Toán cao cấp
A2, C2 ĐH
Nguyễn Đức Phương
TP. HCM, Ngày 21 tháng 5 năm 2014
Bài giảng
Họ và tên:
Mssv:

Mục lục
Chương 1
Ma trận, định thức
1.1 Ma trận
Định nghĩa 1.1 (Ma trận). Một bảng số thực hình chữ nhậ t có m dòng
và n cột
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a
22
 a


mn
 a
ij
là phần tử dòng i cột j .
Ví dụ 1.1. Ma trận
A D

2 1 8
0 6 5

 Số dòng? số cột?
 a
ij
?
Định nghĩa 1.2 (Ma trận vuông). Ma trận có số dòng bằng với số cột
(m D n) được gọi là ma trận vuông cấp n.
Trang 2 Chương 1. Ma t rận, định thức
Ví dụ 1.2. Ma trận
A D
0
@
2 0 1
1 4 8
9 4 3
1
A
là ma trận vuông cấp 3.
Định nghĩa 1.3 (Đường chéo của ma trận vuông).
 Đường chéo chứa a

:
:
:
a
n1
a
n2
 a
nn
1
C
C
C
A
 Đường chéo ngược lại là đường chéo phụ.
A D
0
B
B
B
@
a
11
a
12
 a
1n
a
21
a

Ví dụ 1.3.
A D
0
@
2 0 0
0 0 0
0 0 4
1
A
gọi là ma trận đường chéo.
I
3
D
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A
là ma trận đơn vị cấp 3.
1.2 Các phép t oán trên ma trận Trang 3
Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông có tất cả các phần tử trên (dưới) đường
chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới (trên).
Ví dụ 1.4.
A D
0
@
2 0 0
4 3 0

Định nghĩa 1.7 ( Phép chuyển vị). Ma trận A
T
có được từ việc chuyển
tất cả các dòng của A thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A:
Ví dụ 1.6. Ma trận
A D

2 1 4
5 3 6

Tìm A
T
Tính chất 1.8. Cho A; B 2 M
mn
.R/: Khi đó
i.

A
T

T
D AI
ii. A
T
D B
T
khi và chỉ khi A D B:
Trang 4 Chương 1. Ma t rận, định thức
Định nghĩa 1.9 (Nhân vô hướng). Cho ma trận A D


T
:
Định nghĩa 1.11 (Phép cộ ng, trừ). Cho hai ma trận A D

a
ij

mn
và
B D

b
ij

mn
cùng cấp, ta định nghĩa
A ˙ B D

a
ij
˙ b
ij

mn
Ví dụ 1.8.

1 2 3
2 0 1

C


a
ij

mp
và
B D

b
ij

pn
(số cột của A bằng với số dòng của B), ta định nghĩa
AB D .c
ij
/
mn
trong đó c
ij
D (dòng i của A/  (cột j của B/
Ví dụ 1.9. Cho A D

1 2 4
2 1 5

; B D
0
@
1 2
3 1

A
Tính AI
3
và I
3
A và so sánh
kết quả.
Nhận xét. Tổng quát, phép nhân không có tính giao hoán nghĩa là
AB ¤ BA:
Tính chất 1.14. Cho A; B; C thỏa điều kiện nhân được
i. .AB/C D A.BC/I
ii. A.B C C/ D AB C ACI
iii. .AB/
T
D B
T
A
T
I
Trang 6 Chương 1. Ma t rận, định thức
iv. AI
n
D I
n
A D A:
1.3 Ma trận bậc thang
Định nghĩa 1.15.
 Trong một ma trận, một dòng có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là
dòng không.
 Trong một ma trận, phần tử khác không đầu tiên (trái sang phải)

Ví dụ 1.13. Các ma trận sau là bậc thang:
A D
0
@
7 0 2
0 0 3
0 0 0
1
A
IB D
0
@
0
3 1 2
0 0 3 5
0 0 0 4
1
A
Ví dụ 1.14. Các ma trận sau không là ma trận bậc thang
A D
0
@
0 2 3
0 3 5
0 0 6
1
A
IB D
0
@

:
Ta gọi các phép biến đổi sau là phép biến đổi sơ cấp trên dòng
i) Đổi vị trí hai dòng i và k: A
d
i
$d
k
! B:
ii) Nhân dòng i với số thực  ¤ 0: A
d
i
!d
i
! B:
iii) Thay dòng i bằng dòng i cộng  lần dòng k khác: A
d
i
!d
i
Cd
k
! B:
Chú ý.
 Phép biến đổi ii) và iii) có thể được thay bằng
A
d
i
!d
i
Cd

A: Hạng của A, ký hiệu r.A/ là số
dòng khác không của
Q
A
Ví dụ 1.17. Tìm hạng của
A D
0
@
1 2 3
0 0 1
0 0 0
1
A
có r.A/ D : : :
1.5 Hạng của ma trận Trang 9
Ví dụ 1.18. Cho
A D
0
@
1 2 1
2 0 3
4 4 1
1
A
Tìm r.A/
Tính chất 1.21.
i. r.A/ D r.A
T
/I
ii. Nếu A D .a

A
1.6 Định thức Trang 11
1.6 Định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n: Ký hiệu M
ij
là ma trận có được từ A
bằng các xóa bỏ dòng i cột j cùa A:
Ví dụ 1.21. Nếu
A D
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A
thì
M
23
D
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A
D

1 2

 a
12
a
21
:
 Nếu 3  n thì
jAj D a
i1
A
i1
C a
i2
A
i2
C  C a
i n
A
i n
D a
1j
A
1j
C a
2j
A
2j
C  C a
nj
A
nj

a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a
11
a
12
a
21

33
C a
12
a
23
a
31
C a
13
a
21
a
32
/
Ví dụ 1.23. Tính định thức của ma trận B D
0
@
1 2 2
2 3 1
2 1 2
1
A
Ví dụ 1.24. Tính định thức của ma trận A D
0
B
B
@
0 0 3 2
3 4 2 1
1 1 0 2

ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
2 1 1
1 2 0
3 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Tính chất 1.24. Nếu A
d
i
!d
i
!
¤0
B thì jBj D jAj:
Ví dụ 1.26. Tính các định thức:
jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

i
!d
i
C
k
! B thì jBj D jAj:
Ví dụ 1.27. Tính định thức: jAj D
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1 1 3
2 2 1
2 3 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
và định thức của ma trận
B có được bằng phép biến đổi d
2
D d
2
 2d
1
từ ma trận A

21
C a
=
21
a
22
 a
2n
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
a
n1
C a
=
n1
a
n2
 a
nn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

:
:
: 
:
:
:
a
n1
a
n2
 a
nn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
C
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

nn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Ví dụ 1.28. Tính định thức
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x a x
y b y C 3
z c z
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1.7 Ma trận khả n gh ịch Trang 15
Chú ý. Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biế n đổi
trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột.
Chú ý. Một số kết quả đặc biệt

1
sao cho AA
1
D A
1
A D I
n
: Ma trận
A
1
là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A:
Ví d ụ 1.29. Ma trận A D

2 5
1 3

và A
1
D

3 5
1 2

là hai ma trận
nghịch đảo của nhau.
Trang 16 Chương 1. Ma t rận, định thức
1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận A vuông cấp n; ta tìm A
1
nếu có như sau:

1 1 1
1 0 1
2 1 1
1
A
:
1.7 Ma trận khả n gh ịch Trang 17
Định lý 1.28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi jAj ¤ 0
Ví dụ 1.32. Tìm m để A D
0
@
m C 1 1 3
2 m C 2 0
2m 1 3
1
A
khả nghịch
1.7.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận khả nghịch A; ma trận nghịch đảo của A được tính như
sau:
A
1
D
1
jAj
0
B
B
B
@

C
A
T
(1.1)
Ví dụ 1.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D

2 3
1 4

:
Trang 18 Chương 1. Ma t rận, định thức
Ví dụ 1.34. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D
0
@
1 2 1
2 0 1
3 2 2
1
A
:
Chương 2
Hệ phương tr ình tuyến tính
2.1 Hệ phương trình tổng quát
Định nghĩa 2.1. Một hệ phương trình bậc nhất có n ẩn x
j
; j D 1; : : : ; n:
8
ˆ
ˆ
ˆ

2n
x
n
D b
1
:
:
:
:
:
: 
:
:
:
:
:
:
a
m1
x
1
C a
m2
x
2
C  C a
mn
x
n
D b

:
: 
:
:
:
a
m1
a
m2
 a
mn
1
C
C
C
A
IB D
0
B
B
B
@
b
1
b
2
:
:
:
b

<
ˆ
:
x
1
 x
2
C 2x
3
C 4x
4
D 4
2x
1
C x
2
C 4x
3
D 3
2x
2
 7x
3
D 5
Trang 20 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
2.2 Hệ Cramer
Định nghĩa 2.2. H ệ phương trình tuyến tính có số p hương trình bằng
số ẩn và định thức ma trận hệ số khác không.
Ví dụ 2.2. Kiểm xem hệ phương trình tuyến tính sau có phải là hệ
Cramer:

2
C x
3
D 5
2x
1
C 3x
2
 2x
3
D 1
x
1
C x
2
C 2x
3
D 1
2.2 Hệ Cramer Trang 21
2.2.2 Biện số nghiệm hệ n phương trình n ẩn
Cho AX D B là hệ n phương trình n ẩn có chứa tham số m: Khi đó:
Trường hợp 1. Nếu jAj ¤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Trường hợp 2. Nếu jAj D 0 và tồn tại jA
j
j ¤ 0 thì hệ vô nghiệm.
Trường hợp 3. Nếu jAj D 0 và mọi jA
j
j D 0 thì hệ vô nghiệm hoặc có
vô số nghiệm.
Ví dụ 2.4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình