´u
.
n
=
1
q
n
−1
.V`ı
1
q
> 1nˆen
d˜ay
1
q
n
l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n v`a do d´o d˜ay
.
P
T`ım gi´o
.
iha
.
n lim
n→∞
a
n
nˆe
´
u
1. a
n
=
n
2
−n
n −
√
n
.(DS. ∞)
2. a
n
= n
2
(n −
√
n
n cos n
n +1
.(DS. 0)
5. a
n
=
5n
n +1
+
sin n
n
.(DS. 5)
6. a
n
=
n
3
n
2
+1
−
3n
2
3n +1
.(DS. 1/3)
7. a
n
=
n
n +11
(−1)
n
5
√
n +1
.(D
S. 0)
11. a
n
=
√
n
2
+1+
√
n
3
√
n
3
+ n −
√
n
.(DS. +∞)
12. a
n
=
3
√
1 − n
= n −
3
√
n
3
− n
2
.(DS.
1
3
)
17. a
n
=
1 − 2+3− 4+5−···−2n
√
n
2
+1+
√
4n
2
+1
.(D
S. −
1
3
)
18. a
n
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
17
19. a
n
=1−
1
3
+
1
9
−
1
27
+ ···+
(−1)
n−1
3
n−1
.(DS.
3
4
)
20. a
n
=
+
1
√
3+
√
5
+ ···+
1
√
2n − 1+
√
2n +1
Chı
’
dˆa
˜
n. Tru
.
c c˘an th´u
.
co
.
’
mˆa
˜
usˆo
´
c´ac biˆe
’
uth´u
.
chˆe
´
ttach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1
n(n + 1)(n +2)
=
1
2
1
n(n +1)
−
1
(n + 1)(n +2)
(D
S.
1
4
)
24. a
n
=
1
a
.
i cˆong sai d =0,a
n
=0.
25. a
n
=(1− 1/4)(1 −1/9) ···(1 −1/(n +1)
2
). (DS.
1
2
)
Chı
’
dˆa
˜
n. B˘a
`
ng quy na
.
p to´an ho
.
cch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng a
n
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo
´
a
n
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe
´
u a
n+1
>a
n
∀n
ii) D˜ay gia
’
mnˆe
´
u a
ndiˆe
.
u bao gi`o
.
c˜ung bi
.
ch˘a
.
n ´ıt nhˆa
´
t l`a mˆo
.
tph´ıa. Nˆe
´
u d˜ay
18 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
do
u gia
’
mth`ıbi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u. Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
thu
.
`o
.
ng du
.
o
.
.
csu
.
.
itu
.
.
Di
.
nh l´y n`ay kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a gi´o
.
iha
.
n m`a khˆong chı
’
ra d
u
.
’
a d˜ay tˆo
`
nta
.
i, c´o thˆe
’
chı
’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe
.
c t´ınh to´an thu
.
`o
.
ng du
.
.
a trˆen d˘a
’
ng th´u
.
cd´ung v´o
.
imo
.
nlo
.
.
iho
.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng c´ach cho d˜ay b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c truy hˆo
`
i.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
.
u t˘ang. Thˆa
.
tvˆa
.
yv`ı:
a
n+1
= a
n
+
1
5
n+1
+1
nˆen a
n+1
>a
n
.
D˜ay d
˜a cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
a
=
1
5
−
1
5
n+1
1 −
1
5
=
1
4
1 −
1
5
n
<
1
4
·
Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
d˜achodo
n
=
2
n
n!
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. D˜ay d
˜a cho c´o da
.
ng
2
1
,
2
2
2
, ,
=
2
n +1
< 1 ∀n>1.
Do d´o a
n+1
<a
n
v`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i phˆa
`
ntu
.
’
a
1
. Ngo`ai ra
a
n
> 0, ∀n nˆen d˜ay bi
.
ch˘a
.
ndu
’
a n´o.
Ta c´o:
a
n+1
a
n
=
2
n +1
⇒ a
n+1
=
2
n +1
a
n
.
T`u
.
d´o
lim a
n+1
= lim
2a
n
n +1
= lim
2
n +1
.
i
tu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Gia
’
i. Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng: a
1
<a
2
<a
3
< ···<.D´o l`a d˜ay do
.
ndiˆe
.
u
t˘ang v`a bi
.
.
y
a
1
=
√
2; a
2
=
√
2a
1
<
√
2 · 2=2.
Gia
’
su
.
’
d˜ach´u
.
ng minh du
.
o
.
.
cr˘a
`
ng a
quy na
.
p ta c´o a
n
2 ∀n.
Nhu
.
thˆe
´
d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n nˆen n´o c´o gi´o
.
iha
.
nd
´o
l`a a.
Ta c´o:
a
n+1
o
.
ndiˆe
.
u t˘ang ∀n nˆen gi´o
.
iha
.
n a =2.
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh t´ınh hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay
x
1
=
√
a; x
2
˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´u
.
ng minh d˜ay x
n
l`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
1
=
√
a<
√
a +1
x
2
=
a +
√
a<
a +
`
nch´u
.
ng minh x
n+1
<
√
a + 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
n+1
=
√
a + x
n
<
a +
√
a +1<
a +2
√
a +1=
√
a +1.
Do d´o nh`o
21
iii) Dˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ntax´et hˆe
.
th ´u
.
c x
n
=
√
a + x
n−1
hay
x
2
n
= a + x
n−1
.
T`u
.
d´o :
lim x
2
n
2
·
V`ı A
2
< 0 nˆen gi´a tri
.
A
2
bi
.
loa
.
iv`ıx
n
> 0.
Do d´o;
lim x
n
=
1+
√
1+4a
2
·
V´ı d u
.
5. T`ım gi´o
.
iha
.
ˆa
`
u tiˆen ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
bi
.
ch˘a
.
n, m`a cu
.
thˆe
’
l`a b˘a
`
ng
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
0 <a
n
)
2
.
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c n`ay suy ra 0 < (1 − a
n
)
2
< 1, v`ı 0 <a
n
< 1.
T`u
.
d
´o suy ra: 0 <a
n+1
< 1 ∀n.
ii) Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
T`u
.
d
´o a
n+1
>a
n
∀n.Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
t˘ang nˆen
a =1=lima
n
.
V´ı d u
.
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
n!
n
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
n
n
·
n
n
(n +1)
n
=
n
n
(n +1)
n
a
n
v`ı
n
n
(n +1)
n
< 1nˆena
n+1
<a
n
.
V`ı a
n
> 0nˆenn´obi
.
ch˘a
.
n +1
n
n
=
1+
1
n
n
1+
n
n
=2.
Do d´o:
n
n
(n +1)
n
<
1
2
v`a a
n+1
<
1
2
a
’
a d˜ay sˆo
´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo
´
:
1) a
n
=
5n
2
n
2
+3
· 2) b
n
=(−1)
n
2n
n +1
sin n. 3) c
n
= n cos πn.
H˜ay chı
’
ra d˜ay n`ao bi
.
ch˘a
.
a
1
a + a
1
,a
3
=
a
2
a + a
2
, ,
a
n
=
a
n−1
a + a
n−1
, (a>1,a
0
> 0)
hˆo
.
itu
.
.
3. Ch´u
.
ng minh c´ac d˜ay sau d
.
ndu
.
o
.
.
csuyt`u
.
n! 2
n−1
v`a do d´o
a
n
2+
1
2
+
1
2
2
+ ···+
1
2
n−1
=3−
1
2
n−1
< 3.
4. Ch´u
n
=
2
n
(n + 2)!
Chı
’
dˆa
˜
n.
a
n+1
a
n
=
2
n +3
< 1. (DS. a =0)
3) a
n
=
E(nx)
n
trong d´o E(nx) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a nx.
Chı
’
ncu
’
an´o
(a>1).
Copyright: Tài liệu đại học ©