Lý thuyết : Tính tích phân kép (hai lớp, bội 2) chính là tính thể tích
y  ham or const

V   Zdxdy  
D

D

 xconst
f ( x ; y )dy
  dx 
 xconst yham or const
f ( x ; y )dxdy   yconst xham or const

 dy xhamor const f ( x ; y)dx
 yconst

const

thẳng
Khi hàm Z =1 chính là tích diện tích S=  1dxdy quy ước.
D

Kiến thức cần nhớ! : Vẽ Tất cả các đồ thị đã học
y  x
 y  2x

 y  3x

+ đường thẳng : y  ax  b, a x  by  C  0   y  3x


 y   x

 y   x

2
x


y



 y    x

 y 2  2x


: ở đây là đường


Tính chất của tích phân kép :
a) Nếu f ( x ; y) là hàm lẻ đối với x ; nghĩa là : f ( x ; y)   f ( x ; y) và miền D có trục đối
xứng qua oy thì  f ( x ; y )dxdy  0
D

b) Nếu f ( x ; y) là hàm lẻ đối với y ; nghĩa là : f ( x ;  y)   f ( x ; y) và miền D có trục đối
xứng qua ox thì  f ( x ; y )dxdy  0
D





D(X;Y)

(rcos ;rsin ) r drd


Dạng : Parabol, đường thẳng :
Bài 1 :10/08/2015

x  0,y  0
Vẽ miền D : 
và tính tích phân kép của hàm số f ( x ; y)  2 x  y trên miền D
x  y  1
Giải
Vẽ hình ra
Cố định x, tính tích phân theo y

1

1 x

1


y2 1  x 
I   dx  (2 x  y )dy    2 xy 
 dx
0

0
0
0
1

   (1  y ) 2  (1  y ) y  dy 
0

1
2


Bài 2: 30/12/2008
2 x2

1

Đổi thứ tự lấy tích phân sau: I =  dx
2



f ( x ; y )dy

x

Giải
1

2 x2



2

1dx   dy
1

 2 y

2 y



1dx

 2 y

2

y

2 y 
 dy
=  x
 dy +   x






19
6

 1,333333333

 4,5


Bài 3 : Tính I 

 xy dxdy
D

Y  0

D là giao giữa 3 đường Y  X 2
X  Y  2


Giải
y  0

Phải vẽ 3 đường  y  x 2
để tìm miền D
 y  2  x


Vẽ hình ra
Cố định y, tính tích phân theo x
1



1

 (2  y)2 y y 2 
7
0  2  2  dy  24

Cố định x, tính tích phân theo y

1

x2

2

I   dx  xydy   dx
0

0

 x2
   x.

2
0


1


4  4 x  x2
2

x
x


 dx   x.
 dx   dx    x.




2
2
2
1
0
1


1 5
2  4 x  4 x 2  x3 
x
 dx
  dx   


2
2

 y2  

y  4
y 4
 2  y
4
4  2
4
4
2
 ( y  4) 2 y y 5 
x
y
(
y

4)
y






2
I =  xydxdy =  dy  xy dx  
dy   

  dy  90
 dy   


8

xydy   dx



2

 2x

2x

 xydy

x4

8
 xy 2
 xy 2 2 x 
2x 
 dx +  
= 
 dx



2
2
x











2

2 
x  x  4 

dx

2



8
 x.2 x x  x  4 2 
 x.2 x x.2 x 
I = 


 dx  0  90
 dx +  


0
0
0
x 2 6





Cố định y, tính tích phân theo x
y 6

0

I  2  dy



6

y 6

3

1dx  2  dy

0




0

Giải
Cố định y :
1

y2  y

I =  dy



0

1

f ( x ; y ) dx   dy

0

0

y2  y


0

1

 y2 


 dx = 0,833333333334
1

2
4


x

0
0
0
1
1

  x
2
4 
2
4

2

1

2

y2  y  x
1

x2 2

3

Bài 7. Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx
0

2



f ( x ; y ) dy

x 2 x  2

Giải
x2  2

3

I =  dx
0

3
 x2  2

f ( x ; y )dy     y 2
 dx   x 2  2  ( x 2  2 x  2) dx  9
 x  2x  2 
0


y 2

2

2

5

2

5
1dx   1  y  1  1  y  1  dy   1  y  1  y  2  dy
1
2
1
2

16 x 2

2

Bài 8. Đổi thứ tự tính tích phân sau : I =  dx
0



f ( x ; y ) dy

8 x  x2

4  16 y 2

12

I


0

dy


0

16  y 2

4

1dx 


12

dy


0

1




0

Giải
1

I   dy
0

3 2 y

 1dx  1,333
y

2

Bài 10: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I   dy
1

4 y

f ( x ; y )dx   dy


4 y

4

2


y

Giải

2

Bài 12: Giả sử mật độ dân số (đơn vị : ngàn người/ km ) của một thành phố được cho bởi
 x2  y 2

hàm số p(x, y)  5000e
(trong đó x,y có đơn vị km). Hãy ước lượng dân số trong
vòng bán kính 1km xunh quanh tòa nhà thị chính (được đặt ở gốc tọa độ).
Giải


Bài 13: Tính diện tích miền D

x  y  1; x  y  3
y  x ; y  2x

Giải
1
2

2x

3
2


1
2

1

 dy
x

1

1 3 1 2
  
24 8 4 3

1

Bài 14: Đổi thứ tự tính tích phân sau: I =  dx
0

2 x 2



f ( x ; y )dy

x

Giải
2 x 2


0

1

2

 ydy +  2  y dy =
0

1

2 y


0

2
 y
2 y
dx =   x  dy +   x
 dy


0
0
0
1


1

0,5

 (1  y)2

y2
 
 2(1  y)y   2yy  dy
2
2

0 
0,5
 (1  y)2

y2
2
 
 2y  2y   2y 2  dy
2
2

0 
0,5
 (1  y)2
7 
 
 2y  y 2  dy
2
2 
0 


1 x
2
I =   ( xy  y )  dx +   xy  y 2
 dx
0
0
0 
0,5 


0,5

1

I =   xx  x  dx +
2

0

0,5

2

0,5
1

I =   x  x  dx +
2


Tính tích phân I =  (3x 2 +y)dxdy ,trong đó D  (x , y)  R 2 :y  0, y  x 2 , x  y  2
D

Giải
Vẽ hình ra
Cố định y, tính tích phân theo x
1
 3
2  y
I   dy  (3x +y)dx    x  xy
 dy    (2  y)3  (2  y)y 


y 
0
0
0
y
2y

1

1

2

1




y2 2  x 
I =   3x y 
 dx +   3x y 
 dx
0
2 0 
2
0
1

1
2
(2  x) 2 
 2 2 x4 
 2
I =   3 x .x   dx +   3 x .(2  x) 
 dx
2
2


0
1
1

1

2
(2  x) 2 
 4 x4 

Bài 17: 13/06/2014
1

0  x 
Tính tích phân kép I = 10ye dxdy ,Với D: 
y
D
1 y  2

 xy

Giải
Cố định y, tính tích phân theo x
1
y



1
1
1
2
 xy
 .y
10ye



y  dy    10e y  10e0.y y  dy
I   dy  10ye xy dx   


Đổi thứ tự lấy tích phân I =  dy
1

3

2



f ( x ; y )dx

x 2 x

Giải

Bài 19:
2

Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân kép I =  dy
1

Giải
0

I =  dx  f ( x ; y )dy chưa giải
0

y 1


(2x)2
x2 
2
   x .2x  x
 x .x  x  dx
2
2 
0
2

2

 3
x3 
3
3
   2x  2x  x   dx
2
0
2

5 
   x 3  dx
2 
0
 10
Cách khác :
2

y


y y dy + 

y y  dy
 3

 3

2
2
0
2
2
2


3
2
3
2
2 3
4 3
y
y2
1 y  1 y  
2 22
1 y  1 y 
I =  
y       y  dy +    y      
 3



1 3 1 3
1 3 1 3
5
8
I =   y3 
y  y  dy +    2 y 
y  y  dy
6
24
8
3
24
8 



0
2
8
22
I=

 10
3
3


y  dy

dx


 y  dx

x
x
1
1

0
x
x
0
2
1
2

2

1



2

2




y

I =D1 +D 2 =  dy  2 ydx =  2 xy y  dy


y
0
0
2


2
y

1

1

y

=   2 yy  2
2
0
1

=  y 2dy =
0

1
3

Bài 22 : Tìm cận của tích phân kép I =  f ( x ; y )dxdy theo các thứ tự khác nhau của các biến,
D

Với D là miền được giới hạn bởi các đường: x   y 2 , y  2  x .
Giải
1

 y2

1

1
 y2 
9
2
I   dy  dx    x
dx


y

y

2
dx

2
 y  2 
2
2

 x

0
 x2 
x 
 dx
I=  y
dx +   y

  x 




x
4 
1 


1

1



0



I =  x  2   x dx +

1

2 y

I   dy 
2

y

2

1

1
 2  y
9
dx    x 2  dx   2  y  y 2 dx 
 y

2
2 
2




Cách khác :
x

1


1

I =
0

I=





4





x  x dx +  2  x  x dx
1

1,333333333 

19
6

 4,5




f ( x ; y ) dy



x 3 x

y  x 2 dxdy , Với A(1,0);B(1,0);C(1,1);D(1,1)

ABCD

1

1

1
2

BK nó giải I 2 = dx ( y  x )dy 

 

1

x

2

x2

 dx  ( x


Bài 24. Đổi thứ tự tính tích phân sau: I =  dy
0



2

e2 x dx Khó Quá

0

Giải
y2  y

1

I =  dy
0



2

e2 x dx 

0

1


4
6
0
0

y2  y  x
 y2  y 
1

 y 
2

y

1

1
1
 x
4
4
2


x

1
4

1

0
2 x2


có 5 dạng : đi thi biết dạng nào là ok
Tích Phân đường loại 2 có dạng : I  P(x,y)dx  Q(x,y)dy


L

Tích Phân đường loại 2 kín có dạng : I 

 P(x,y)dx  Q(x,y)dy
L

Nếu L là đường cong kín thì dùng công thức : Green

P  P(x, y)
P ' y 

Q  Q(x, y) Q 'x 

Đặt : 

I

  Q

/
x





+ Tính hoàn lưu trường vectơ phẳng F (x,y)  P(x,y)i  Q(x,y)j

Tính chất của tích phân kép :
a) Nếu f ( x ; y ) là hàm lẻ đối với
qua oy thì

x ; nghĩa là : f ( x ; y )   f ( x ; y ) và miền D có trục đối xứng

 f ( x ; y)dxdy  0
D

b) Nếu f ( x ; y ) là hàm lẻ đối với
qua ox thì

y ; nghĩa là : f ( x ;  y )   f ( x ; y ) và miền D có trục đối xứng

 f ( x ; y)dxdy  0
D

c) Nếu f ( x ; y ) là hàm lẻ đối với
oy thì

x ;nghĩa là : f ( x ; y )  f ( x ; y) và miền D có trục đối xứng qua

 f ( x ; y)dxdy   f ( x ; y)dxdy Với D’ là phần của D mà
D

2

L

Lấy theo chiều dương.
Giải
y
Đường tròn :

x 2  y2  1

1

-1

x

/
P  2arctanx y Py  1

Đặt 
2
/
Q  x  y
Qx  1

L là đường cong kín
P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
Áp dụng công thức Green



Giải
y
Đường tròn :

x 2  y2  1

-1

1

x


1  y2  y
2y
1

P  e2x ln y  1  y2
2
2
2x
2
1

y
1

y


1

y


  3
Q x  2  6 
2 
2
1

y
1

y



L là đường cong kín
P,Q có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
Áp dụng công thức Green

I  
D




e2x
e2x

xy







 2y dx  exy  2x  xy dy

C 

Với (C) là đường tròn

x 2  y2  1, theo chiều dương
Giải
y

x

1

-1

 Py/  e x  y  2
 P  e x  y  2 y

Đặt 
x y
Q  e  2 x  xy Qx/  e x  y  2  y

2 
2
1 
1 
 1 x 


1



1  x2
2

2

 

 1  x2
2



2


1  x 2  1  1  x 2  (1  x 2 ) 
 dx  
 dx  0
2

0
0
0
0
2

2

2

2
 r3
1
2
1
1
I   ydxdy   d r sin  dr    sin   d   sin d   cos 
0
3
0
3
3
0

D
0
0
0 
0
1