MỤC LỤC
Chương 1. Đạo hàm và vi phân hàm một biến 1
1.1. Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3. Ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2. Công thức Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Vi phân - Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 2. Tích phân bất định 5
2.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Các phương pháp tính - Tích phân một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2. Bảng một số dạng tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3. Tích phân một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 3. Tích phân xác định 11
3.1. Định nghĩa - Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3 Quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1. Phép đổi biến số trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.2. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3. Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2. Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai . . . . 39
5.1.5. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1. Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2. Tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.3. Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.4. Liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo
ii
CHƯƠNG I
Đạo hàm và vi phân hàm một biến
(Số tiết: 06 (Lý thuyết: 04 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))
*) Mục tiêu
- Hiểu khái niệm về đạo hàm và vi phân cấp một, đạo hàm và vi phân cấp cao, các định lý
cơ bản của hàm khả vi.
- Biết ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng.
- Vận dụng lý thuyết về đạo hàm và vi phân của hàm số vào làm các bài tập áp dụng
.
1.1. Định nghĩa - Tính chất - Ý nghĩa hình học
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.
Cho hàm số y = f (x) xác định trong một khoảng (a, b) chứa điểm x
0
. Nếu tồn tại giới hạn
hữu hạn
lim
x→x

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f tại x
0
, kí hiệu là f

+
(x
0
).
Tương tự, xét hàm số f : (a, x
0
] → R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
∆x→0
−
f(x
0
+ ∆x) −f (x
0
)
∆x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f tại x
0
, kí hiệu là f

−
(x
0
).
1.1.2. Tính chất
1) Nếu đặt ∆x = x − x

0
. Nếu f khả vi tại x
0
thì
f(x
0
+ h) − f(x
0
) = f

(x
0
)h + 0(h) (0.1)
trong đó 0(h) → 0 khi h → 0, là một vô cùng bé bậc cao hơn h khi h → 0.
1.1.3. Ý nghĩa
1
1) Ý nghĩa cơ học: Vận tốc tức thời của chất điểm chuyển động tại thời điểm t
0
bằng đạo
hàm của quãng đường tại điểm t
0
, tức là
v(t
0
) = lim
t→t
0
s(t) − s(t
0
)

)
1.2. Cách tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm sơ cấp
1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lí 1.1.
Cho f (x), g(x) là hai hàm số xác định trên khoảng (a, b) và hàm khả vi tại x
0
∈ (a, b). Khi
đó các hàm f ± g; cf (với c bất kì thuộc R); f.g và
f
g
(nếu g(x
0
) = 0) là các hàm khả vi tại x
0
và ta có:
a)(f ± g)

(x
0
) = f

(x
0
) ± g

(x
0
)
b)(cf)


(x
0
) =
f

(x
0
)g(x
0
)−f(x
0
)g

(x
0
)
g
2
(x
0
)
.
Định lí 1.2.
Cho các hàm f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R. Giả sử f khả vi tại x
0
∈ (a, b) và g khả vi
tại y
0
= f(x
0

= f(x
0
) và g

(y
0
) =
1
f

(x
0
)
.
1.2.2. Đạo hàm một số hàm sơ cấp
1.3. Đạo hàm cấp cao
1.3.1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao
Giả sử f : (a, b) → R là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó ta xác định hàm f

: (a, b) → R
x → f

(x).
Định nghĩa 1.2.
Nếu tại x
0
∈ (a, b) hàm f

: (a, b) → R khả vi thì ta gọi đạo hàm của f


2
Nếu hàm f
(n−1)
khả vi tại x
0
∈ U thì ta gọi đạo hàm của hàm f
(n−1)
tại x
0
là đạo hàm cấp n
của f tại x
0
và kí hiệu là f
(n)
(x
0
) : f
(n)
(x
0
) = (f
(n−1)
)

(x
0
). Hàm f có đạo hàm cấpn tại x
0
còn
gọi là khả vi cấp n tại điểm đó. Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của f.


(x
0
)h, ∀h ∈ R là vi phân của hàm số f(x) tại x
0
.
Từ định nghĩa của đạo hàm và vi phân ta có:
• f(x
0
+ h) − f(x
0
) = df(x
0
)(h) + O(h)
trong đó O(h) là vô cùng bé cấp cao hơn h khi h → 0. Nếu f

(x
0
) = 0 ta có
f(x
0
+ h) − f(x
0
) ∼ df(x
0
)(h), h → 0.
• Các quy tắc của phép tính vi phân tương tự như các quy tắc tính đạo hàm.
• Kí hiệu h = ∆x, vi phân của hàm khả vi y = f (x) tại x được viết lại dưới dạng dy =
df(x) = f


n−1
f), kí hiệu là d
n
f:
d
n
f = d(d
n−1
f)
Chú ý: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một.
*) Tài liệu học tập: [2]; [4]; [1]; [6]; [7]
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
3
1.1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1) y = (1 + 4x
3
)(1 + 2x
2
) 4) y = ln(sin
2
x)
2) y = cot
2
(5x) 5) y =

x +

x +
√
x

) 5) y = e
x
ln(sinx)
3) y = ln(lnx) 6) y = x|x|
1.4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1) y = x
1
x
2) y = e
x
x
3) y = x
x
2
1.5. Chứng minh rằng hàm số y = e
x
sinx thỏa mãn y

− 2y

+ 2y = 0
1.6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1) y = xe
x
2) y = sin
2
x
3) y =
x
2

(Số tiết: 04 (Lý thuyết: 02 tiết; Bài tập, thảo luận: 02 tiết))
* Mục tiêu
- Hiểu khái niệm về nguyên hàm và tích phân bất định, các tính chất của nguyên hàm và tích
phân bất định.
- Biết nguyên hàm của các hàm cơ bản, các phương pháp tính nguyên hàm, tính nguyên hàm
của một số dạng hàm cơ bản như: hàm hữu tỉ, biểu thức chứa căn thức, hàm lượng giác
- Áp dụng được được lý thuyết vào việc giải các bài tập.
2.1. Định nghĩa - Tính chất
2.1.1. Nguyên hàm
Định nghĩa 2.1.
Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn
hay vô hạn trong tập số thực). Nếu có hàm số F xác định trên U sao cho F

(x) = f (x), ∀x ∈ U
thì F được gọi là một nguyên hàm của f trên khoảng U .
* Nhận xét.
Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng U thì F (x) + C với C là một hằng số
tùy ý cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng U. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x)
trên khoảng U đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số tùy ý.
2.1.2. Tích phân bất định
Định nghĩa 2.2.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được gọi là tích phân bất
định (không xác định) của hàm f trên U và ký hiệu là

f(x)dx
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U thì ta có:

f(x)dx = F (x) + C, C là hằng số tùy ý.
2.1.3. Tính chất
1) d


g [ϕ(x)] ϕ

(x)dx = G [ϕ(x)] + C
trong đó g(t), ϕ(x) và ϕ

(x) là những hàm số liên tục.
Điều đó có nghĩa là G [ϕ(x)] là nguyên hàm của hàm f(x) = g [ϕ(x)] ϕ

(x).
- Từ nhận xét trên ta có thể đưa một tích phân cần tính về một tích phân có thể tính được
dễ dàng hơn bằng một phép đổi biến.
- Giả sử cần tính tích phân

f(x)dx
trong đó biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
f(x)dx = g [ϕ(x)] ϕ

(x)dx
Nếu biết

g(t)dt = G(t) + C
thì ta thực hiện phép thế biến t = ϕ(x) (phải trở về biến cũ khi nhận được tích phân cần tính).
- Ngược lại để tính tích phân

f(x)dx ta có thể làm phép thay biến x = ϕ(t), trong đó ϕ(t)
là một hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong một khoảng (α, β) nào đó. Khi đó

f(x)dx =


uv

dx = uv −

vu

dx
Ví dụ 2.2. Tính tích phân

√
x
2
+ adx, trong đó a là hằng số dương
6
2.2.2. Bảng một số dạng tích phân cơ bản
2.2.3. Tích phân một số hàm cơ bản
a) Tích phân hàm hữu tỷ
*) Tích phân các phân thức đơn giản
Các biểu thức sau được gọi là các phân thức đơn giản:
I)
A
x − a
II)
A
(x − a)
k
, k = 2, 3, ···
III)
Mx + N
x

+ c, k = 2, 3, ···
III)

Mx + N
x
2
+ px + q
dx =
M
2
ln(x
2
+ px + q) +
2N − M p

4q −p
2
arctg
2x + p

4q −p
2
+ c
IV )

Mx + N
(x
2
+ px + q)
m

Biểu thức
P (x)
Q(x)
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức của x mà bậc của P(x) bé hơn bậc của
Q(x), được gọi là phân thức hữu tỷ chính quy.
Ta đã biết, mỗi phân thức hữu tỷ chính quy
P (x)
Q(x)
có thể phân tích thành tổng của một số hữu
hạn các phân thức đơn giản.
Như vậy, tích phân

P (x)
Q(x)
dx được phân tích thành tổng các tích phân của các phân thức đơn
giản.
*) Tích phân của hàm phân hữu tỷ
Biểu thức
P (x)
Q(x)
, trong đó P (x), Q(x) là các đa thức được gọi là hàm phân hữu tỷ. Một hàm
phân hữu tỷ
P (x)
Q(x)
bao giờ cũng được biểu diễn dưới dạng:
P (x)
Q(x)
= E(x) +
P
1

dx
7
b) Tích phân của biểu thức chứa căn thức
Dưới đây ta sẽ xem R(u, v) là một biểu thức hữu tỷ của các biến u và v, nói cách khác R(u, v)
là một biểu thức nhận được bằng những phép toán số học đối với u và v. Chẳng hạn
R(u, v) =
2uv + u
2
+ 2v
2
5u + u
3
v
2
còn
f(u, v) =
√
u + v + u
2
không phải là một biểu thức hữu tỷ, ta gọi đó là biểu thức vô tỷ.
*) Tính

R

x,
m

ax + b
cx + d


dx
α) Nếu tam thức ax
2
+ bx + c có hai nghiệm thực x
1
, x
2
thì ax
2
+ bx + c = a(x −x
1
)(x −x
2
)
và
R

x,
√
ax
2
+ bx + c

= R

x, (x − x
1
)

a

√
a( hoặc t =
√
ax
2
+ bx + c − x
√
a)
Cùng trong trường hợp này, khi c > 0 ta có thể đặt
√
ax
2
+ bx + c = xt ±
√
c.
c) Tích phân hàm lượng giác
Tính

R(cos x, sin x)dx trong đó R(u, v) là biểu thức phân hữu tỷ của u và v.
Bằng phép thế biến tổng quát
t = tg
x
2
, x ∈ (−π, π)
biểu thức R(cos x, sin x)dx được đưa về biểu thức vi phân của một hàm phân hữu tỷ. Ta có:
cos x =
1 − t
2
1 + t
2

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1. Áp dụng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:
a)

(1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x)dx;
b)

√
1 + x
2
+
√
1 − x
2
√
1 − x
4
dx
c)

2
x+1
− 5
x−1
10
x
dx
d)

√

dx.
2.2. Chọn phép đổi biến thích hợp, tính các tích phân sau:
a)

x
2
3
√
1 − xdx;
b)

x
2
√
1 − x
dx
c)

cos
5
x
√
sin xdx
d)

dx
√
1 + e
x
.

dx
e)

e
2x
sin
2
xdx.
2.4. Tính các tích phân sau:
a)

x
3
+ 1
x
3
− 5x
2
+ 6x
dx;
b)

x
2
+ 1
(x − 1)(x + 1)
2
dx
c)


dx
x +
√
x
2
− x + 1
c)

1 −
√
x + 1
1 +
3
√
x + 1
.
2.7. Tính tích phân:

a
1
sin x + b
1
cos x
a sin x + b cos x
dx
trong đó a
1
, b
1
, a, b là các hằng số, a

- Biết khái niệm, các tính chất, cách tính tích phân suy rộng, mối liên hệ giữa hai loại tích
phân suy rộng.
- Vận dụng được lý thuyết giải quyết các bài tập, tính được độ dài cung, diện tích hình phẳng,
thể tích vật thể,
3.1. Định nghĩa - Các tính chất
3.1.1. Định nghĩa
Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực IR với hai đầu mút a, b (không nhất thiết a ≤ b)
và xét một cách chia đoạn ∆ thành các đoạn con ∆
i
với các đầu mút x
i−1
, x
i
bởi các điểm chia
tùy ý lần lượt là
a = x
0
, x
1
, ··· , x
n
= b
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn ∆ và ký hiệu là T .
Gọi ∆x
i
= x
i
− x
i−1
.

f
(T, ξ) =
n

i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) =
n

i=1
f(ξ
i
)∆x
i
. (0.2)
Tổng σ
f
(T, ξ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn ∆ ứng với phân hoạch T và
điểm chọn ξ
1
, ξ
2
, ··· , ξ
n
với ξ


b
a
f(x)dx (nếu có) chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) dưới dấu tích phân và các cận
a, b mà không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là

b
a
f(x)dx =

b
a
f(t)dt
• Nếu f là hàm khả tích trên ∆ thì

b
a
f(x)dx = −

a
b
f(x)dx
• Đặc biệt

a
a
f(x)dx = 0, ∀a ∈ R.
Ví dụ 3.1. Tính
I =


a
f(x)dx =

c
a
f(x)dx +

b
c
f(x)dx.
2) Nếu f khả tích trên [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn con [c, d] ⊂ [a, b] .
- Tính khả tích và giá trị tích phân của hàm f : [a, b] → R không thay đổi nếu ta thay đổi
giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm.
- Cho hàm f, g : [a, b] → R là các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Khi đó, nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈
[a, b], a < b thì

b
a
f(x)dx ≥

b
a
g(x)dx
Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], a < b thì

b
a
f(x)dx ≥ 0
- Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a, b], (a < b) thì |f | cũng khả tích trên đoạn đó và


Định lí 3.1.
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì hàm số ϕ(x) =

x
a
f(t)dt có đạo hàm trên đoạn đó và ϕ

(x) =
f(x). Nói khác đi, ϕ(x) =

x
a
f(t)dt là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a, b].
Công thức Newton-Leibniz
Giả sử f : [a, b] → R là một hàm liên tục.
Khi đó ta có công thức Newton-Leibniz sau:

b
a
f(x)dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a)
với F (x) là nguyên hàm của hàm f trong [a, b].
3.2. Phương pháp tính tích phân xác định
3.2.1. Phép đổi biến số trong tích phân xác định
Giả sử
I =

b

b
a
−

b
a
u

vdx.
Ví dụ 3.2.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có

π
2
0
cos
n
xdx =

π
2
0
sin
n
xdx
13
Ví dụ 3.3. Tính các tích phân sau:
1)

a

a
f(x)dx
Chú ý: Nếu một hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) và hai
đường cong lần lượt có phương trình y = f (x), y = g(x), trong đó f, g là hai hàm khả tích trên
[a, b] thì diện tích của nó được tính theo công thức
S =

b
a
|f(x) − g(x)|dx
3.3.2. Thể tích của vật thể tròn xoay
Cho hình thang cong được giới hạn bởi

a ≤ x ≤ b
0 ≤ y ≤ f(x)
trong đó f là hàm khả tích trên [a, b] (a < b).
Khi quay hình thang cong này quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay Ω có thể tích là
V (Ω) = π

b
a
f
2
(x)dx
3.4. Tích phân suy rộng
3.4.1. Tích phân suy rộng loại 1 (trong khoảng vô hạn)
a) Định nghĩa
Cho hàm số f : [a, +∞) → R khả tích trong mọi đoạn con hữu hạn [a, A], (A ≥ a) của khoảng
[a, +∞).
Đặt

f(x)dx phân kỳ.
Định nghĩa tương tự đối với tích phân hàm f(x) trong khoảng (−∞, a] và (−∞, +∞).
b) Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng
Định lí 3.2. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ)
Giả sử f(x) là hàm số xác định trong khoảng [a, +∞) khả tích trong mọi đoạn hữu hạn
[a, A], A ≥ a. Khi đó tích phân

+∞
a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi: với mọi  > 0, tồn tại số
A
0
= A
0
() > a sao cho với mọi A

, A

> A
0
, ta có:






A

A

phân

+∞
a
[αf(x) + βg(x)] dx cũng hội tụ và ta có:

+∞
a
[αf(x) + βg(x)] dx = α

+∞
a
f(x)dx + β

+∞
a
g(x)dx
c) Cách tính tích phân suy rộng
Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trong khoảng [a, +∞), F (x) là một nguyên hàm
của hàm f(x) trong khoảng này. Khi đó ta có:

+∞
a
f(x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)|
+∞
a
Tương tự

a
−∞

a
g(x)dx
15
b) Nếu

+∞
a
f(x)dx phân kỳ thì

+∞
a
g(x)dx cũng phân kỳ.
Định lí 3.6.
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định và không âm trong khoảng [a, +∞), khả tích trong
mọi đoạn hữu hạn [a, A], A ≥ a và tồn tại giới hạn
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= k, 0 < k < +∞
Khi đó các tích phân

+∞
a
f(x)dx và

+∞
a
g(x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ.
3.4.2. Tích phân suy rộng đối với hàm không bị chặn

η→+0

b−η
a
f(x)dx tồn tại hữu hạn thì ta gọi giới hạn đó là tích phân suy rộng
loại 2 của hàm f(x) trong đoạn [a, b] và

b
a
f(x)dx hội tụ. Ngược lại, ta nói tích phân đó phân
kỳ.
Định nghĩa tương tự ta có:

b
a
f(x)dx = lim
η→+0

b
a+η
f(x)dx

b
a
f(x)dx = lim
η

→+0
η→+0



< 
c) Dấu hiệu hội tụ đối với tích phân suy rộng của hàm không âm.
Định lí 3.8.
Giả sử f (x), g(x) là các hàm xác định và không âm trong khoảng [a, b), thỏa mãn điều kiện
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b). Khi đó
16
Nếu tích phân

b
a
g(x)dx hội tụ thì tích phân

b
a
f(x)dx cũng hội tụ;
Nếu tích phân

b
a
f(x)dx phân kỳ thì tích phân

b
a
g(x)dx cũng phân kỳ.
Định lí 3.9.
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định và không âm trong khoảng [a, b). Khi đó nếu tồn tại
giới hạn:
lim
x→b−0

f(x)dx phân kỳ.
3.4.3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng
Giả sử hàm f(x) xác định trên đoạn [a, b], khả tích trên mọi đoạn [a + η, b], (0 < η < b − a)
và không bị chặn tại lân cận điểm x = a. Khi đó ta có:

b
a
f(x)dx = lim
η→0

b
a+η
f(x)dx
Bằng một phép đổi biến x = a +
1
y
ta sẽ đưa được tích phân của một hàm không bị chặn về
tích phân với cận vô hạn:

b
a
f(x)dx = lim
η→0

1
η
1
b−a
ϕ(y)dy =


1 + cosx
dx
b)

l
−l
dx
(e
x
+ 1)
x
2
+ 1 = 0
c)

π
4
0
ln(1 + tanx)dx
3.3. Chứng minh rằng nếu hàm số f

(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì

b
a
xf

(x)dx = [bf

(b) − f (b)] − [af

+ y
3
= 3axy;
b)x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
.
3.7. Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi các mặt sau:
a)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, z =
c
a
x, z = 0;
b)
x

3.9. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:
a)

+∞
1
x
m
1 + x
n
dx;
b)

+∞
A
dx

x(x − a)(x − b)
, (A > a > b > 0).
18
3.10. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau:
a)

1
0
ln x
√
1 − x
2
dx;
b)

) và ta thường gọi R
n
là không gian (thực) n chiều. Khi bộ số thực (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
được đặt tên là P thì ta viết là:
P ((x
1
, x
2
, . . . , x
n
))
và gọi nó là một điểm trong không gian R
n
Cho hai điểm P ((x
1
, x
2
, . . . , x
n
)) và Q((y
1
, y
2
, . . . , y

Ví dụ 4.1. Hàm
f : B(0, 2) → R
(x, y) → f(x, y) =
1
√
4−x
2
−y
2
là một hàm hai biến xác định trên hình cầu mở tâm 0 bán kính 2 trong R
2
4.1.3. Hàm điểm. Biểu diễn hình học của hàm hai biến
Trong mặt phẳng, mỗi điểm M được xác định bởi cặp có thứ tự hai số thực (x, y) ∈ IR
2
. Vì
thế, hàm hai biến f(x, y) có thể xem là hàm của điểm M (x, y):
f : M → f(M )
Với hệ tọa độ Oxyz, mỗi điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy cho ứng với một điểm P trong
không gian có tọa độ P (x, y, z) với z = f (x, y).
Khi M chạy khắp miền G ⊂ IR
2
, thì tập hợp các điểm P gọi là đồ thị của hàm z = f (x, y).
Miền xác định của hàm hai biến z = f(x, y) là một tập hợp phẳng nằm trong mặt phẳng
Oxy
Ví dụ 4 2.
Hàm số z =

1 − x
2
− y

nên hàm n biến có thể xem
là hàm điểm M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
4.1.5. Định nghĩa giới hạn
Ta nói rằng dãy điểm M
n
(x
n
, y
n
) ⊂ IR
2
dần tới điểm M
0
(x
0
, y
0
) ∈ IR
2
khi n → +∞ nếu
lim
n→+∞
x
n

+ (y
n
− y
0
)
2
Do đó, dãy điểm M
n
(x
n
, y
n
) ⊂ IR
2
dần tới điểm M
0
(x
0
, y
0
) ∈ IR
2
khi n → +∞ khi và chỉ khi
lim
n→+∞
ρ
n
= 0.
Định nghĩa 4.1.
Cho hàm hai biến z = f(x, y) xác định trên một lân cận V nào đó của điểm M

0
(x
0
, y
0
) khi n → +∞ ta có lim
n→+∞
f(x
n
, y
n
) = L. Khi đó ta viết
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f(x, y) = L
Hay có thể viết:
lim
x→x
0
y→y
0
f(x, y) = L
Tương tự như đối với hàm một biến, ta cũng có các định nghĩa giới hạn vô cùng và giới hạn ở
vô tận như sau:
lim
x→x


1
x
2
+ y
2

= 0
4.
lim
x→∞
y→∞

x
2
+ y
2
+ 2x

= +∞
5.
lim
x→0
y→0
x
2
y
x
2
+ y

0
f(x, y) = f (x
0
, y
0
)
Đặt ∆x = x − x
0
, ∆y = y − y
0
, ∆z = f(x, y) − f (x
0
, y
0
). Thế thì ∆z = f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) −
f(x
0
, y
0
). Ta gọi ∆x, ∆y là các số gia của các biến độc lập, còn ∆z là số gia toàn phần tương
ứng của hàm z. Khi đó, hàm z = f (x, y) được gọi là liên tục tại điểm M
0
(x
0
, y
0

0
, y
0
) là giới hạn (nếu có)
sau đây:
lim
x→x
0
f(x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
x − x
0
lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
∆x
đạo hàm riêng theo biến x được ký hiệu là

x
, y
0
) được định nghĩa tương tự bởi:
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = lim
y→y
0
f(x
0
, y) − f (x
0
, y
0
)
y −y
0
21
Nhận xét:
Dễ thấy rằng: f

x
(x
0
, y

(xem x = x
0
là hằng số)
Đối với hàm nhiều biến, ta cũng có định nghĩa tương tự
Ví dụ 4.4.
1. Cho z = x
2
y. Tính z

x
và z

y
Xem y như hằng số và tính đạo hàm theo biến x ta có z

x
= 2xy
Tương tự, xem x như hằng số và tính đạo hàm theo biến y ta có: z

y
= x
2
2. Cho hàm z = f(x, y) = x
y
, x > 0
Ta có:
∂f
∂x
(x, y) = yx
y−1


tan
y
x


x
=
1
tan
y
x

1 + tan
2
y
x


y
x


x
=
1
tan
y
x


tan
Π
4

1 + tan
2
Π
4

= −
Π
8
Xem x như hằng số, ta có:
z

y
=
1
tan
y
x

tan
y
x


y
=
1

2
+ z
2
Ta có:
z

x
=
x

x
2
+ y
2
+ z
2
z

y
=
y

x
2
+ y
2
+ z
2
z



∂z
∂x

2.
∂
2
z
∂y
2
=
∂
∂y

∂z
∂y

3.
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
∂y

∂z
∂x

4.


y
= 4y
3
− 6x
2
y
2
z

xx
= 12x
2
− 4y
3
z

yy
= 12y
2
− 12x
2
y
z

xy
= −12y
2
z


(0, 0)
Đối với hàm số này, ta không thể tìm đạo hàm riêng
∂f
∂x
;
∂f
∂y
rồi suy ra giá trị đạo hàm
riêng tại (0, 0), vì hai hàm
∂f
∂x
(x, y);
∂f
∂y
(x, y) không xác định tại (0, 0).
Do đó dùng định nghĩa ta tính các đạo hàm riêng như sau:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0) − f (0, 0)
x
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y) − f(0, 0)
y
= 0

0
).
23