HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
- - - - - - - ( - - - - - - -

BÀI GING
TOÁN CAO CP (A2)
Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG
Ths.  PHI NGA
Lu hành ni b HÀ NI - 2006
LI NÓI U

Toán cao cp A
1
, A

quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: t bài toán, chng minh
s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là
đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng
hn khi tip thu bài hc.
Giáo trình gm 7 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit):
Chng I: Lô gích toán hc, lý thuyt tp hp, ánh x và các cu trúc đi s.
Chng II: Không gian véc t.
Chng III: Ma trn.
Chng IV: nh thc.
Chng V: H phng trình tuyn tính
Chng VI: Ánh x tuyn tính.
Chng VII: Không gian véc t Euclide và dng toàn phng.
Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa hc khác, toán hc còn đc xem là mt
ngành khoa hc có phng pháp t duy lp lun chính xác cht ch. Vì vy vic hc toán cng
giúp ta rèn luyn phng pháp t duy. Các phng pháp này đã đc ging dy và cung cp
tng bc trong quá trình hc tp  ph thông, nhng trong chng I các vn đ này đc h
thng hoá li. Ni dung ca chng I đc xem là c s, ngôn ng ca toán hc hin đi. Mt
vài ni dung trong chng này đã đc hc  ph thông nhng ch vi mc đ đn gin. Các
cu trúc đi s thì hoàn toàn mi và khá tru tng vì vy đòi hi hc viên phi đc li nhiu
ln mi tip thu đc.
Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các chng liên h
cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca chng khác. Vì vy hc viên cn thy
đc mi liên h này. c đim ca môn hc này là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các
khái nim thng đc khái quát hoá t nhng kt qu ca hình hc gii tích  ph thông. Khi
hc ta nên liên h đn các kt qu đó.
Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca
Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong
s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó.
Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu
Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã

p . Mnh đ
p
đúng khi p sai và
p
sai khi p đúng.
2. Phép hi (conjunction): Hi ca hai mnh đ q
p, là mnh đ đc ký hiu qp ∧ (đc
là
p và ). Mnh đ q qp ∧ ch đúng khi p và q cùng đúng.
3. Phép tuyn (disjunction): Tuyn ca hai mnh đ q
p, là mnh đ đc ký hiu qp ∨
(đc là
p hoc ). q qp ∨ ch sai khi p và cùng sai. q
4. Phép kéo theo (implication): Mnh đ kéo theo , ký hiu , là mnh đ ch
sai khi
p
q
qp ⇒
p đúng sai. q
5. Phép tng đng (equivalence): Mnh đ )()(
pqqp ⇒∧⇒ đc gi là mnh đ
p tng đng , ký hiu . q
qp ⇔
Mt công thc gm các bin mnh đ và các phép liên kt mnh đ đc gi là mt công
thc mnh đ. Bng lit kê các th hin ca công thc mnh đ đc gi là bng chân tr.
T đnh ngha ca các phép liên kt mnh đ ta có các bng chân tr sau

5
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s


ca các bin mnh đ có trong công thc. Ta ký hiu mnh đ tng đng hng đúng là "
≡ "
thay cho " ".
⇔
1.1.3 Các tính cht
Dùng bng chân tr ta d dàng kim chng các mnh đ hng đúng sau:
1)
pp ≡ lut ph đnh kép.
2)
)()( qpqp ∨≡⇒
.
3)
pqqppqqp ∨≡∨∧≡∧ , lut giao hoán.
4)
rqprqp ∧∧≡∧∧ )()(

rqprqp ∨∨≡∨∨ )()( lut kt hp.
5)
[][
)()()( rpqprqp
]
∧∨∧≡∨∧[][
)()()( rpqprqp ∨
]
∧∨≡∧∨
lut phân phi.
6) Mnh đ

Ta thng ký hiu các tp hp bi các ch in hoa
,...,
BA ,...,YX
còn các phn t bi các
ch thng
,..., y
x Nu phn t x thuc
A
ta ký hiu Ax∈ , nu x không thuc
A
ta ký hiu
Ax∉
. Ta cng nói tt "tp" thay cho thut ng "tp hp".
1.2.2 Cách mô t tp hp
Ta thng mô t tp hp theo hai cách sau:
a) Lit kê các phn t ca tp hp
Ví d 1.1
: Tp các s t nhiên l nh hn 10 là
{ }
9,7,5,3,1
.
Tp hp các nghim ca phng trình 01
2
=−x là
{ }
1,1−
.
b) Nêu đc trng tính cht ca các phn t to thành tp hp
Ví d 1.2
: Tp hp các s t nhiên chn

2
−==−∈ xx 
.
 có hình nh trc quan v tp hp, ngi ta thng biu din tp hp nh là min phng
gii hn bi đng cong khép kín không t ct đc gi là gin đ Ven.
c) Mt s tp hp s thng gp
- Tp các s t nhiên 
{ }
...,2,1,0=
.
- Tp các s nguyên
{ }
...,2,1,0 ±±=
.
- Tp các s hu t
{ }
 ∈≠= qpqqp ,,0 .
- Tp các s thc .
- Tp các s phc
{ }
1;,
2
−=∈+== iyxiyxz 
.
1.2.3 Tp con
nh ngha 1.1
: Tp
A
đc gi là tp con ca
B

B
bng nhau, ký hiu
,
BA =
khi và ch khi
BA ⊂
và
AB ⊂
.
Nh vy đ chng minh
BA ⊂
ta ch cn chng minh BxAx ∈⇒∈ và vì vy khi
chng minh
BA =
ta ch cn chng minh BxAx ∈⇔∈ .
nh ngha 1.3
: Tp rng là tp không cha phn t nào, ký hiu
.
φ

Mt cách hình thc ta có th xem tp rng là tp con ca mi tp hp.
Tp hp tt c các tp con ca
X
đc ký hiu
)(X
P
. Vy
)(XA
P∈
khi và ch khi

rng nu
X
có n phn t thì
)(X
P
có phn t.
n
2
1.2.4 Các phép toán trên các tp hp
1. Phép hp: Hp ca hai tp
A
và
B
, ký hiu
BA∪
, là tp gm các phn t thuc ít
nht mt trong hai tp
A
,
B
.
Vy
()( ) ( )( )
BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈ .
2. Phép giao: Giao ca hai tp
A
và
B
, ký hiu
BA∩

và
đc ký hiu là
B
X
C . Nu tp
X
c đnh và không s nhm ln thì ta ký hiu B thay cho
B
X
C .
Ta có th minh ho các phép toán trên bng gin đ Ven: BA ∩

BA ∪

B
X
CÁp dng lôgích mnh đ ta d dàng kim chng li các tính cht sau:
1.
ABBA ∪=∪
,


( )
BA
A
CBAABAABABA
∩
=∩=∩∩=∩= )(\\ .
1.2.5 Lng t ph bin và lng t tn ti
Gi s )(xS là mt hàm mnh đ xác đnh trên tp
D
có min đúng
{ }
)(
)(
xSDxD
xS
∈=
. Khi đó:
a) Mnh đ )(,
xSDx∈∀ (đc là vi mi )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu
và sai trong trng hp ngc li.
DD
xS
=
)(
Ký hiu ∀(đc là vi mi) đc gi là lng t ph bin.
Khi
D
đã xác đnh thì ta thng vit tt )(, xSx∀ hay
( )
)(, xSx∀

→
LxfaxxLxf
ax
)(0:;0,0)(lim
.

10
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
S dng tính cht hng đúng )()( qpqp ∨≡⇒ (xem tính cht 1.3) ta có

εδ
<−⇒<−< Lxfax )(0 tng đng vi
( )
( ) ( )
εδ
<−∨=∨≥− Lxfaxax )()( .
Vy ph đnh ca là
Lxf
ax
=
→
)(lim
( ) ( )
εδδε
≥−∧<−<∃>∀>∃ Lxfaxx )(0:;0,0 .
1.2.6 Phép hp và giao suy rng
Gi s
()
là mt h các tp hp. Ta đnh ngha là tp gm các phn t thuc
ít nht mt tp nào đó và là tp gm các phn t thuc mi tp .


( )
( )
i
Ii
i
AxIiAx ∈∈∀⇔∈
∈
;
I
. (1.2)
Ví d 1.5
:
{ }
)1(0 +≤≤∈= nnxxA
n


{ }
)1(11)1(1 ++<≤+−∈= nxnxB
n


[
)
1;0
1
=
∞
=

:
{ }
cbaX ,,= ,
{ }
2,1=Y{}
)2,(),2,(),2,(),1,(),1,(),1,( cbacbaYX =×

Ta d dàng chng minh đc rng nu
X
có phn t,
Y
có phn t thì n m
Y
X ×
có
phn t.
mn×

11
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Cho là n tp hp nào đó, ta đnh ngha và ký hiu tích  các ca n tp
hp này nh sau:
n
XXX ...,,,
21

{ }

nn
XXxx
××∈ ...),...,(
11
;
nn
XXxx ××∈ ...)',...,'(
11
thì
nixxxxxx
iinn
,...,1,')',...,'(),...,(
11
=∀=⇔=

4. Tích  các ca các tp hp không có tính giao hoán.
1.2.7.2 Quan h hai ngôi
nh ngha 1.5
: Cho tp
φ
≠X , mi tp con
XX ×⊂R
đc gi là mt quan h hai
ngôi trên
X
. Vi Xyx ∈, mà R∈),( yx ta nói x có quan h vi theo quan h y
R
và ta
vit
y

myxyx M−
⇔
44
:
RR
,

∈∀ yx,
. Ta ký hiu )(mo
dmyx ≡ và đc là
x đng d vi môđulô m. y
nh ngha 1.6: Quan h hai ngôi
R
trên
X
đc gi là có tính:
a) Phn x, nu X
xxx ∈∀,R ;
b) i xng, nu Xy
x ∈∀ , mà yxR thì cng có xyR ;
c) Bc cu, nu Xzy
x ∈∀ ,, mà yxR và zyR thì cng có zxR ;
d) Phn đi xng, nu Xy
x ∈∀ , mà yxR và xyR thì yx = .

12
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.8:
1
R

x . Ngi ta cng ký hiu lp tng đng ca x là )(xcl .
Hai lp tng đng bt k thì hoc bng nhau hoc không giao nhau, ngha là
'xx ∩
hoc bng
'xx = hoc bng
φ
, nói cách khác các lp tng đng to thành mt phân hoch
các tp con ca
.X
Tp tt c các lp tng đng đc gi là tp hp thng, ký hiu
~X
. Vy
{ }
XxxX ∈=~ .
Ví d 1.9
: Quan h
4
R
trong ví d 1.7 là mt quan h tng đng gi là quan h đng
d môđulô m trên tp các s nguyên . Nu y
x ~ , ta vit
)(mo
dmyx ≡ .
Ta ký hiu tp thng gm m s đng d môđulô m:
{ }
1...,,1,0 −= m
m
 .
Ví d 1.10: Trong tp hp các véc t t do trong không gian thì quan h "véc t
u

P
, tp hp tt c các tp con ca
X
, quan h "tp con" (
BA ⊂
) là mt
quan h th t.
Khái nim quan h th t đc khái quát hoá t khái nim ln hn (hay đng sau) trong
các tp s, vì vy theo thói quen ngi ta cng dùng ký hiu
""
≤
cho quan h th t bt k.
Quan h th t trên tp
""≤
X
đc gi là quan h th t toàn phn nu hai phn t bt
k ca
X
đu so sánh đc vi nhau. Ngha là vi mi Xyx ∈, thì
y
x ≤
hoc
xy ≤
. Quan
h th t không toàn phn đc gi là quan h th t b phn.
Tp
X
vi quan h th t
""
≤

.
Hin nhiên rng nu là mt chn trên ca
q
A
thì mi Xp ∈ mà
pq ≤
đu là chn
trên ca
A
.
Phn t chn trên nh nht ca q
A
( theo ngha 'qq ≤ , vi mi chn trên ca 'q
A
)
đc gi là cn trên ca
A
và đc ký hiu Aq sup= . Rõ ràng phn t cn trên nu tn ti là
duy nht.
Tng t tp
A
đc gi là b chn di nu tn ti Xp ∈ sao cho
a
p ≤
, vi mi
Aa∈ . Phn t chn di ln nht đc gi là cn di ca
A
và đc ký hiu
Ainf
. Cn

Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
1.3 ÁNH X
1.3.1 nh ngha và ví d
Khái nim ánh x đc khái quát hoá t khái nim hàm s trong đó hàm s thng đc
cho di dng công thc tính giá tr ca hàm s ph thuc vào bin s. Chng hn, hàm s
xy 2= vi ∈x  là quy lut cho ng

,21,00 aa
...,63,42 aa
Ta có th đnh ngha ánh x mt cách trc quan nh sau:
nh ngha 1.10
: Mt ánh x t tp
X
vào tp
Y
là mt quy lut cho tng ng mi mt
phn t
X
x∈ vi mt phn t duy nht )(xfy = ca
Y
.
Ta ký hiu hay
YXf ⎯→⎯:
YX
f
⎯→⎯

)(
xfyx =a )(xfyx =a
X

Hàm cn bc hai
xy =
là ánh x
 →
+
:xyx =a
.
nh ngha 1.11
: Cho ánh x YXf →: và
XA ⊂
,
YB ⊂
.
{ }
AxxfAf ∈= )()( (1.5)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Y
.
Khi
B
là tp hp ch có mt phn t
{ }
y
thì ta vit )(
1
yf
−
thay cho . Vy
{}(
yf
1−
)
{
)()(
1
xfyXxyf =∈=
−
}
. (1.7)
1.3.2 Phân loi các ánh x
nh ngha 1.12
:
1) Ánh x
YXf →: đc gi là đn ánh nu nh ca hai phn t phân bit là hai phn
t phân bit.
Ngha là: Vi mi

x là n và là tham bin. y
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) luôn có nghim Xx∈ thì ánh x f là toàn
ánh.
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) có không quá 1 nghim Xx ∈ thì ánh x f
là đn ánh.
♦ Nu vi mi
Yy∈ phng trình (1.10) luôn có duy nht nghim Xx∈ thì ánh x
f là song ánh.

16
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.16: Cho ánh x

Xét phng trình hay .
xxxxxfy +=+==
2
)1()( 0
2
=−+ yxx
Bit s 041 >
+=Δ y (vì ∈y ). Phng trình luôn có 2 nghim thc
( ) ( )
2411,2411
21
yxyx +−−=++−=
. Vì
0
2

là mt đn ánh gi là nhúng chính tc.
c bit khi
XA =
ánh x
i
đc ký hiu gi là ánh x đng nht ca
X
Id
X
.
Ví d 1.19
: Gi s ~ là mt quan h tng đng thì ánh x sau là mt toàn ánh 1.3.3 Ánh x ngc ca mt song ánh
nh ngha 1.13
: Gi s YXf →: là mt song ánh khi đó vi mi Yy∈ tn ti duy
nht
X
x∈ sao cho )(xfy = . Nh vy ta có th xác đnh mt ánh x t
Y
vào
X
bng cách
cho ng mi phn t
Yy∈ vi phn t duy nht Xx∈ sao cho )(xfy = . Ánh x này đc
gi là ánh x ngc ca
f và đc ký hiu
1−
f .

~
a17
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.20: Hàm m 1,0, ≠>= aaay
x
là mt song ánh (vì hàm m đn điu cht) có hàm ngc là hàm lôgarit
. yxay
a
x
log=⇔=
Ví d 1.21
Các hàm lng giác ngc
Xét hàm

đn điu tng cht và toàn ánh nên nó là mt song ánh. Hàm ngc đc ký hiu [ ] [ ]
2;2,1;1,sinarcsin
ππ
−∈−∈∀=⇔= yxxyyx
.
Tng t hàm
[][
1;1;0:cos −→
[ ] [ ]
xx

.
( ) ( )
π
;0,;,gcotgcotarc ∈∞∞−∈∀=⇔= yxxyyx
.
1.3.4 Hp (tích) ca hai ánh x
nh ngha 1.14
: Vi hai ánh x ZYX
gf
→→ thì tng ng ))(( xfgx a xác đnh mt
ánh x t
X
vào
Z
đc gi là hp (hay tích) ca hai ánh x f và g , ký hiu fg o . Vy
ZXfg →:o có công thc xác đnh nh
))(()(
xfgxfg =o . (1.12)
Ví d 1.22: Cho vi công thc xác đnh nh
  →→ :,: gf
,sin)( xxf =
. Ta có th thit lp hai hàm hp
42)(
2
+= xxg
fg o và gf o t  vào .
4sin2)(,)42sin()(
22
+=+= xxfgxxgf oo .
Qua ví d trên ta thy nói chung

= fg .
1.3.5 Lc lng ca mt tp hp
Khái nim lc lng ca tp hp có th xem nh là s m rng khái nim s phn t ca
tp hp.
nh ngha 1.15: Hai tp hp
YX ,
đc gi là cùng lc lng nu tn ti song ánh t
X

lên
Y
.
Tp cùng lc lng vi tp
{
đc gi là có lc lng . Vy
}
n,...,2,1 n
X
có lc lng
khi và ch khi
n
X
có phn t. còn đc gi là bn s ca n n
X
, ký hiu XCard hay X .
Quy c lc lng ca
φ
là 0.
nh ngha 1.16: Tp có lc lng hoc 0 đc gi là các tp hu hn. Tp không hu
hn đc gi là tp vô hn. Tp có cùng lc lng vi tp các s t nhiên  hay hu hn đc gi

c bit nu
{
nE ,...2,1
}
= thì mi phép th đc ký hiu bi ma trn
(1.13)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
)(...)2()1(
...21
n
n
σσσ
σ

19
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
trong đó hàng trên là các s t 1 đn sp theo th t tng dn, hàng di là nh tng
ng ca nó qua song ánh
n
σ
. Còn
[]
)(),...,2(),1( n
σσσ

có hai hoán v là
}
2,1
[ ]
21
và
[ ]
12
.
Tp hp
{
có sáu hoán v là
}
3,2,1
[ ]
321
,
[ ]
312
,
[ ]
213
,
[ ]
231
, và
[]
.
[]
132 123

{}
pB ,...,2,1=
nh ngha 1.17: Mt chnh hp lp chp p các phn t ca
E
là nh ca mt ánh x t
B
đn
E
.
Ta cng có th xem mt chnh hp lp chp
p nh mt b gm p thành phn là các phn
t có th trùng nhau ca
E
. Nói cách khác, mt chnh hp lp chp p là mt phn t ca tích
Descartes
p
E
. Vy s các chnh hp lp chp p ca vt là . n
p
n
Ví d 1.24
: Cho vt và tin hành bc có hoàn li n
{
n
xxxE ,...,,
21
=
}
p ln theo cách
sau: Bc ln th nht t tp

̇ hoc gm
p phn t nh nhau nhng có th t khác nhau.
Nh vy ta có th xem mi chnh hp là mt b có
p thành phn gm các phn t khác
nhau ca
E
hay có th xem nh mt cách sp xp phn t ca n
E
vào p v trí.

20
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Có cách chn vào v trí th nht, n 1−n cách chn vào v trí th hai, ... và 1+− pn
cách chn vào v trí th
p . Vy s các chnh hp chp n p là

)!(
!
)1)...(1(
pn
n
pnnnA
p
n
−
=+−−=
(1.14)
1.4.3 T hp
nh ngha 1.19
: Mt t hp vt ca n

==
. (1.15)
Ví d 1.25
: a) Có bao nhiêu cách bu mt lp trng, mt lp phó và mt bí th chi đoàn
mà không kiêm nhim ca mt lp có 50 hc sinh.
b) Có bao nhiêu cách bu mt ban chp hành gm mt lp trng, mt lp phó và mt bí
th chi đoàn mà không kiêm nhim ca mt lp có 50 hc sinh.
Gii:
a) Mi kt qu bu là mt chnh hp 50 chp 3.
Vy có cách bu.
600.117484950
3
50
=××=A
b) Mi kt qu bu mt ban chp hành là mt t hp 50 chp 3.
Vy có
600.19
6
484950
!47!3
!50
3
50
=
××
==C
cách bu.
1.4.4 Nh thc Niu-tn
Xét đa thc bc : n
444344421

p
np
Ca =
Vy
011
......)1(
n
pp
n
nn
n
nn
n
n
CxCxCxCx +++++=+
−−

Thay
bax =
(nu ) ta có: 0≠b
∑
=
−−−
=+++=+
n
p
pnpp
n
n
n

Công thc cng a) thng đc s dng trong trng hp đc bit khi A, B ri nhau
φ
=∩ BA , lúc đó BABA +=∪ .
Công thc nhân b) có th m rng cho k tp bt k

kk
AAAA ⋅⋅
=×× ......
11
(1.22)
Hoc nu mt hành đng H gm k giai đon
k
AA ,...,
1
. Mi giai đon có th thc hin
theo phng án thì c thy có
i
A
i
n
k
nn ×× ...
1
phng án thc hin H.

22
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.26: Cho mch đin
12
4
−
3151573 =××
Ví d 1.27
: Có bao nhiêu s t nhiên vit di dng thp phân có ch s trong
đó có đúng hai ch s 8.
n )3( ≥n
Gii: Gi s
N
là s t nhiên có ch s mà ch s th nht bên trái khác ch s 0 và có
đúng hai ch s 8.
n
♦Trng hp 1: Nu ch s th nht bên trái là ch s 8 thì có 1
−n v trí đ đt ch s 8
th hai, có 9 cách chn cho mi ch s 
2
−n v trí còn li. Vy có đúng s
2
9)1(
−
−
n
n
N

thuc loi này.
♦Trng hp 2: Nu ch s th nht bên trái không phi là ch s 8 thì có
2
1

3
U

2
U

1
U

A
B
23
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
Ví d 1.28: Trong mt phng cho đng thng đôi mt ct nhau và các giao đim này
khác nhau .
n
)4( ≥n
a) Tìm s các giao đim ca chúng.
b) Tìm s các đng thng mi đc to bi các giao đim trên.
Gii:


2
)3)(2(
)1)1(2(
2
−−
=−−−
nn
nC
n
đng thng mi ni đn
A
. Vì mi đng
thng mi đu ni hai đim  câu a) nên s đng thng mi là:

)3)(2)(1(
8
1
2
)3)(2(
2
1
2
−−−=
−−
nnnn
nn
C
n
.
Ví d 1.29

Tng ng ;
BA →:f
),(),(
BYBXYXf ∩∩a là mt song ánh.
Mt khác
''
\'',',' YXBBYXBYBX ⊂⇔=∪⊂⊂
.
Vy s các cp ),(
YX tho mãn điu kin (1.23) cn tìm bng bn s ca tp
{ }
'",',")',"( YXBYBXYX ⊂⊂⊂ .
Vi mi tp
BY ⊂'
có bn s thì bn s ca tp 'y
{ }
'"" YXX ⊂ là ; S các tp
con
'
2
y
BY ⊂'
có phn t là . Áp dng công thc cng suy ra bn s cn tìm là
.
'y
'y
pn
C
−
∑

X
thành mt phn t
y
x ∗
ca
X
vì
vy lut hp thành trong còn đc gi là phép toán hai ngôi.
Ví d 1.30
: Phép cng và phép nhân là các lut hp thành trong ca các tp s , , , ,
.
Ví d 1.31: Phép cng véc t theo quy tc hình bình hành là phép toán trong ca tp
các véc t t do trong không gian, nhng tích vô hng không phi là phép toán trong vì
3
R
3
),cos( Rvuvuvu ∉⋅=⋅
rrrrrr
.
nh ngha 1.21
: Lut hp thành trong * ca tp
X
đc gi là:
1) Có tính kt hp nu
zy
xzyxXzyx ∗∗=∗∗∈∀ )()(:,,

25
Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s
2) Có tính giao hoán nu xyyxXyx ∗=∗∈∀ :,

a
a
Chng minh:
1) Gi s và là hai phn t trung hoà thì e 'e eeee
=∗= '' (du "=" th nht có đc do
là phn t trung hoà, còn du "=" th hai là do là phn t trung hoà).
e 'e
2) Gi s có hai phn t đi xng là 'a và , khi đó: a "a
"")'("')"('' aeaaaaaaaaea
=∗=∗∗=∗∗=∗= .
Theo thói quen ta thng ký hiu các lut hp thành trong có tính giao hoán bi du ""
+ ,
khi đó phn t trung hoà đc ký hiu là 0 và phn t đi ca
x là x− . Nu ký hiu lut hp
thành bi du nhân
"."
thì phn t trung hoà đc ký hiu 1 và gi là phn t đn v, phn t đi
ca
x là
1−
x
.
1.5.2 Nhóm
nh ngha 1.22
: Gi s là tp khác trng vi lut hp thành *, cp đc gi là
mt v nhóm nu tho mãn hai điu kin sau:
G ,*)(G
G1: * có tính kt hp.

26