1
Trờng đại học s phạm
Khoa đo tạo giáo viên mầm non
Nguyễn Thị Tuyết Mai
Đề cơng bài giảng
Toán cơ sở
Dùng cho sinh viên chuyên ngành giáo dục mầm non
Trình độ đại học
Thái Nguyên - 2009
2
Mục lục
Bài tập chơng 5 95
Tài liệu tham khảo 96
3
lời nói đầu
Một trong những nhiệm vụ của ngời giáo viên mầm non là hình thành cho
trẻ những biểu tợng toán học sơ đẳng. Vì vậy, ngời giáo viên mầm non cần
phải nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, có kỹ năng giải toán và ứng
dụng những kiến thức đã học vào việc giáo dục trẻ.
Học phần Toán cơ sở nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán
học cơ bản, giúp cho sinh viên có vốn kiến thức cần thiết để có thể học học phần
phơng pháp hình thành biểu tợng toán học sơ đẳng cho trẻ mầm non. Đồng
thời giúp cho sinh viên có thể học tốt một số học phần: Toán thống kê, dinh d-
ỡng, phơng pháp nghiên cứu khoa học,
Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói
riêng đang trên con đờng xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất
thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có đợc một tài liệu học tập, đợc sự phê duyệt
của Ban Giám hiệu trờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên tôi đã biên
soạn đề cơng bài giảng Toán cơ sở cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ
đại học. Đề cơng bài giảng tập hợp kiến thức trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học nh số học, đại số, hình học và đợc tham khảo từ nhiều tài liệu. Nội
dung đề cơng bài giảng Toán cơ sở trình bày những kiến thức cơ bản về tập hợp,
quan hệ, ánh xạ, cấu trúc đại số, đại số tuyến tính, tập hợp số tự nhiên, hình học
giải tích và giải tích tổ hợp.
x
X
.
1.1.2. Phơng pháp biểu diễn một tập hợp
a) Phơng pháp liệt kê
Ta liệt kê đầy đủ (nếu có thể) tất cả các phần tử của tập hợp. Các phần tử
đợc viết trong dấu ngoặc { . }, phần tử nọ cách phần tử kia bởi dấu phẩy (hoặc
dấu ;).
Ví dụ: Tập hợp A có 4 phần tử a, b, c, d đợc viết dới dạng liệt kê là
{
}
,,,
A
abcd=
.
Phơng pháp liệt kê không chỉ áp dụng đối với những tập hợp có không
nhiều phần tử mà còn có thể áp dụng đối với các tập hợp có vô số phần tử. Trong
trờng hợp này ta lịêt kê một số phần tử đại diện vừa đủ để ta có thể nhận biết
đợc một đối tợng nào đó có thuộc tập hợp đó hay không.
Ví dụ: +) Tập hợp các số tự nhiên
{
}
0,1,2,3,
=
.
+) Tập hợp các số tự nhiên chẵn:
{
}
}
2|2,xx nn
=
=
.
+) Tập hợp các ớc của 15:
{
}
|;15Xxx x
=
M .
+) Tập hợp các bội của 3:
{
}
|3,Xxxnn
=
=
.
1.1.3. Các tập hợp đặc biệt
a) Tập hợp rỗng
Một tập hợp không chứa phần tử nào đợc gọi là tập rỗng, ký hiệu:
Ví dụ: +) Tập các nghiệm thực của phơng trình
2
a) Định nghĩa: Hai tập hợp A và B đợc gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B khi và
chỉ khi mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ngợc lại.
Nh vậy A = B khi và chỉ khi chúng chứa các phần tử nh nhau.
Hay
x
AxB
AB
x
BxA
=
.
b) Ví dụ: +)
{
}
{
}
|,6; |,2,3XxxxYxxxx XY= = =M M M
.
+) X là tập hợp các hình bình hành có một góc vuông, Y là tập các
hình chữ nhật thì X = Y.
1.1.5. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp
a) Định nghĩa: Cho một tập hợp X. Một tập hợp A đợc gọi là tập con (hay bộ
phận) của tập hợp X nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộc tập hợp X. Kí
hiệu
B
AAB=1.1.6. Họ các tập con của một tập hợp
a) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, các tập con của X lập thành một tập
hợp, kí hiệu
P(X) và gọi là tập các tập con của tập hợp X. Tập hợp này bao gồm
ít nhất một phần tử chính là tập X.
7
b) Ví dụ: +) Nếu
X =
thì P(X) =
{
}
.
+) Nếu
{
}
Xa=
thì P(X) =
{
}
{
}
, a
.
+) Nếu
Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trờng hợp n tập hợp:
Định nghĩa: Cho n tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít
nhất một trong n tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
đợc gọi là hợp của các tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
, kí hiệu
12
n
A
AA
.
b) Ví dụ: +)
{
}
()
(
)
A
BCABC=1.2.2. Giao của các tập hợp
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai
8
tập hợp (phần tử chung của) X, Y đợc gọi là giao của hai tập hợp X, Y, kí hiệu
XY
.
Theo định nghĩa
{|XY xxX= và }
x
Y
.
Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trờng hợp n tập hợp:
Định nghĩa: Cho n tập hợp
12
, , ,
n
A
AA
. Một tập hợp gồm các phần tử thuộc tất
cả n tập hợp
12
AA=,
A
=
+) Nếu
B
A
thì
A
BB
=
+)
A
BB A=
+)
()
(
)
A
BCABC=
1.2.3. Hiệu của hai tập hợp
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
tập hợp X nhng không thuộc tập hợp Y đợc gọi là hiệu của tập hợp X và tập
hợp Y, kí hiệu
\XY
.
Theo định nghĩa
\{|XY xx X=
B
A
thì
\;\
B
AAB
=
đợc gọi là phần bù của B trong A và
kí hiệu
\
A
A
BCB= .
9
+)
\( \ )
B
BA A= .
+) Nếu
B
A thì
\\CA CB
.
1.2.4. Tích Đề Các của hai tập hợp.
a) Định nghĩa: +) Một dãy gồm 2 phần tử a, b sắp thứ tự đợc gọi là một cặp
sắp thứ tự, kí hiệu (a, b).
+) Cho hai tập hợp X, Y khác rỗng. Một tập hợp gồm tất cả các cặp sắp thứ
AAAAAA
ììì= ìì ì
.
Tích Đề Các
XX Xììì
của n tập hợp X kí hiệu
n
X
. Tích Đề Các
2
XXXì= còn đợc gọi là bình phơng Đề Các của tập hợp X.
b) Ví dụ:
{
}
{
}
{
}
, , , 1,2 ( ,1),( ,2),( ,1),( ,2),( ,1),( ,2) ;XabcY XYaabbcc==ì=
{
}
(1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, )YX a b c a b c
ì
=
.
c) Tính chất: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
A
ì
BBB=
b) Định lý: Với các tập A, B, C bất kỳ ta có:
+)
\( ) ( \ ) ( \ )
A
BC AB AC=
+)
\( ) ( \ ) ( \ )
A
BC AB AC= 1.3. ánh xạ
1.3.1. Khái niệm ánh xạ
a) Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y. Một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x
thuộc tập hợp X với một và chỉ một phần tử kí hiệu f(x) thuộc tập hợp Y đợc
gọi là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y, kí hiệu
:
f
XY hoặc
f
XY
()
x
fxa ()
x
a
a
là một ánh xạ từ tập X đến tập Y.
+) Xét tập hợp
các số tự nhiên, tơng ứng:
2nna
là một ánh xạ từ
đến
.
+) Xét tập hợp
các số thực, tơng ứng:
2
32
x
xx
+a
là một ánh xạ
từ
đến .
11
+) Việc xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một ánh xạ từ
tập các trẻ trong lớp đến tập các chỗ ngồi của lớp đó (với điều kiện số ghế trong
XY
là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y. x
là một phần tử bất kỳ của X, A là một tập con bất kỳ của X, B là một tập con bất
kỳ của Y. Ta gọi:
+) f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại x.
+)
() { |
f
AyYxA=
sao cho
() }
f
xy
=
là ảnh của tập hợp A bởi f.
+)
1
() { | () }
f
BxXfxB
=
là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B bởi f.
b) Ví dụ: Xét ánh xạ f từ tập hợp
{
}
,,,X abcd
=
đến tập hợp
{
+)
1
(())
A
ffA
với mọi bộ phận A của X.
+)
1
(())
B
ff B
với mọi bộ phận B của Y.
1.3.3. Đơn ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ
:
f
XY đợc gọi là một đơn ánh nếu với mọi ,'
x
x
thuộc X, nếu
() (')
f
xfx=
thì
'
x
là một đơn ánh.
+) ánh xạ
2
:, 32fxxx+a
không là đơn ánh vì có
f(1) = f(2) = 0 mà rõ ràng
12
.
+) ánh xạ
,XXxx a
là một đơn ánh và gọi là ánh xạ đồng nhất của
X, kí hiệu
x
id
hoặc
1
x
.
+) Nếu
XY
thì ánh xạ
,XYxx a
là một đơn ánh và gọi là đơn ánh
chính tắc từ X đến Y hay ánh xạ nhúng chính tắc X vào Y.
1.3.4. Toàn ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ
:
f
+) Nếu
XY
thì ánh xạ
,XYxx a
không là một toàn ánh.
1.3.5. Song ánh
a) Định nghĩa: ánh xạ
:
f
XY
đợc gọi là một song ánh (ánh xạ 1 1) nếu
nó vữa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nói cách khác ánh xạ
:
f
XY
là một song
ánh nếu với mọi phần tử y thuộc tập Y có một và chỉ một phần tử x thuộc tập X
sao cho f(x) = y.
b) Ví dụ: +) ánh xạ xếp chỗ ngồi cho các trẻ trong lớp chị phụ trách là một
song ánh nếu số ghế vừa bằng số trẻ.
+) ánh xạ đồng nhất là một song ánh.
+) ánh xạ
:2,2
f
nna
là một song ánh.
+) ánh xạ
*
:,1
Một quan hệ hai ngôi trên
XX
ì
đợc gọi đơn giản là quan hệ hai ngôi trên tâp
X. b) Ví dụ: +) Tập con
{
}
(,) |Sxy xy
=
ì =
xác định quan hệ bằng nhau
trên
.
14
+) Tập con
{
}
(,) |Sxy xy=ì
xác định quan hệ nhỏ hơn hoặc
bằng n trên
.
c) Một số tính chất của quan hệ hai ngôi
Giả sử S là một quan hệ hai ngôi trên tập X.
+) S đợc gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi
x
X
, x có quan hệ S
với chính nó.
x
yXxSyySx xy =
.
+) S đợc gọi là có tính chất bắc cầu nếu
,, , ,
x
yz XxSyySz xSz
.
Ví dụ: +) Quan hệ cùng họ, quan hệ cùng tên của các cháu trong lớp Mầm non
có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
+) Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số có các tính chất phản xạ, đối
xứng, bắc cầu.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
*
các số tự nhiên khác 0 có các tính
chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
1.4.2. Quan hệ tơng đơng
a) Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X đợc gọi là quan hệ tơng
đơng trên X nếu nó có đồng thời ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
15
Quan hệ tơng đơng trên tập X thờng ký hiệu
, nếu ,
x
yX , x
+) Xét quan hệ tơng đơng trên tập các học viên của lớp mầm non là
quan hệ cùng họ thì lớp tơng đơng của phần tử Nguyễn Thị Lan là tập hợp tất
cả các học viên có họ Nguyễn.
+) Xét quan hệ tơng đơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số d
trong phép chia cho 3.
+) Lớp tơng đơng của phần tử 0 là [0] = {0, 3, 6, 9, }.
+) Lớp tơng đơng của phần tử 1 là [1] = {1, 4, 7, 10, }.
+) Lớp tơng đơng của phần tử 2 là [2] = {2, 5, 8, 11, 14, }.
*) Tính chất: Giả sử trên tập X xác định một quan hệ tơng đơng
, a, b, x, y
là các phần tử thuộc X. Ta có:
+)
[
]
aa
.
+)
[
]
a
.
+) Nếu
[
]
,
x
ya xy
.
đợc
gọi là tập thơng của X trên qua hệ tơng đơng
, kí hiệu
X
.
Theo định nghĩa:
[
]
{
}
|XaaX=
. Nh vậy mỗi phần tử của tập
thơng
X
là một lớp tơng đơng của một phần tử a của X, tức là một tập hợp
gồm tất cả các phần tử của X mà tơng đơng với a.
*) Ví dụ: +) Xét quan hệ tơng đơng trên tập số tự nhiên là quan hệ có cùng số
d trong phép chia cho 3.
[
]
[
]
[
]
{
}
+) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
*
các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ
thứ tự.
+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là một quan hệ thứ
tự.
*) Chú ý: Trong một tập sắp thứ tự X có thể xảy ra 2 trờng hợp:
17
+) Tất cả mọi phần tử của X đều nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó quan
hệ thứ tự trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần.
+) Có những phần tử của X không nằm trong quan hệ thứ tự đó, khi đó
quan hệ thứ tự trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
*) Ví dụ: +) Quan hệ nhỏ hơn hay bằng trên tập số tự nhiên là một quan hệ thứ tự
toàn phần.
+) Quan hệ chia hết cho trên tập
*
các số tự nhiên khác 0 là một quan hệ
thứ tự bộ phận bởi vì chẳng hạn 2, 3 thuộc
*
nhng không nằm trong
quan hệ chia hết cho vì 2 không chia hết cho 3 và 3 cũng không chia
hết cho 2.
+) Quan hệ bao hàm giữa các tập con của một tập hợp là quan hệ thứ tự bộ
phận. Chẳng hạn
{
,
x
X
ta có
ax
.
*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp
*
các số tự nhiên khác 0 là quan hệ
chia hết cho.
+) Tập
*
chỉ có phần tử nhỏ nhất là 1, không có phần tử lớn nhất.
+) Tập
{
}
*
1, 2, 5, 7, 35, 70A =
có phần tử lớn nhất là 70 vì 70 chia
hết cho mọi phần tử của A, phần tử nhỏ nhất là 1 vì mọi phần tử của A
đều chia hết cho 1.
+) Tập
{
}
*
2,5,7,35,70B =
a
=
.
+) Một phần tử
aX đợc gọi là phần tử tối tiểu của X nếu với mọi
,
x
X quan hệ
x
a
kéo theo
x
a
=
.
*) Ví dụ: Xét quan hệ thứ tự trên tập hợp
*
các số tự nhiên khác 0 là quan hệ
chia hết cho.
+) Tập
*
chỉ có phần tử tối tiểu là 1, không có phần tử tối đại.
+) Tập
{
}
*
k
n
A
.
19
b) Công thức
Mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập gồm k phần tử khác nhau
sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Nh vậy số các chỉnh hợp chập k của n phần
tử chính là số các cách chọn k phần tử sắp thứ tự. Vì
Chọn phần tử thứ nhất có n cách.
Chọn phần tử thứ hai có n - 1 cách.
Chọn phần tử thứ ba có n - 2 cách
Chọn phần tử thứ k -1 có n - k +2 cách.
Chọn phần tử thứ k có n k + 1 cách.
Do đó có tất cả n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1) cách chọn.
Vậy
n!
n.(n-1).(n-2) (n-k+2)(n-k+1)=
(n-k)!
k
n
A =
.
1.5.2. Hoán vị
a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử đợc gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là
n
P
n
n
C
nkk
=
.
1.5.4. Nhị thức Newton
a) Công thức nhị thức Newton
Với mọi số tự nhiên
1n ta có:
()
011222 11
.
n
nn n nnnn
nn n n n
ab Ca CabCab Cab Cb
+= + + ++ +
b) Ví dụ: +) Với n = 2, 3 ta có các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(
)
(
)
23
22 3223
2; 33ab a abb ab a ab ab b+=+ + +=+ + +
13 8
x
chia hết cho 3.
2. Hãy trình bày các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trng
a)
{
}
1,2,4,8,16,32A =21
b)
{
}
1,4,9,16,25,36, B =
c)
{
}
1,4,7,10,13,16,19A =
3. Tìm tập hợp
P(X) các tập con của tập hợp X sau:
a)
{
}
1, 3, 5X =
b)
{
}
nếu ngời x không nhiều tuổi hơn ngời y.
b)
2
x
Sy
nếu ngời x cùng giới tính với ngời y.
c)
3
x
Sy
nếu ngời x là con của ngời y.
Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?
7. Chứng minh rằng các quan hệ sau là quan hệ tơng đơng, tìm tập thơng trên
các quan hệ tơng đơng đó.
a) Quan hệ S trên tập các số nguyên
nh sau:
,,
x
yxSy
nếu
x + y chia hết cho 2.
22
b) Quan hệ S trên tập các số tự nhiên
nh sau:
,,
d)
{
}
2,3,4,8,12,16,18,24D =
9. Hãy xét xem cấc quy tắc sau có phải là ánh xạ không?
a) Quy tắc cho tơng ứng mỗi ngời với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc cho tơng ứng mỗi ngời với anh cả của mình.
c) Quy tắc cho tơng ứng mỗi tam giác với đờng tròn ngoại tiếp nó.
d) Quy tắc cho tơng ứng mỗi đờng tròn với tam giác nội tiếp nó.
e) Quy tắc lấy một số tự nhiên nhân với 4 đợc bao nhiêu trừ đi 15.
10. Cho các ánh xạ:
a)
:,25
f
nn+a . Tìm
11
(1), (3), (15); (1), (20).fff f f
b)
2
:; 54
f
xx x+a .Tìm:
11
(0), (1), (5); (10), ( 3).ffff f
c)
:;
f
Tx
+
a
diện tích tam giác x (T là tập các tam giác).
13. Có thể xếp đợc bao nhiêu số có 3 chữ số nếu có 5 thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5?
23
14. Có bao nhiêu các chọn 5 trẻ trong nhóm trẻ gồm 30 trẻ để tổ chức cho trẻ
chơi trò chơi? (Giả thiết rằng cơ hội đợc chơi của các trẻ trong nhóm là ngang
nhau và việc chọn là vô t không thiên vị).
14. Tìm khai triển Newton của:
a)
6
1
(2 )
2
x
b)
10
(1)x c)
6
1
()xy
y
+) Phép trừ trên tập số tự nhiên không là phép toán hai ngôi vì phép trừ
không là ánh xạ từ
ì tới
. Ví dụ:
(
)
3,5
ì
,
35 2
=
. Nhng
phép trừ trên tập số nguyên
, tập số hữu tỉ
, tập số thực
là phép toán hai
ngôi.
+) ánh xạ T:
()()ìììì
((a, b), (c, d))
a (a + c, b + d)
là phép toán hai ngôi trên
+) T đợc gọi là phân phối bên trái đối với R nếu
, b, c Xa
ta có
aT(bR c) = (aTb)R(aTc).
+) T đợc gọi là phân phối đối với R nếu nó vừa phân phối phải vừa phân
phối trái đối với R.
Ví dụ: Xét tập hợp số tự nhiên
, với hai phép toán cộng, nhân thông thờng.
+) Phép nhân phân phối đối với phép cộng:
,b, ca
ta có:
()abcacbc+=+
;
()ab c ab ac
+
=+
+) Phép cộng không phân phối đối với phép nhân:
()( )( )abc abac+++
.
2.1.4. Phần tử trung lập
a) Định nghĩa
số 0 là phần tử trung
lập của phép cộng (phần tử không). Số 1 là phần tử trung lập của phép nhân (phần
tử đơn vị).
c) Định lý
Nếu một phép toán hai ngôi trên tập hợp X có phần tử trung lập trái và
phần tử trung lập phải thì chúng bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử T là một phép toán hai ngôi trên tập hợp X và giả sử T
có các phần tử trung lập trái
t
e
, trung lập phải
p
e
. Theo định nghĩa
Copyright: Tài liệu đại học ©