BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C1
Đoàn Hồng Chương
1
1
Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật
Toán cao cấp C1
Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Giới hạn dãy số
1.1 Dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một tập hợp các số x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . được viết theo
một thứ tự nhất định. Kí hiệu (x
n
).
• x
1
, x
2
, . . . : số hạng. • x
n
: số hạng tổng quát.
Cách cho một dãy số
• Cho công t hức số hạng tổng quát.
• Cho công t hức truy hồi.
• Mô tả.

x
n
< x
n+1
, ∀n ∈ N
• (x
n
) được gọi là dãy số giảm nếu
x
n
> x
n+1
, ∀n ∈ N
Ví dụ 1.2. Xét tính tăng giảm của các dãy số
1. x
n
=
n
n + 1
, n = 1, 2, . . .
2. x
n
=
n + 1
n
, n = 1, 2, . . .
Giải.
1. Ta có
x
n+1

n
=
n + 2
n + 1
−
n + 1
n
= −
(n + 1)
2
− n(n + 2)
n(n + 1)
= −
1
n(n + 1)
< 0, ∀n ∈ N,
nên x
n+1
< x
n
, ∀n ∈ N. Vậy (x
n
) là dãy số giảm. 
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (x
n
).
• (x
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho
x

+ 1
, n = 1, 2, . . .
1.2 Giới hạn dãy số
Định nghĩa 1.4. Số thực a được gọi là giới hạn của dãy số (x
n
) nếu:
∀ > 0, ∃n
0
∈ N sao cho |x
n
− a| < , ∀n > n
0
. (1.1)
Kí hiệu: lim
n→∞
x
n
= a.
• Nếu dãy số (x
n
) có giới hạn thì ta nói (x
n
) hội tụ.
• Nếu dãy số (x
n
) không có giới hạn thì ta nói (x
n
) phân kì.
Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn của các dãy số
1. x




< , đúng với mọi n > n
0
.
Từ




n + 1
n
− 1




=
1
n
<  suy ra n >
1

. Chọn n
0
=

1





n + 1
n
− 1




< , ∀n > n
0
.
Điều này chứng tỏ lim
n→∞
n + 1
n
= 1. 
2. Ta dự đoán lim
n→+∞
1
2
n
= 0, do đó, từ định nghĩa suy ra với mỗi  > 0, ta
cần tìm n
0
∈ N để bất đẳng thức




1

. Chọn n
0
=

log
2
1


+ 1 thì n
0
> log
2
1

. Do
đó




1
2
n
− 0




Toán cao cấp C1
Điều này chứng tỏ lim
n→+∞
1
2
n
= 0. 
Dãy số dần đến vô cùng
Ví dụ 1.5. 1. lim

3
2

n
= +∞.
2. lim
n −2n
2
n + 1
= −∞.
1.3 Các tính chất
Định lý 1.1. Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất.
Định lý 1.2. Nếu dãy số (x
n
) có giới hạn thì nó bị chặn.
Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho 3 dãy số (x
n
), (y
n
), (z

+ . . . +
1
√
n
2
+ n

.
Giải.
Trang 6
Toán cao cấp C1
Từ
1
√
n
2
+ 1
≥
1
√
n
2
+ n
,
1
√
n
2
+ 2
≥

+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n
.
Bằng cách tương tự, ta có
1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n

2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n

= 1.
Trang 7
Toán cao cấp C1
Định lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn). Dãy tăng và bị chặn trên (hoặc dãy giảm
và bị chặn dưới) thì hội tụ.
Ví dụ 1.7. Tìm giới hạn của dãy số (x
n
) cho bởi công thức x
1
=
√
2, x
n+1
=
√

2 + 2 = 2. Vậy
x
n
< 2, ∀n ∈ N.
Tiếp theo ta chứng minh (x
n
) là dãy tăng. Ta có
x
2
n
− x
2
n+1
= x
2
n
− x
n
− 2 = (x
n
− 2).(x
n
+ 1)
Chú ý rằng x
n
> 0, ∀n ∈ N và x
n
< 2, ∀n ∈ N, do đó x
2
n

Phương trình có 2 nghiệm a = 2 và a = −1. Nghiệm a = −1 loại vì x
n
>
0, ∀n ∈ N. Vậy
lim
n→∞
x
n
= 2.
Bảng một số giới hạn cơ bản
1. lim
1
n
= 0.
2. lim q
n
= 0, với |q| < 1.
3. lim

1 +
1
n

n
= e.
4. lim
n
√
n = 1.
Trang 9

n
+ 5.6
n
3
n
+ 6
n
.
6. lim

n + 2
n + 1

n
.
7. lim

2
n
+ 1
2
n
− 1

n
.
8. lim

n
2

), n ∈ N.
4. x
1
= 1, x
n+1
=
x
n
2 + x
n
, n ∈ N.
Trang 10
Toán cao cấp C1
§2. Giới hạn hàm số
2.1 Giới hạn hàm số
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f : (a, b) → R và x
0
∈ (a, b). Số thực L được gọi là
giới hạn của hàm số f khi x dần tới x
0
nếu và chỉ nếu
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ (a, b)\{x
0
}, |x −x
0
| < δ ⇒ |f(x) −L| < . (2.1)
Kí hiệu: lim
x→x
0
f(x) = L.

1 + cos x
sin x
(dạng vô định
0
0
).
2. lim
x→0
±
√
x
3
+ x
2
x
(dạng vô định
0
0
).
Giải.
1. Ta có lim
x→π
1 + cos x
sin x
= lim
x→π
2 cos
2
x
2

1 + x, khi x > 0
−
√
1 + x, khi x < 0
.
Do đó
lim
x→0
+
√
x
3
+ x
2
x
= 1 và lim
x→0
−
√
x
3
+ x
2
x
− 1.
Giới hạn dần đến vô cùng và giới hạn t ại vô cùng
Ví dụ 2.2. Tìm các giới hạn sau
1. lim
x→±∞
2

x
1 +
3
2
x
= 1 (do lim
x→+∞
3
2
x
= 0).
lim
x→−∞
2
x
− 3
2
x
+ 3
= −1 (do lim
x→−∞
2
x
= 0).
2. Ta có
lim
x→1
+
2
1

Trang 13
Toán cao cấp C1
thì
lim
x→x
0
g ◦ f(x) = N.
Định lý 2.3. Cho f : (a, b) → R và x
0
∈ (a, b).
lim
x→x
0
f(x) = L ⇔

với mọi dãy (x
n
), nếu x
n
→ x
0
thì dãy f(x
n
) hội tụ đến L

.
Định lý 2.4 (Định lý kẹp). Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên (a, b)
và x
0
∈ (a, b).

2
sin x, S
hình quạt AOC
=
1
2
x, S
∆AOB
=
1
2
tan x.
Do đó
sin x < x < tan x.
Suy ra
cos x <
sin x
x
< 1, ∀x ∈

0,
π
2

.
Vì sin(−x) = −sin x và cos(−x) = cos x nên, khi x ∈

−
π
2

0
∈ (a, b).
lim
x→x
0
f(x) = L ⇔

lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x) = L

.
Bảng một số giới hạn cơ bản
1. lim
x→+∞
1
x
α
= 0, với α > 0.
2. lim
x→0
sin x
x
= 1.

ln(1 + x)
x
= 1.
8. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
(0 < a = 1).
Trang 16
Toán cao cấp C1
BÀI TẬP
Bài tập 2.1. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→3
x
2
− 9
x
2
− 7x + 12
.
2. lim
x→0
4x
√

√
x
3
+ 1 − 1
x
.
8. lim
x→
π
2

π
2
− x

tan x.
Bài tập 2.2. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
x. cot x.
2. lim
x→0
ln
√
x
2
+ 1
√
x
2

3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1 (Vô cùng bé). Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) và
x
0
∈ (a, b). Ta nói f(x) là đại lượng vô cùng bé, viết tắt là VCB, khi x → x
0
nếu
lim
x→x
0
f(x) = 0. (3.1)
Định nghĩa 3.2 (Vô cùng lớn). Cho hàm số f(x) các định trên khoảng (a, b) và
x
0
∈ (a, b). Ta nói f(x) là đại lượng vô cùng lớn, viết tắt là VCL, khi x → x
0
nếu
lim
x→x
0
|f(x)| = +∞. (3.2)
Ví dụ 3.1. Biểu thức nào sau đây là VCB, VCL?
1. f(x) =
5
√
1 −x −1 khi x dần đến 0.
2. f(x) =

3
2

g(x)
= ∞. (3.4)
Định nghĩa 3.4 (VCB tương đương). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x
0
.
Ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x → x
0
, kí hiệu f(x) ∼ g(x), nếu
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 1. (3.5)
Ví dụ 3.2. Hãy so sánh cấp của các VCB sau
1. f(x) = ln(1 + x
2
), g(x) = x
2
khi x → 0.
Trang 19
Toán cao cấp C1
2. f(x) = ln(cos x), g(x) = −
x
2
2
khi x → 0.
3. f(x) = 1 −
√
1 −4x

= 1, ta suy ra
lim
x→0
ln(1 −x)
x
= −1.
Thêm nữa, cos x = 1 − 2 sin
2
x
2
và lim
x→0
sin x
x
= 1, nên
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
ln(cos x)
−
x
2
2
= lim
x→0
ln(1 −2 sin
2

x→0
1 −
√
1 −4x
2
√
1 + 2x −1
= lim
x→0
4x
2
2x
.
√
1 + 2x + 1
1 +
√
1 −4x
2
= 0.
Vậy 1 −
√
1 −4x
2
là VCB cấp cao hơn
√
1 + 2x + 1 khi x → 0.
Định nghĩa 3.5 (So sánh các VCL). Cho f(x) và g(x) là các VCB khi x → x
0
.

1
x
, g(x) =
1
tan x
khi x → 0.
2. f(x) =
√
x + x
2
− x, g(x) =
√
x
2
+ 1 + x
2
khi x → −∞.
Giải.
1. Ta có lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
tan x
x
= 1, nên f(x) ∼ g(x) khi x → 0.
2. Ta có
f(x)
g(x)

+ 1
x −

1 +
1
x
2
(vì x < 0).
Do đó
lim
x→−∞
√
x + x
2
− x
√
x
2
+ 1 + x
2
= lim
x→−∞
−

1 +
1
x
+ 1
x −


g
1
(x)
.
Định lý 3.2 (Qui tắc ngắt VCB). Cho f, g là các VCB khi x → x
0
. Nếu f(x) là
VCB cấp thấp hơn g(x) khi → x
0
thì f(x) + g(x) ∼ f(x).
Ví dụ 3.4. Tìm các giới hạn
1. lim
x→0
1 −cos x
x
2
. 2. lim
x→0
1 −cos 4x
x. tan 2x
.
3. lim
x→0
sin
2

x
√
x
x

(4x)
2
2
và tan 2x ∼ 2x khi x → 0. Do đó
lim
x→0
1 −cos 4x
x. tan 2x
= lim
x→0
(4x)
2
2
x.2x
= 4.
3. Áp dụng công thức sin x ∼ x khi x → 0 ta có sin
2

x
√
x ∼ (

x
√
x)
2
khi
x → 0.
Ta lại có x
2

√
x)
2
x
3
2
= 1.
Định lý 3.3 (Dạng vô định
∞
∞
). Cho f, g là các VCL khi x → x
0
.
Nếu f(x) ∼ f
1
(x) và g(x) ∼ g
1
(x), thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
1
(x)
g
1