7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
15
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
lim b
n
=1.
D
ˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c
n
ta s˜e ´ap du

+1
=
n
√
n
2
+1
= b
n
nhu
.
ng m˘a
.
t kh´ac:
c
n
>
1
√
n
2
+ n
+
1
√
n
2
+ n
+ ···+
1

c
n
=1. 
V´ı du
.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay (q
n
) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nnˆe
´
u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
|q| > 1. Ta lˆa
´
ysˆo
´
A>0bˆa
´

2) Gia
’
su
.
’
|q| < 1, q = 0. Khi d´o q
n
=

1
q

n

−1
.V`ı



1
q



> 1nˆen
d˜ay


1
q


B
`
AI T
ˆ
A
.
P
T`ım gi´o
.
iha
.
n lim
n→∞
a
n
nˆe
´
u
1. a
n
=
n
2
−n
n −
√
n
.(DS. ∞)
2. a

.(D
S. 1/6)
4. a
n
=
√
n cos n
n +1
.(DS. 0)
5. a
n
=
5n
n +1
+
sin n
n
.(DS. 5)
6. a
n
=
n
3
n
2
+1
−
3n
2
3n +1

1
2
)
10. a
n
=
(−1)
n
5
√
n +1
.(D
S. 0)
11. a
n
=
√
n
2
+1+
√
n
3
√
n
3
+ n −
√
n
.(DS. +∞)

=
2+4+···+2n
n +2
− 2. (DS. −1)
16. a
n
= n −
3
√
n
3
− n
2
.(DS.
1
3
)
17. a
n
=
1 − 2+3− 4+5−···−2n
√
n
2
+1+
√
4n
2
+1
.(D

−
1
n +1
(DS. 1)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
17
19. a
n
=1−
1
3
+
1
9
−
1
27
+ ···+
(−1)
n−1
3
n−1
.(DS.


1
√
1+
√
3
+
1
√
3+
√
5
+ ···+
1
√
2n − 1+
√
2n +1
Chı
’
dˆa
˜
n. Tru
.
c c˘an th´u
.
co
.
’
mˆa

’
dˆa
˜
n. Tru
.
´o
.
chˆe
´
ttach´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1
n(n + 1)(n +2)
=
1
2

1
n(n +1)
−
1
(n + 1)(n +2)

(D
S.
1
4

´
psˆo
´
cˆo
.
ng v´o
.
i cˆong sai d =0,a
n
=0.
25. a
n
=(1− 1/4)(1 − 1/9) ···(1 − 1/(n +1)
2
). (DS.
1
2
)
Chı
’
dˆa
˜
n. B˘a
`
ng quy na
.
p to´an ho
.
cch´u
.

ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo
´
a
n
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe
´
u a
n+1
>a
n

u´y
r˘a
`
ng d˜ay d
o
.
ndiˆe
.
u bao gi`o
.
c˜ung bi
.
ch˘a
.
n ´ıt nhˆa
´
t l`a mˆo
.
tph´ıa. Nˆe
´
u d˜ay
18 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu

a n´o, d˜ay
do
.
nd
iˆe
.
u gia
’
mth`ıbi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u. Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
thu
.
`o
.
ng du

.
u v`a bi
.
ch˘a
.
n th`ı hˆo
.
itu
.
.
Di
.
nh l´y n`ay kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a gi´o
.
iha

´
t gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay tˆo
`
nta
.
i, c´o thˆe
’
chı
’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe
.
c t´ınh to´an thu
.
`o
.
ng du
.
.
a trˆen d˘a

’
ng th´u
.
cv`u
.
a n ˆe u t i ˆe
.
nlo
.
.
iho
.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng c´ach cho d˜ay b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c truy hˆo
`
i.
C
´
AC V
´

’
i. D˜ay d
˜achodo
.
ndiˆe
.
u t˘ang. Thˆa
.
tvˆa
.
yv`ı:
a
n+1
= a
n
+
1
5
n+1
+1
nˆen a
n+1
>a
n
.
D˜ay d
˜a cho bi
.
ch˘a
.

5
2
+ ···+
1
5
n
=
1
5
−
1
5
n+1
1 −
1
5
=
1
4

1 −
1
5
n

<
1
4
·
Nhu

.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
2
n
n!
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. D˜ay d
˜a cho c´o da
.
ng
2

n+1
(n + 1)!
:
2
n
n!
=
2
n +1
< 1 ∀n>1.
Do d´o a
n+1
<a
n
v`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i phˆa
`
ntu
.
’
a
1
. Ngo`ai ra
a

’
a l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Ta c´o:
a
n+1
a
n
=
2
n +1
⇒ a
n+1
=
2
n +1
a
n
.
T`u
.
d´o
lim a
n+1
= lim

n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay hˆo
.
i
tu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Gia
’
i. Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng: a
1
<a
2
<a
3
< ···<.D´o l`a d˜ay do

isˆo
´
2.
Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
1
=
√
2; a
2
=
√
2a
1
<
√
2 · 2=2.
Gia
’
su
.
’
d˜ach´u
.
ng minh du
.

a h`am sˆo
´
Vˆa
.
y theo tiˆen dˆe
`
quy na
.
p ta c´o a
n
 2 ∀n.
Nhu
.
thˆe
´
d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n nˆen n´o c´o gi´o
.
iha
.

c a
1
=0,a
2
=2.
V`ı d˜ay d
o
.
ndiˆe
.
u t˘ang ∀n nˆen gi´o
.
iha
.
n a =2. 
V´ı du
.
4. Ch´u
.
ng minh t´ınh hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay

< ···<x
n
<x
n+1
< ngh˜ıa l`a
d˜ay d
˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´u
.
ng minh d˜ay x
n
l`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
1
=
√
a<
√
a +1
x
2
=

ng: x
n
<
√
a +1.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh x
n+1
<
√
a + 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
n+1
=
√
a + x
n
<

a +
√
a +1<


iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
21
iii) Dˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ntax´et hˆe
.
th ´u
.
c x
n
=
√
a + x
n−1
hay
x
2
n
= a + x
n−1
.

,A
2
=
1 −
√
1+4a
2
·
V`ı A
2
< 0 nˆen gi´a tri
.
A
2
bi
.
loa
.
iv`ıx
n
> 0.
Do d´o;
lim x
n
=
1+
√
1+4a
2
· 

(2 − a
n
) ∀n  1. (7.10)
Gia
’
i. i) D
ˆa
`
u tiˆen ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
bi
.
ch˘a
.
n, m`a cu
.
thˆe
’
l`a b˘a
`
ng
ph´ep quy na
.
p to´an ho
.
ctach´u

T`u
.
(7.10) ta c´o; a
n+1
=1− (1 − a
n
)
2
.
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c n`ay suy ra 0 < (1 − a
n
)
2
< 1, v`ı 0 <a
n
< 1.
T`u
.
d
´o suy ra: 0 <a
n+1
< 1 ∀n.
ii) Bˆay gi`o
.

> 1.
22 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
T`u
.
d
´o a
n+1
>a
n
∀n.Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
do
.

T`u
.
d´o a =0v`aa =1. V`ıx
1
> 0 v`a d˜ay a
n
t˘ang nˆen
a =1=lima
n
. 
V´ı du
.
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
n!
n
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.

=
n!
(n +1)
n
=
n!
n
n
·
n
n
(n +1)
n
=
n
n
(n +1)
n
a
n
v`ı
n
n
(n +1)
n
< 1nˆena
n+1
<a
n
.

y ta c´o:
(n +1)
n
n
n
=

n +1
n

n
=

1+
1
n

n
 1+
n
n
=2.
Do d´o:
n
n
(n +1)
n
<
1
2

P
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo
´
:
1) a
n
=
5n
2
n
2
+3
· 2) b
n
=(−1)
n
2n
n +1
sin n. 3) c
n
= n cos πn.

0
a + a
0
,a
2
=
a
1
a + a
1
,a
3
=
a
2
a + a
2
, ,
a
n
=
a
n−1
a + a
n−1
, (a>1,a
0
> 0)
hˆo
.

’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
ndu
.
o
.
.
csuyt`u
.
n!  2
n−1
v`a do d´o
a
n
 2+
1
2
+
1
2
2
+ ···+
1
2
n−1

n
, k ∈ N.(DS.
k−1
√
5)
2) a
n
=
2
n
(n + 2)!
Chı
’
dˆa
˜
n.
a
n+1
a
n
=
2
n +3
< 1. (DS. a =0)
3) a
n
=
E(nx)
n
trong d´o E(nx) l`a phˆa

itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
an´o
(a>1).
24 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
(DS. a =1. Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.

.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=1+
1
2
2
+
1
3
2
+ ···+
1
n
2
hˆo
.
itu
.
.
Chı
’
dˆa
˜
n. Ch´u
.
ng to

´
td
˘a
’
ng th´u
.
c:
1
n
2
<
1
n(n − 1)
=
1
n − 1
−
1
n
,n 2.
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
1
3+1

n
du
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach so s´anh a
n
v´o
.
itˆo
’
ng mˆo
.
tcˆa
´
psˆo
´
nhˆan n`ao d
´o .
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay


u
1) a
n
=

1+
1
n + k

n
, k ∈ N.(DS. e)
2) a
n
=

n
n +1

n
.(DS.
1
e
)
3) a
n
=

1+
1
2n

.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a trˆen
diˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
nv`ad
u
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen

.
.
cdˆo
´
iv´o
.
i c´ac d˜ay khˆong do
.
n
d
iˆe
.
u du
.
o
.
.
c cho khˆong b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i t´ıch m`a d
u
.
o
.

.
.
p ngu
.
`o
.
i ta chı
’
quan tˆam dˆe
´
nsu
.
.
hˆo
.
itu
.
hay phˆan k`y cu
’
a d˜ay m`a thˆoi. Sau dˆay ta ph´at biˆe
’
umˆo
.
t tiˆeu chuˆa
’
n
c´o t´ınh chˆa
´
t “nˆo
.

’
a d˜ay:
Nguyˆen l ´yhˆo
.
itu
.
. D˜ay (a
n
) c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n khi v`a chı
’
khi n´o
tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
∀ε>0, ∃N
0
= N

n:
∃ε>0, ∀N ∈ N ∃n  N ∃m  N →|a
n
−a
m
|  ε.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
cos 1
3
+
cos 2
3
2
+ ···+
cos n

o
.
.
ng hiˆe
.
u
|a
n+p
− a
n
| =



cos(n +1)
3
n+1
+ ···+
cos(n + p)
3
n+p




1
3
n+1
+ ···+
1

ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng t`uy ´y. V`ı lim
n→∞
1
3
n
= 0 nˆen v´o
.
isˆo
´
ε>0d
´o,
tˆo
`
nta
.
isˆo
´
N ∈ N sao cho ∀n  N ta c´o
1
3
n
<ε. Ngh˜ıa l`a nˆe
´
u n  N,

ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=
1
√
1
+
1
√
2
+ ···+
1
√
n
phˆan k`y.
Gia
’
i. Ta u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng hiˆe

˘a
.
cbiˆe
.
tv´o
.
i p = n ta c´o
|a
n
− a
2n
| 
√
n
√
2

1
√
2
∀n. (*)
Ta lˆa
´
y ε =
1
√
2
. Khi d´o ∀N ∈ N tˆo
`
nta

chı
’
cˆa
`
nlˆa
´
ysˆo
´
n>N bˆa
´
tk`yv`ap = n.T`u
.
d
´o theo mˆe
.
nh dˆe
`
phu
’
di
.
nh
nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
ta c´o d˜ay d˜a cho phˆan k`y. 
B
`
AI T

n
)
nˆe
´
u
1. a
n
=
n

k=1
sin nα
2
n
, α ∈ R.
2. a
n
=
n

k=1
a
k
q
k
, |q| < 1, |a
k
| <M ∀k,M > 0.
3. a
n

n

k=1
1
2
k
+ k
·
Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y:
7. a
n
=1+
1
2
+ ···+
1
n
, n ∈ N.
8. a
n
=
1
ln2
+
1
ln3

nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c´ac h`am d
ˆo
´
iv´o
.
i n˘am tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p: x → a,
x → a ± 0, x →±∞d
u
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’
unhu
.
sau.

.
id
iˆe
’
m a (khi x → a)
nˆe
´
u ∀ε>0b´e bao nhiˆeu t`uy ´y t`ım du
.
o
.
.
csˆo
´
δ = δ(ε) > 0(∃δ = δ(ε) >
0) sao cho ∀x m`a
x ∈ D
f
∩{x;0< |x −a| <δ(ε)}
th`ı
|f(x) − A| <ε.
K´yhiˆe
.
u: lim
x→a
f(x)=A.
2) Sˆo
´
A du
.

.
n
x ∈ D
f
∩{x : a<x<a+ δ} (x ∈ D
f
∩{x : a − δ<x<a})
th`ı
|f(x) − A| <ε.
K´yhiˆe
.
u:
lim
x→a+0
f(x)=f(a +0)

lim
x→a−0
f(x)=f(a −0)

.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
:
3) lim

x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x)=A th`ı ngu
.
`o
.
i ta viˆe
´
t
lim
x→∞
f(x)=A.
7.2. Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 29
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd

udˆo
´
i
v´o
.
ica
’
n˘am tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p.
Ch˘a
’
ng ha
.
n, h`am f(x)du
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`amvˆoc`ung l´o
.
nta
.

ng c´ac k´yhiˆe
.
uv`u
.
a nˆeu chı
’
ch´u
.
ng to
’
f(x) l`a vˆo c`ung
l´o
.
nch´u
.
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa r˘a
`
ng f c´o gi´o
.
iha
.
n.
Khi t´ınh gi´o
.
iha
.
ntathu
.
`o
.

f
2
(x) tˆo
`
nta
.
ih˜u
.
uha
.
n
th`ı
1) lim
x→a
[f
1
(x)+f
2
(x)] = lim
x→a
f
1
(x) + lim
x→a
f
2
(x)
2) lim
x→a
[f

1
(x)
lim
x→a
f
2
(x)
4) Nˆe
´
u trong lˆan cˆa
.
n U(a; δ)={x :0< |x − a| <δ} ta c´o
f
1
(x)  f(x)  f
2
(x) v`a lim
x→a
f
1
(x) = lim
x→a
f
2
(x)=A th`ı lim
x→a
f(x)=A
(nguyˆen l´ybi
.
ch˘a

’
su
.
’
D ⊂ R, a ∈ R l`a diˆe
’
mtu
.
cu
’
a n´o; A ∈ R,
f : D → R. Khi d
´o
lim
x→a
f(x)=A
30 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´

`
nch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∃(a
n
), ∃(a

n
)dˆe
`
uhˆo
.
itu
.
dˆe
´
n a nhu
.
ng
lim
x→a
f(a
n
) = lim
x→a
f

(a

i c´ac gi´o
.
iha
.
n sau d
ˆay khi x → a, a ∈ R.
1) lim
x→a
[f(x)+g( x)]; f, g l`a c´ac vˆo c`ung l´o
.
n(vˆodi
.
nh da
.
ng “∞±∞”).
2) lim
x→a
f(x)
g(x)
; f, g ho˘a
.
cdˆo
`
ng th`o
.
i l`a hai vˆo c`ung b´e, ho˘a
.
cdˆo
`
ng th`o

ng “0 ·∞”).
4) lim
x→a

f(x)

g(x)
:
a) khi f(x) → 1, g(x) →∞(vˆo d
i
.
nh da
.
ng “1
∞
”)
b) khi f(x) → 0, g(x) → 0 (vˆo di
.
nh da
.
ng “0
0
”)
c) khi f(x) →∞, g(x) → 0 (vˆo di
.
nh da
.
ng “∞
0
”)

ng vˆo di
.
nh. Trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi t´ınh gi´o
.
iha
.
nta
thu
.
`o
.
ng su
.
’
du
.
ng c´ac gi´o
.
iha
.
n quan tro