10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số
()
Fx
được gọi là một nguyên hàm của
()
fx

trên
khoảng
(;)
ab

ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Tính chất
1) .()(),kfxdxkfxdxk


¡

2) ()()
fxdxfxC




3)
()()
d
fxdxfx
dx




x
xdxC




3)
ln
dx
xC
x


; 4)
2
dx
xC
x

5)
xx
edxeC



; 10)
2
cot
sin
dx
xC
x



ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
11)
22
1
arctan
dxx
C
aa
xa


lntan
sin2
dxx
C
x



15)
lntan
cos24
dxx
C
x













16)
2
2

12
ln
42
x
IC
x



; B.
12
ln
42
x
IC
x



;
C.
12
ln
22
x
IC
x




PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Giải. Biến đổi:
2
11111
(2)(3)532
6
xxxx
xx












.
Vậy
111

6
dx
I
xx



.
10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
1.2. Phương pháp đổi biến
a) Định lý
Nếu ()()
fxdxFxC


với
()
t

ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 4. Tính
2
3ln
dx
I
xx



.
Giải. Đặt ln
dx
txdt
x

2
ln
arcsinarcsin
33

ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Đặt
32
3
txdtxdx
1111
3(3)93
dt
Idt
tttt








biếnbiến
sốsố

1.3. Phương pháp từng phần

a) Công thức
()()()()()()
uxvxdxuxvxuxvxdx


hay
.
udvuvvdu



VD 6. Tính ln
Ixxdx


.

Giải. Đặt
2
ln
,
2

5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 7. Tính
2
x
x
Idx


.
Giải. Biến đổi .2
x
Ixdx



.
Đặt
2
,
2
ln2
x

ln2
ln2
xx
x
C


.

ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 8.
Tính
3sin
cos
x
Ixedx


.
Giải. Biến đổi













Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì
ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.
10/13/2012
3
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân


2sin2
(1)(sin1)
tx
etCexC

.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

b) Các dạng
tích phân từng phần
thường gặp

•
Đối với dạng tích phân ()
x
Pxedx


, ta đặt:

sốsố
011

nn
xaxxxb


.

Lấy điểm
1
[;]
kkk
xx


tùy ý (
1,
kn
 ).

Lập tổng tích phân:
1
1
()()
n
kkk
k
fxx



Giới hạn hữu hạn (nếu có)
1
max()0
lim
kk
k
xx
I



được gọi
là
tích phân xác định
của
()
fx
trên đoạn
[;]
ab
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm

fxdxfxdxfxdx

4)
()()(),[;]
bcb
aac
fxdxfxdxfxdxcab

5)
()0,[;]()0
b
a
fxxabfxdx



ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm

b
a
mbafxdxMba

9) Nếu
()
fx
liên tục trên đoạn
[;]
ab
thì
[;]:()()()
b
a
cabfxdxfcba


.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột

fxdxFxFbFa



10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

Nhận xét

1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.

2) Hàm số
()
fx
liên tục và lẻ trên
[;]

thì:
()0

phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Đặc biệt
()()
bb
aa
fxdxfxdx


nếu
()0,(;)
fxxab

.

4) Để tính
()
b
a
fxdx

ta dùng bảng xét dấu của
()
fx
để
tách
()

1
4(1)
dx
I
x



.

Đặt
1
txdtdx


2
2
2
0
0
1
arctan
228
4
dtt
I
t












00
0
sinsincos2
Ixxxdxx




.
VD 3.
Tính
1
23
1
1.sin
Ixxdx



.
Giải.
Do hàm số






21
()()
d
c
Sgygydy






a) Biên hình phẳng cho b
ởi phương trình tổng quát3.1. Tính diện tích

S

của
hình phẳng

S
S
ØØ

4
15
S  ; D.
8
15
S  .
Giải. Hoành độ giao điểm:
24
1,0
xxxx


01
2424
10
4
()().
15
SxxdxxxdxC



10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích




ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
xy

và
2
yx

.
Giải. Biến đổi:

22
22
xyxy
yxxy













ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
1
x
ye

,

2
13
xx
ee


2
202ln2
xxx
eeex

.

ln2
ln2
22
0
0
1
(2)2
2
xxxx
Seedxeex









.
Giải. Phương trình tham số của elip là:
cos
,[0;2]
sin
xat
t
ybt









.

b)
Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
Hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
có phương trình

(),()

sin.(sin)sin
Sbtatdtabtdt


2
0
1cos2
2
t
abdtab




.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố


2
x
y  từ gốc tọa độ
O
(0; 0) đến điểm
1
1;
2
M









.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột











21
ln12
22
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

Cho cung


b
)
Đường cong có phương trình t
ham số

ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 6
.
Tính độ dài
c
u
ng
C
có phương trình
:

2
2

.

Giải
.

Ta có:1
22
0
[()][()]
lxtytdt




22
1
22
0
1
1
11
t
dt
tt




1,
xxe

quay xung quanh Ox.

3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay

a)
V
ật thể
quay quanh
Ox Thể tích
V
của vật thể do miền phẳng
S
giới hạn bởi (), 0
yfxy

,
xa

,
xb


mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 8. Tính V do
22
22
():1
xy
E
ab

quay quanh Ox.

Giải
.
Ta có:


222
222
222
1
xyb
yax
aba
.
Vậy


2
Thể tích
V
của vật thể do miền phẳng
S
giới hạn bởi
()
xgy

,
0
x

,
yc

và
yd

quay quanh
Oy
là:
2
[()].
d
c

yxx


được viết lại:
22
2(1)1
yxxxy
11,1
11,1
xyx
xyx








.

Vậy




1

tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 10.

Dùng công thức
(
*
)

đ
ể

g
i
ải

l
ại
VD 9
.Chú ý Thể tích V của vật thể do miền phẳng S

0
0
28
2(2)2.
343
xx
Vxxxdx















………………………………………………………………………
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân

hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Cho hàm số
()0,[;)
fxxa

(
b

). Khi đó,
diện tích S
có thể tính được cũng có thể không tính được.
Trong trường hợp tính được hữu hạn thì:
()lim()
b
b
aa
Sfxdxfxdx




.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép

b

được gọi

là tích phân suy rộng loại 1 của
()
fx
trên
[;)
a

.
Ký hiệu là:
()lim().
b
b
aa
fxdxfxdx





ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân hội tụ,
ngược lại là
tích phân phân kỳ
.

• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là
khảo sát sự hội tụ
và
tính giá trị hội tụ
(thường là khó)
.

10/13/2012
8
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1
dx
I

(phân kỳ).
• Trường hợp α khác 1:

1
1
1
1
limlim
1
b
b
bb
dx
Ix
x
















ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Vậy
§ Với
1

:
1
1
I 

(hội tụ).

§ Với
1

:
I

(phân kỳ).
ØØ




.
Giải.
0
0
2
1
limlim1
1
(1)
aa
a
a
dx
I
x
x










.










.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

Chú ý
• Nếu tồn tại
lim()()
x
FxF


, ta dùng công thức:






ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn 1

• Nếu
0()(),[;)
fxgxxa

và
()
a
gxdx


hội tụ thì

Giải. Với
[1;)
x

thì
10
10
10
xx
xxxee



10
11
xx
edxedx




.
Mặt khác,
1
1
1
xx
edxe
e




.
Giải.
11
cos3
xx
exdxedx




(hội tụ)
I

hội tụ.
b) Tiêu chuẩn 2
• Nếu
()
a
fxdx


hội tụ thì
()
a
fxdx


hội tụ (

()
x
fx
k
gx


. Khi đó:
Ø Nếu
0
k

thì:
()
a
fxdx


và
()
a
gxdx


cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
Ø

Nếu
0
k















phaân ky
ø
thì
()
a
fxdx


phân kỳ.

• Các trường hợp khác tương tự
.

VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân
23
1

fx x
gx
xx


và
3
1
dx
x


hội tụ
I

hội tụ.

ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân
1

Chú ý

Nếu
()()()
fxgxx

:
thì
()
a
fxdx


và
()
a
gxdx


có cùng tính chất.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến


.
Giải. Đặt
ln
tx
1
333
001
111
dtdtdt
I
ttt





.
•
1
3
0
1
dt
t



t





hội tụ
13
3
A

.
10/13/2012
10
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 9. Điều kiện của

để
2
4




: hội tụ.
• Với
4

:
2
1
2
dx
I
x



: hội tụ
I

hội tụ

¡
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích


khi
0

được gọi là
tích phân suy rộng loại 2 của
()
fx
trên
[;)
ab
.
Ký hiệu:
0
()lim().
bb
aa
fxdxfxdx





ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân

,
b
).
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân hội tụ,
ngược lại là
tích phân phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 10. Khảo sát sự hội tụ của
0
,0
b
dx
Ib
x



.
Giải

1
bb
b
dx
Ixdxx
x


















ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích







Vậy
§ Với
1

:
1
1
b
I



(hội tụ).

§ Với
1

:
I

(phân kỳ).
ØØ
ChươngChương
5. 5.

I


; C.
6
I


; D.
I

.
Giải.
1
1
3
3
1
2
1
6
6
(3)
arcsin3
3
1(3)
dx
IxB
x


ln
tx


2
11
1
3
3
3
2
0
00
33
dt
Itdtt
t



.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột



2
0
1
11
lim
1
dx
xx













2

sốsố
VD 14. Tích phân suy rộng
1
0
(1)(2)
xdx
I
xxx





hội tụ khi và chỉ khi:
A.
1

; B.
1
2

; C.
1
2

; D.

¡
.
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ

là cận suy rộng).
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
Giải. Khi
0
x

thì
1
2
11
.
(1)(2)22
xx
xxxx
x




:

mộ tmột
biếnbiến
sốsố
Giải.
11
22
00
(1)sin(1)sin
xdxdx
I
xxxx




.
VD 15. Tích phân suy rộng
1
2
0
1
(1)sin
x
Idx
xx






phân kỳ
1
2
0
(1)sin
xdx
xx




phân kỳ.
Do
111
1
2
000
2
(1)sin
dxdxdx
x
xx
x



: hội tụ nên
Vậy
I
phân kỳ

tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Chú ý
• Cho
12
III

với
12
,,
III
là các tích phân suy rộn
g
ta có:
1)
1
I
và
2
I
hội tụ
I

hội tụ.
2)


phaân ky
ø

thì
I
phân kỳ.
3)
1
2
()
0
I
I








phaân ky
ø
hoặc
1
2
()
0
I

0
1
sin
x
Idx
xx




phân kỳ khi và chỉ khi:
A.
1
4

; B.
1
4

; C.
1
2

; D.

¡
.

Giải. Ta có:
11

2
sin
dxdxdx
I
xxx
x


: .
2)
1
1
2
0
0
sin
xdx
I
xx



.
Vậy
12
III

phân kỳ với mọi
D
