ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 1
TO
TO
Á
Á
N CAO C
N CAO C
Ấ
Ấ
P C1
P C1CAO Đ
CAO Đ
Ẳ
Ẳ
NG
NG
PHÂN PH
PHÂN PH
Ố
Ố
I CHƯƠNG TRÌNH
I CHƯƠNG TRÌNH
S
S
ố

i
i
gi
gi
ả
ả
ng
ng
To
To
á
á
n
n
C
C
1
1
CĐ
CĐ
t
t
ạ
ạ
i
i
dvntailieu.wordpress.com
dvntailieu.wordpress.com
Biên
Biên


1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp

(bậc Cao đẳng)
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.

2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 1, 2

(Dùng cho SV Cao đẳng)
–NXB Giáo dục.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ

với
( )
x y f x
=
֏
là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D
f
, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
{
}
( )
G y f x x X
= = ∈
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s

flà
song ánh
.

VD 1.
a) Hàm số
:
f
→
ℝ ℝ
thỏa
( ) 2
x
y f x
= =
là đơn ánh.
b) Hàm số
: [0; )
f
→ +∞
ℝ
thỏa
2
( )
f x x
=
là toàn ánh.

H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Nhận xét

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.

–

2( 1) 1
y x x
= + − −
là hàm hợp của
2
( ) 2
f x x x
= −
và
2
( ) 1
g x x
= +
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố

Nhận xét

–
Đồ thị hàm số
1
( )
y f x
−
=

đối xứng với đồ thị của
hàm số
( )
y f x
=
qua
đường thẳng
y x
=
.
VD 3. Cho
( ) 2
x
f x
=
thì
1
2
( ) log
f x x

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
1.2. Hàm số lượng giác ngược

1.2.1. Hàm số
y =
arcsin

x

• Hàm số
sin
y x
=
có hàm ngược trên
;
2 2
 
π π
 
−
 
 

arcsin( 1)
2
π
− = −
; 3
arcsin
2 3
π
=
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m

− → π

arccos
x y x
=
֏
.

VD 5.
arccos 0
2
π
=
;

arccos( 1)
− = π
;

3
arccos
2 6
π
=
;
1 2
arccos

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

1.2.3. Hàm số y = arctan x
• Hàm số
tan
y x
=
có hàm ngược trên
;
2 2
 
π π


−


.

VD 6.

arctan 0 0
=
;
arctan( 1)
4
π
− = −
; arctan 3
3
π
=
.

Quy ước.
(
)
(
)
arctan , arctan .
2 2

n
s
s
ố
ố

1.2.4. Hàm số y = arccot x
• Hàm số
cot
y x
=
có hàm ngược trên
(0; )
π
là

1
: (0; )
f
−
→ π
ℝcot
x y arc x
=
֏
.




Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s

< − < δ
thì
( )
f x L
− < ε
.
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
0
[ ; ]
x x a b
→ ∈
,
ký hiệu
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
, nếu mọi dãy {x
n
} trong
0
( ; ) \ { }
a b x
mà
0

ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi
x
→ +∞
,
ký hiệu
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
, nếu
0
∀ε >
cho trước ta tìm
được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì
( )

lim ( )
x x
f x
→
= +∞
, nếu
0
M
∀ >
lớn tùy ý cho
trước ta
tìm được
0
δ >
sao cho khi
0
0
x x
< − < δ

thì
( )
f x M
>
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 3


ố
• Tương tự, ký hiệu
0
lim ( )
x x
f x
→
= −∞
, nếu
0
M
∀ <
có
trị
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được
0
δ >

sao cho
khi
0
0
x x
< − < δ
thì
( )
f x M
<
.
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

0
x x
→
với
0
x x
<
thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu
0
0
lim ( )
x x
f x L
→ −
=
hoặc
0
lim ( )
x x
f x L
−
→
=
.
Chú ý.
0
0

t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
2.2. Tính chất
Cho
0
lim ( )
x x
f x a
→
=
và
0
lim ( )
x x
g x b
→
=
. Khi đó:
1)
0

g x b
→
= ≠
;
5) Nếu
0 0
( ) ( ), ( ; )
f x g x x x x
≤ ∀ ∈ − ε + ε
thì
a b
≤
.
6) Nếu
0 0
( ) ( ) ( ), ( ; )
f x h x g x x x x
≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε
và

0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x L
→ →
= =
thì
0
lim ( )
x x

n
n
s
s
ố
ố
Định lý
• Nếu
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x a v x b
→ →
= > =
thì:
0
( )
lim [ ( )] .
v x b
x x
u x a
→
=

VD 1. Tìm giới hạn
2
1
2
lim
3

L
=
; D.
0
L
=
.
Các kết quả cần nhớ
1)
0 0
1 1
lim , lim
x x
x x
− +
→ →
= −∞ = +∞
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m

n n
m m
x
m m
a x a x a
L
b x b x b
−
−
−
→∞
−
+ + +
=
+ + +
, ta có:
a)
n
n
a
L
b
=
nếu
n m
=
;
b)
0
L

1
lim 1 lim 1 .
x
x
x x
x e
x
→±∞ →
 


+ = + =





 



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m

L
x
→∞
 


= + 




 
+
.
A.
L
= ∞
; B.
3
L e
=
; C.
2
L e
=
; D.
1
L
=
.

.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s

3
( ) tan sin 1
x x
α = −
là VCB khi
1
x
−
→
; 2
1
( )
ln
x
x
β =
là VCB khi
x
→ +∞
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 4


Chương

b) Tính chất của VCB

1)
Nếu
( ), ( )
x x
α β
là các VCB khi
0
x x
→
thì

( ) ( )
x x
α ± β
và
( ). ( )
x x
α β
là VCB khi
0
x x
→
. 2) Nếu
( )
x

x
α
là

VCB khi
0
x x
→
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t

x
k
x
→
α
=
β
.Khi đó:

– Nếu
0
k
=
, ta nói
( )
x
α
là VCB cấp cao hơn
( )
x
β
,

ký hiệu
( ) 0( ( ))
x x
α = β

1
k
=
, ta nói
( )
x
α
và
( )
x
β
là các VCB
tương đương, ký hiệu
( ) ( )
x x
α β
∼
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m

x
→
vì:
2
2 2
0 0
2 sin
1 cos 1
2
lim lim
2
4
2
x x
x
x
x
x
→ →
−
= =
 







 

ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Tính chất của VCB tương đương khi x → x
0
1)
( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))
x x x x x x
α β ⇔ α − β = α = β
∼
.
2) Nếu
( ) ( ), ( ) ( )
x x x x
α β β γ
∼ ∼
thì
( ) ( )
x x

α β
là tổng các VCB khác cấp khi
0
x x
→
thì
0
( )
lim
( )
x x
x
x
→
α
β
bằng giới hạn tỉ số hai VCB
cấp thấp
nhất

của tử và mẫu.



Chương
Chương
1.
1.
H
H

x
x x
L
x x
→
− +
=
+
.
Chú ý. Nếu
( )
u x
là VCB khi
0
x
→
thì ta có thể thay
x
bởi
( )
u x
trong 8 công thức trên.
•
Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
1)
sin
x x
∼
; 2)
tan

+
∼
; 8)
1 1
n
x
x
n
+ −
∼
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m

− −
→ →
+ − − + −
=2
0
( )
lim 0
x
x x
x
→
+ −
= =
(Sai!).

VD 4. Tính giới hạn
2
2
0
ln(1 2 sin )
lim
sin .tan
x
x x
L
x x
→

1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa

3
2
1
cos 4 3
x x
x x
+ −
− +
là VCL khi
x
→ +∞
.
Nhận xét
. Hàm số
( )
f x
là VCL khi
0
x x
→
thì

1
( )
f x
là VCB khi
0
x x
→
.

ố
ố

b) So sánh các VCL
•
Định nghĩa Cho
( ), ( )
f x g x
là các VCL khi
0
x x
→
,
0
( )
lim
( )
x x
f x
k
g x
→
=
.

Khi đó:
– Nếu

là các VCL

cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu
1
k
=
, ta nói
( )
f x
và
( )
g x
là các VCL tương đương. Ký hiệu
( ) ( )
f x g x
∼
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à

là VCL khác cấp với
3
1
2
x x
+
khi
0
x
→
vì:
3
3 3 3 3
0 0 0
3 1 2
lim : 3 lim 3 lim
2
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
 
+


 = = = ∞





m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 9. Tính các giới hạn:
3
3
cos 1
lim
3 2
x
x x
A
x x
→∞
− +
=
+
;
của tử và mẫu.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế

0
nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
.

• Hàm số
f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi

điểm
0
x X
∈
.

Quy ước•
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x).


Chương
Chương
1.

0
nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
=
(
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
→
=
).
• Định lý
Hàm số f(x) liên tục tại x
0
nếu
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( ).
x x x x
f x f x f x
− +

H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

VD 1. Cho hàm số
2 2
3 tan sin

=
là:
A.
0
α =
; B.
1
2
α =
; C.
1
α =
; D.
3
2
α =
.

VD 2. Cho hàm số
2 2
ln(cos )
, 0
( )
arctan 2
2 3, 0
x
x
f x
x x
x

α = −
; C.
3
2
α = −
; D.
3
2
α =
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ

( )
f x
.

• Nếu tồn tại các giới hạn
:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
−
→
= ,
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
+
→
=

nhưng
0
( )
f x
−

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n

của
0
( ; )
x a b
∈
. Giới hạn:
0 0
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆

(nếu có) được gọi là đạo hàm của
( )
y f x
=
tại
0
x
.

Ký hiệu là

phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Nhận xé
t. Do
0
x x x
∆ = −
nên:


b) Đạo hàm một phía Cho hàm s
ố

( )
y f x
=
xác
đị
nh trong
lân cận
phải

0
( ; )
x b
c
ủ
a
0
x
. Gi
ớ
i h
ạ
n
0

x
.

Ký hi
ệ
u là
0
( )
f x
+
′
. T
ươ
ng t
ự
,
0
( )
f x
−
′
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph

n
n
s
s
ố
ố
VD 1. Cho
3
( ) (0)
f x x f
′
= ⇒ = ∞
,

( ) (0 )
f x x f
+
′
= ⇒ = +∞
.

c) Đạo hàm vô cùng

• Nếu tỉ s
ố
y
x
∆
→ ∞
∆

thì tiếp
tuyến tại
0
x
của đồ thị
( )
y f x
=
song song với trục
Oy
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi

( )
u v u v
′ ′ ′
± = ±
;
( )
uv u v uv
′ ′ ′
= +
;

2
,
k kv
k
v
v
′
 
′
−


= ∈





 

=
hay
( ) ( ). ( )
y x y u u x
′ ′ ′
=
.

3) Đạo hàm hàm số ngược của
( )
y y x
=
:
1
( )
( )
x y
y x
′
=
′
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 7


Chương
Chương

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1)
(
)
1
.
x x
α α−
′
= α
; 2)
(
)
1
2
x
x
′
=

=
6)
(
)
2
1
cot
sin
x
x
′
= −
;

2
1 tan
x
= +
;


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p

s
ố
ố

7)
(
)
x x
e e
′
=
; 8)
(
)
.ln
x x
a a a
′
=
; 9)
(
)
1
ln x
x
′
=

arccos =
1
x
x
−
′
−
; 13)
(
)
2
1
arctan
1
x
x
′
=
+
; 14)
(
)
2
1
cot
1
arc x

à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
1.3
. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

• Cho hàm số
( )
y f x
=
có phương trình dạng tham số

( ), ( )

của hàm số cho bởi
2
3
2 1
, 0
4
x t
t
y t


= −


≠


=



.

VD
3. Tính
(1)
x
y
′
của hàm số cho bởi

t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố

n n
f x f x
−
′
=
là đạo hàm cấp n của
( )
f x
.
VD 4. Cho hàm số
2
( ) sin
f x x
=
. Tính đạo hàm
(6)
(0)
f
.
A.
(6)
(0) 32
f
=
; B.
(6)
(0) 32
f
= −
;

vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 5. Tính
( )
( )
n
f x

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n


• Đạo hàm hai
vế (*) theo
x
, ta được
. 0
x y x
F F y
′ ′ ′
+ =
.

Vậy
, 0.
x
x y
y
F
y F
F
′
′ ′
= − ≠
′( )
x
y x y
′ ′

phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
Ta có thể xem hàm ẩn
( )
y x
như hàm hợp
( )
u x

.
VD 7. Cho hàm ẩn
( )
y x
xác định bởi
0
x y
xy e e
− + =
.
Tính
( )
y x
′
.
VD 9
. Cho hàm ẩn
( )
y x
xác định bởi:
2 2
ln arctan
y
x y
x
+ =
. Tính
( )
y x
′

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§2. VI PHÂN
2.1. Vi phân cấp một
• Hàm số
( )
y f x
=
được gọi là khả vi tại
0
f
x D
∈
nế
u
0 0 0
( ) ( ) ( )

0
. Ký hiệu
0
( )
df x
hay
0
( )
dy x
.
Nhận xét

•
0
( ) . 0( )
f x A x x
∆ = ∆ + ∆
0
( )
0( )
f x
x
A
x x
∆
∆
⇒ = +
∆ ∆



ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

0
0
0
( )
( )
x
f x
A f x A
x
∆ →
∆
′
⇒   → ⇒ =
∆
.


0
1
x
= −
.
VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số
ln(arcsin )
2
x
y
=
.

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của
2
arctan( 1)
y x
= +
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p

s
ố
ố
2.2. Vi phân cấp cao
• Giả sử
( )
y f x
=
có đạo hàm đến cấp n thì
1 ( )
( )
n n n n
d y d d y y dx
−
= =

được gọi là vi phân cấp n của hàm
( )
y f x
=
.
VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số
ln(sin )
y x
=
.
VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số
2
x
y e

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n


tại
0
x
trong
( ; )
a b
thì
0
( ) 0
f x
′
=
. 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số
( )
f x
liên tục trong
[ ; ]
a b
và khả vi trong
( ; )
a b
. Nếu
( ) ( )

nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

3.1.3. Định lý Cauchy


g b g a g c
′
−
=
′
−
3.1.4. Định lý Lagrange

Cho hàm số
( )
f x
liên tục trong
[ ; ]
a b
, khả vi trong
( ; )
a b
.
Khi đó,
( ; )
c a b
∃ ∈
sao cho:
( ) ( )
( ).
f b f a
f c

phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

3.2. Cực trị của hàm số

3.2.1. Hàm số đơn điệu
và
1 2
x x
≠
.
•
( )
f x
được gọi là giảm (nghịch biến) trong
( ; )
a b
nếu
1 2
1 2
( ) ( )
0
f x f x
x x
−
<
−
,
1 2
, ( ; )
x x a b
∀ ∈
và
1 2
x x
≠

nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
•
Nếu

′
> ∀ ∈
thì
( )
f x
tăng trong
( ; )
a b
.
• Nếu
( ) 0, ( ; )
f x x a b
′
< ∀ ∈
thì
( )
f x
giảm trong
( ; )
a b
.
VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của
2
ln( 1)
y x
= +
.
VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của
2
2

Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t

<

hay
0
( ) ( )
f x f x
>
,
0
( ; )\ { }
x a b x
∀ ∈
thì
( )
f x
đạt cực tiểu

hay cực đại tại
0
x
.

b) Định lý Cho
( )
f x
có đạo hàm đến cấp
2

f x
>
thì
( )
f x
đạt cực tiểu tại
0
x
.
• Nếu
(2 )
0
( ) 0
n
f x
<
thì
( )
f x
đạt cực đại tại
0
x
.

VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của
4
( )
f x x
=
,

à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
a) Định nghĩa
Cho hàm số
( )
y f x
=
có MXĐ
D
và
X D
⊂

f x
trên
X
nếu:

0 0
: ( )
x X f x m
∃ ∈ =
và
( ) ,
f x m x X
≥ ∀ ∈
.
Ký hiệu là:
min ( )
x X
m f x
∈
=
.
Chú ý
•
H
àm số có thể không đạt max hoặc min trên
X D
⊂
.



ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Nếu
max ( )
x X
M f x
∈
=
và
min ( )
x X
m f x
∈
=
thì:
( ) ,
m f x M x X
≤ ≤ ∀ ∈
.

x a b
f x
∈
, ta thực hiện các bước sau:

• B
ướ
c 1. Giải phương trình
( ) 0
f x
′
=
. Giả sử có
n

nghiệm
1
, , [ ; ]
n
x x a b
∈
(loại các nghiệm ngoài
[ ; ]
a b
).

• B
ướ
c 2. Tính
1

vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
3
( ) 3

f x g t
∈ ∈
=
,
min ( ) min ( )
x X t T
f x g t
∈ ∈
=
.
VD 7. Tìm max, min của
2
( ) 5 6
f x x x
= − + +
.
VD 8. Tìm max, min của
2
sin 1
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)
Cho hàm
( )
y f x
=
liên tục trên
( ; )
a b
(
,
a b
có thể là
∞
).
Để tìm


• Bước 2. Tính
1
( ), , ( )
n
f x f x
và hai giới hạn
1 2
lim ( ), lim ( )
x a x b
L f x L f x
+ −
→ →
= =
.
• Bước 3. Kết luận:
1) Nếu
1 1 2
max{ ( ), , ( )} max{ , }
n
f x f x L L
>
thì
1
( ; )
max max{ ( ), , ( )}
n
x a b
f f x f x
∈

m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
Ta có thể lập bảng biến thiên của
( )
f x
thay cho bước 3.
VD 10. Tìm max, min của
2
( )
2 1
x
f x
x
=
+ −

−
trên khoảng
(1; )
+∞
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à

1
n
+
trên
( ; )
a b
với
0
, ( ; )
x x a b
∈
ta có:
( )
0
0 0
0
( )
( ) ( ) (( ) ).
!
k
n
k n
k
f x
f x x x O x x
k
=
= − + −
∑


nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Vậy:
( )

x O x
n
= + + +
+ +VD 1. Khai triển Maclaurin của
( ) tan
f x x
=
đến
3
x
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í

2
1
1 0( )
1
n n
x x x x
x
= + + + + +
−
.
2)
2
1 0( )
1! 2! !
n
x n
x x x
e x
n
= + + + + +
.
3)
2 3 4
ln(1 ) 0( )
1 2 3 4
n
x x x x
x x
+ = − + − + +
.

t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s

VD 3. Khai triển Maclaurin của
2
ln(1 2 )
y x
= −
đến
6
x
.
VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số
2
x
y
=
đến
4
x
.
VD 5. Cho hàm số
( ) cos2
f x x x
=
. Tính
(7)
(0)
f
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§5. QUY TẮC L’HOSPITAL
VD 1
. Tìm giới hạn
2
0
2
lim
x x
x
e e
L
x
−
→
+ −

( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
có dạng
0
0
hoặc
∞
∞
thì:
0 0
( ) ( )
lim lim .
( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
→ →
′
=
′

Chú ý

Ta c
ó thể áp dụng

à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 3. Tìm giới hạn
(
)
3
0
lim ln
x
L x x
+
→

L
x x
→
−
=
.
A.
0
L
=
; B.
L
= ∞
; C.
1
2
L
=
; D.
1
3
L
=
.


Chương
Chương
3.
3.

t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số
( )
F x
được gọi là một nguyên hàm của
( )
f x

trên
khoảng
( ; )
a b


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m


3)
( ) ( )
d
f x dx f x
dx
=
∫

4)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫
.
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1)
. , aa dx ax C
= + ∈
∫
ℝ

2)
1
, 1
1
x
x dx C
α+
α

h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

3)
ln
dx
x C
x
= +
∫

; 8)
sin cos
xdx x C
= − +
∫

9)
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫
; 10)
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫11)
2 2
1
arctan

p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi

= +
∫15)
ln tan
cos 2 4
dx x
C
x
 
π


= + +





 
∫16)
2
2
ln
dx
x x a C

í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 1. Tính
2
4

ln
2 2
x
I C
x
−
= +
+
; D.
1 2
ln
2 2
x
I C
x
+
= +
−
.
VD 2. Tính
2
6
dx
I
x x
=
− −
∫
.


m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 3. Tính
ln 1
dx
I
x x
=
+
∫
.
VD 4. Tính
2
3 ln
dx

′
ϕ ϕ = ϕ +
∫



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân

hay
.
udv uv vdu
= −
∫ ∫

VD 6. Tính
ln
I x xdx
=
∫
.
VD 7. Tính
2
x
x
I dx
=
∫
.

Chú ý

Đối với nhiều tích phân khó thì
ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.


Chương
Chương

ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 8. Tính
3 sin
cos
x
I x e dx
=
∫
.

b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp

•
Đối với dạng tích phân
( )
x
P x e dx

Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ

=
).

Lập tổng tích phân:
1
1
( )( )
n
k k k
k
f x x
−
=
σ = ξ −
∑
.
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2
.1. Định nghĩa
.
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ; ]
a b
.
Ta c
hia đoạn

trên đoạn
[ ; ]
a b
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân

k f x dx k f x dx k
= ∈
∫ ∫
ℝ2)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫3)
( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx
= = −
∫ ∫ ∫4)
( ) ( ) ( ) , [ ; ]
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b
= + ∈

í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s

b
a
m b a f x dx M b a
⇒ − ≤ ≤ −
∫9) Nếu
( )
f x
liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
thì
[ ; ] : ( ) ( )( )
b
a
c a b f x dx f c b a
∃ ∈ = −
∫
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
2.2. Công thức Newton – Leibnitz
• Nếu
( )
f x
liên tục trên
[ ; ]
a b
và
( )
F x
là một nguyên hàm

tùy ý của
( )
f x
thì:
( ) ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi

( ) 2 ( )
f x dx f x dx
α α
−α
=
∫ ∫
.

4) Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta dùng bảng xét dấu của
( )
f x
để
tách
( )
f x
ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 2. Tính
0
cos
I x x dx
π
=
∫
.
VD 3.
Tính
1
2 3
1
1.sin
I x x dx
−
= +
∫
.
VD 1.

t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

n
π π


−




= =

 −π





∫ ∫
leû
chaün

Trong đó:
0 !! 1 !! 1
= =
;
2 !! 2; 3 !! 3; 4 !! 2 .4
= = =
;
5 !! 1.3 .5; 6 !! 2 .4 .6; 7 !! 1.3.5 .7;
= = =

t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

S
S
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 14


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch

4
y x
=
.
A.
1
15
S =
; B.
2
15
S =

C.
4
15
S =
; D.
8
15
S =
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
x y
=
và
2
y x
= −
.
VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
1
x
y e
= −
,
2
3
x

3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m

= =
với
[ ; ]
t
∈ α β
thì:
( ). ( ) .
S y t x t dt
β
α
′
=
∫



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í

ố
ố
VD 5. Tính độ dài cung parabol
2
2
x
y =
từ gốc tọa độ
O(0; 0) đến điểm
1
1;
2
M
 







 
.

3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát
Cho cung


t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n

[ ( )] [ ( )] .
AB
l x t y t dt
β
α
′ ′
= +
∫VD 6
.
Tính độ dài
c
u
ng
C
có phương trình
:

2
2
1
, 0; 1
ln 1
x t
t
y t t



Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t

3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay

a) Vật thể quay quanh Ox

Thể tích
V
của vật thể do miền phẳng
S
giới hạn bởi

( ), 0
y f x y
= =
,
x a
=
,
x b
=
quay quanh
Ox
là:
2
[ ( )] .
b
a
V f x dx
= π
∫


h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng
S giới hạn bởi
2
2 , 0
y x x y
= − =

quay xung quanh

[ ( )] .
d
c
V g y dy
= π
∫



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch

= −
được viết lại:
2 2
2 ( 1) 1
y x x x y
= − ⇔ − = −

1 1 , 1
1 1 , 1
x y x
x y x

= + − ≥

⇔

= − − <


.

1
1
3
0
0
8 8
4 1 (1 )
3 3
y dy y

é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t

VD 9
.Chú ý Thể tích V của vật thể do miền phẳng S
giới hạn bởi
( )
y f x
=
,
0
y
=
,
x a
=
và
x b
=
quay xung quanh
Oy

còn được tính theo công thức:
2 ( ) (*).
b
a
V xf x dx

h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
4.1.1. Định nghĩa
• Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ; )
a

a a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
=
∫ ∫



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch

ự

h
ộ
i

t
ụ

v
à

t
ính

g
i
á

t
r
ị

h
ộ
i

t
ụ


b
b
a
a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
−∞
→−∞
=
∫ ∫

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân
hội tụ
,
ngược lại là
tích phân
phân kỳ
.



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Trường hợp α khác 1:

1
1
1
1
lim lim
1
b
b
b b
dx
I x
x
−α
α
→+∞ →+∞
 


= =

α −

− α

+ ∞ α <



Giải • Trường hợp α = 1:
1
1
lim lim ln
b
b
b b
dx
I x
x
→+∞ →+∞
 


= = = +∞




 
∫
(phân kỳ).

3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ

x
+∞
−∞
=
+
∫
.
Vậy
 Với
1
α >
:
1
1
I =
α −
(hội tụ).
 Với
1
α ≤
:
I
= +∞
(phân kỳ).


Chương
Chương
3.
3.

t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
• Nếu tồn tại
lim ( ) ( )
x
F x F
→+∞
= +∞
, ta dùng công thức:
( ) ( )
a
a
f x dx F x
+∞
+∞
=
∫
.
• Nếu tồn tại

3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ

∫
hội tụ.
• Các trường hợp khác tương tự
.

VD 4.
Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a tích phân
10
1
x
I e dx
+∞
−
=
∫
.


Chương
Chương
3.
3.

t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
b) Tiêu chuẩn 2
• Nếu
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ (
ngược lại
không đúng).
• Các trường hợ
p khác tương tự

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi

0
k
< < +∞
thì:
( )
a
f x dx
+∞
∫
và
( )
a
g x dx
+∞
∫
cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
 Nếu
0
k
=
và
( )
a
g x dx
+∞
∫
hội tụ thì
( )
a
f x dx

h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
 Nếu
( )
a
k
g x dx
+∞


= +∞

+∞
=
+ +
∫
.
Chú ý
• Nếu
( ) ( ) ( )
f x g x x
→ +∞
∼
thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
và
( )
a
g x dx
+∞
∫
có cùng tính chất.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 17



m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân
1
1 sin
dx
I
x x
+∞
=
+ +
∫
.

VD 8. Điều kiện của
α

α
để
2
4
1
( 1)
2 3
x dx
I
x x
+∞
α
+
=
+ −
∫
hội tụ?


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t

n
s
s
ố
ố
4.2. Tích phân suy rộng loại 2
4.2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ; )
a b
và không xác định

tại
b
, khả tích trên mọi đoạn
[ ; ] ( 0)
a b
− ε ε >
.
Giới hạn (nếu có) của
( )
b
a
f x dx
−ε
∫
khi

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi

=
∫ ∫
(suy rộng tại
a
,
b
).
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân
hội tụ
,
ngược lại là
t
ích

p
h
â
n

phân kỳ
.

VD 10. Khảo sát sự hội tụ của
0
, 0
b
dx
I b
x

Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m

ε→ ε→ ε→
ε
ε ε
 


= = =





− α
 
∫ ∫

( )
1
1 1
0
1
, 1
lim
1
1
, 1.
b
b
−α
−α −α

 Với
1
α ≥
:
I
= +∞
(phân kỳ).


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch

6
3
1 9
dx
I
x
=
−
∫
.
A.
3
I
π
= −
; B.
3
I
π
=
; C.
6
I
π
=
; D.
I
= +∞
.
VD 12. Tính tích phân

Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t

g x dx
∫có cùng tính chất (
v
ớ
i

b

là cận suy rộng).

VD 14. Tích phân suy rộng
1
0
( 1)(2 )
x dx
I
x x x
α
=
+ −
∫

hội tụ khi và chỉ khi:
A.
1
α < −
; B.

í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s

; D.
α ∈
ℝ
.

Chú ý
• Cho
1 2
I I I
= +
với
1 2
, ,
I I I
là các tích phân suy rộng
ta có:

1)
1
I
và
2
I
hội tụ
I
⇒
hội tụ.


Chương

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

2)
1
2
( )
0
I
I


→ −∞


 ≤


0
I
I


→ −∞


 >


phaân ky
ø
hoặc
1
2
( )
0
I
I


→ +∞


 <


phaân ky
ø

α ≤ −
; D.
α ∈
ℝ
.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í

( 1, ; 1, )
i m j n
= =
và
được sắp
thành bảng gồm
m
dòng và
n
cột:


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế






=













 
• Các số
ij
a
được gọi là các phần tử của
A
ở dòng thứ
i

và cột thứ
j

s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
• Khi
1
n
=
, ta gọi
11
1

m
a
A
a
 


A a
=
là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận
(0 )
ij m n
O
×
=
có
tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận
A
được ký hiệu là
,
( )
m n
M
ℝ
, để
cho gọn ta viết là
( )
ij m n
A a
×
=
.



, ta gọi
A
là ma trận vuông cấp
n
.
Ký hiệu là
( )
ij n
A a
=
.
 Đường chéo chứa các phần
tử
11 22
, , ,
nn
a a a
được gọi
là đường chéo chính của
( )
ij n
A a
=
,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.
2 3
5 8
7 4
2




 
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp C1 Cao đẳng 19


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n




 
 Ma trận chéo cấp
n
gồm tất
cả các phần tử trên đường
chéo chính đều bằng 1 được
gọi là ma trận đơn vị cấp
n
.
Ký hiệu là
n
I
.
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 







=

ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh


Ma trận

ma trận
vuông

cấp
n

có
tất cả
các
phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A




=








−


 
 Ma trận vuông cấp
n
có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (
ij ji
a a
=
) được
gọi là ma trận đối xứng.
0
0
3

Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận
( )
ij
A a

=





 
và
1 0 1
2 3
B
u
 
−




=





 
.
Ta có:
0; 1; 2; 2; 3
A B x y z u t
= ⇔ = = − = = =


a) Phép cộng và trừ
hai ma trậnVD 2.

1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
     
−
  
  
  
  
+ =
  
  
  
− − −
  
  
     
;

1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
     
− −
  

A B a b
×
± = ±



Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í

 
 
 
=
 
 
 
− −
 
 
   
.

Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận
1.
A A
− = −
được gọi là ma trận đối của
A
.
Cho ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
và

ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
c) Phép nhân hai ma trận
Trong đó,
(
)
1
1, ; 1,
n
ik ij jk
j
c a b i m k p
=
= = =
∑
.
VD 4. Thực hiện phép nhân
(
)
1
1 2 3 2
5
 

B b
×
=
, ta có:

( ) .
ik m p
AB c
×
=VD 5.
Th
ự
c hi
ệ
n phép nhân
(
)
1 1 0
1 2
1 0 3
 
−






ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
VD 6. Tính
2 0
1 1 1
1 1
2 0 3
1 3
 


 


−







−

, với
,
( )
m n
A M
∈
ℝ
.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n



 
và
1 2 1
0 3 1
2 1 0
B
 
− −







= −








−


 

   
   
   
   
− − − −
   
   
    
.

Chú ý
• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy

n
A I A A A A A
− −
= = =

(lũy thừa ma trận).
VD 9. Cho ma trận
1 1
0 1
A
 
−




=





 
, giá trị của
2010
A
là:
A.
1 2010
0 1

0 1
 
−







−


 
; D.
1 2010
0 1
 
− −







−


 

2 0
1 0
B
 




=





 
, giá trị của
2009
2
( )
I B
−
là:
A.
1 0
1 1
 
−












 
; D.
1 0
1 1
 







− −


 
.

VD 11. Cho
( )
ij
A a

= −
. Phần tử
25
a
của
2
A
là:
A.
25
0
a
=
; B.
25
40
a
= −
; C.
25
40
a
=
; D.
25
1
a
= −
.


( )
ij m n
A a
×
=
.
Khi đó,
( )
T
ji n m
A a
×
=
được gọi là ma trận
chuyển vị
của
A
(nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
VD 13. Cho
1 4
1 2 3
2 5
4 5 6
3 6
T
A A
 


 

Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
VD 14. Cho
1 1
0 1 2
0 2 ,


 


− −


 
.
a) Tính
( )
T
AB
.
b) Tính
T T
B A
và so sánh kết quả với
( )
T
AB
.
Tính chất

1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T

4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận

(Gauss – Jordan)
Cho ma trận
( )
ij m n

0
λ
≠
,
i i
d d
A A
λ
→
′′
→
.
3)
3
( ) :
e
Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
dòng khác,
i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′
→
.
Chú ý
1) Trong thực hành ta thường làm
i i k
d d d

t
t
í
í
nh
nh

VD 1
5
.
Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
2 1 1
1 2 3
3 1 2
A
 
−







= −








 
.
2 2 1
3 3 1
2
3
1 2 3
0 5 7
0 5 7
d d d
d d d
→ −
→ −
 
−







→ −














−


 
3 3 2
2 2
1
5
1 2 3
0 1 7 / 5 .
0 0 0
d d d
d d
B
→ −
→
 
−





ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
1.4. Ma trận bậc thang
• Một dòng của ma trận
có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
•
Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1
dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.

•
Ma trận bậc thang là ma trận

khác

không
cấp
m n

s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

VD 1
6
.
Các ma trận bậc thang:
1 0 2
0 0 3 ,
0 0 0
 










 
1 0 0
0 1 0
.

0 0 1
n
I
 











=







 
,
0 2 7
0 3 4
0 0 5
 

















 
,
1 3 5
0 0 4
2 1 3
 


s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
1.5. Ma trận khả nghịch
Chú ý
Nếu
B
là ma trận nghịch đảo của
A
thì
B
là duy nhất
và
A
cũng là ma trận nghịch đảo của
B
.

Ký hiệu
1
B A
−
=
. Khi đó:
1 1 1 1
; ( ) .
n
A A AA I A A
− − − −
= = =



Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy

B
 
−




=



−


 
là
hai ma trận
nghịch đảo của nhau vì
2
AB BA I
= =
.
Chú ý
1) Nếu ma trận
A
có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
2)
1 1 1
( )

   

VD 1
8
.
Cho hai ma trận:

2 5
1 3
A
 




=





 
,
2 1
3 2
B
 




Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi

sơ cấp trên dòng (tham khảo)
Cho
( )
n
A M
∈

(
)
n
I B
.
Khi đó:
1
A B
−
=
.
VD 19. Tìm nghịch đảo của
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
 
−







−




s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
Giải. Ta có:
(
)
4
1 1 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
A I
 
−





.
0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
d d d
d d d
d d d d
→ −
→ −
→ + −
 
− −







− −




→




−


s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
§2. ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp k
Cho
(
)
( )
ij n
n
A a M
= ∈
ℝ
.
•


bỏ đi dòng thứ
i
và cột thứ
j
được gọi
là ma trận con
của
A
ứng với phần tử
ij
a
.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy





 
có các ma trận con
ứng
với các phần tử
ij
a
là:

11
5 6
8 9
M
 




=





 
,
12


 
,
21
2 3
8 9
M
 




=





 
,
22
1 3
7 9
M
 




=




=





 
,
32
1 3
4 6
M
 




=





 
,
33
1 2

ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

b) Định thức

(
Determinant
)

Định thức của ma trận vuông
( )
n
A M
∈
ℝ
,
ký hiệu
det
A


 
thì
11 22 12 21
det
A a a a a
= −
.
 Nếu
( )
ij n
A a
=
(cấp
3
n
≥
) thì:
11 11 12 12 1 1
det
n n
A a A a A a A
= + + +

trong đó,
( 1) det
i j
ij ij
A M
+

n
t
t
í
í
nh
nh
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

2) Tính
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
.
Chú ý

1)
det 1, det 0
n n
I O

tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

VD 2
.
Tính định thức của các ma trận sau:
3 2
1 4
A
 
−




=






.
Tính định thức của ma trận:
0 0 3 1
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
A
 
−







−




=









t
í
í
nh
nh
2.2. Các tính chất cơ bản của định thức
Cho ma trận vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M
= ∈
ℝ
, ta có các
tính chất cơ bản sau:
VD 4.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1 12
1 1 1 2 1 1
−
− = − = −
−
.
a)
Tính chất
1

(

í
í
nh
nh
b)
Tính chất

2

Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì
định thức đổi dấu.
VD 5.
1 3 2
2 2 1
1 1 1
−
−

1 1 1
2 2 1
1 3 2
−
= − −
1 1 1
2 2 1 .
3 1 2
−
= −

Hệ quả


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
c)
Tính chất
3

Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

H
ệ
qu
ả1) N

l
ệ
v
ớ
i
nhau thì b
ằ
ng 0.
VD 8.
2
3 2
0 1
0 0
0
x
x y
x y
=
;
6 6 9
2 2 3 0
8 3 12
− −
− =
− −
.


Chương
Chương

3 3 3
1 1 1 1 0
;
1 1 1
x x x x x x
x y y x y y x y y
z z z z z z
+ − −
= +
2 2
2 2
2 2
cos 2 3 sin 2 3
1 2 3
sin 5 6 cos 5 6 1 5 6 .
1 8 9
sin 8 9 cos 8 9
x x
x x
x x
+ =

d
)
Tính chất
4

Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần
tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể
tách thành tổng

í
nh
nh

e)
Tính chất
5

Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng
(hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác.

VD 10
.
Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về
dạng bậc thang:
1 2 3
1 2 1
2 3 4
∆ = − −
.
VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính
2 2
2 2
2 2
x
x
x
∆ =
.


)
( )
ij n
n
A a M
= ∈
ℝ
, ta có các
khai triển Laplace của định thức
A
:
a) Khai triển theo dòng thứ i
1 1 2 2
1
det .
n
i i i i in in ij ij
j
A a A a A a A a A
=
= + + + =
∑

Trong đó,
( 1) det( )
i j
ij ij
A M
+
= −

tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
VD 12. Tính định thức
1 0 0 2
2 0 1 2
1 3 2 3
3 0 2 1
bằng hai cách
khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2.VD 1
3
.
Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy
tính
định thức
1 1 1 2
2 1 1 3
1 2 1 2

nh
nh
Các kết quả đặc biệt cần nhớ
1) Dạng tam giác
11 12 1 11
22 2 21 22
11 22
1 2
0 0
0 0
.

0 0
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =
3) Dạng chia khối
det .det
n
A B
A C
O C
=
⋮

tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

VD 1
4
.
Tính định thức:

1 2 3 4
0 2 7 19
det
0 0 3 0
0 0 0 1
A
−
=
−
.

VD 1

 
 
 
 
 
 
 
 
−
 
 
  
.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy

=
  
  
  
  
  
  
  
  
−
  
  
   
VD 18. Phương trình
1 0 0
1 0 0
0
2 2
3 8 2
x
x
x x
x
=
−
có nghiệm
là: A.
1
x
= ±

4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo

VD 1
9
.
Giá trị của tham số

 
−
 
 

  
 

khả nghịch là:

A.
0
1
m
m

=


=


; B.
0
1
m
m


≠

4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
b) Thuật toán tìm
A
–
1

•

(
)
.
T
ij
n
adjA A
 
=
 
 

•
Bước
3
.
Ma trận nghịch đảo của
A
là:
1
1
. .
det
A adjA
A
−
=




Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
 







=










 
.
VD 21. Cho ma trận
1 2 1
0 1 1
1 2 3

det 2 0
A A
= ≠ ⇒
khả nghịch.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í




⇒ = −








−


 
1
1 4 1
1
1 2 1 .
2
1 0 1
A
−
 
−





ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
2.5. Hạng của ma trận

a) Định thức con cấp
k

Cho ma trận
(
)
ij
m n
A a
×
=
. Định thức của ma trận con

cấp

. Ký hiệu là
( )
r A
.


Chương
Chương
4.
4.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í

ng c
ủ
a ma tr
ậ
n

• B
ướ
c 1.
Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang.
•
B
ướ
c 2.
Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính
là hạng của ma trận đã cho.
•

Đặc biệ
t

Nếu
A
là ma vuông cấp
n
thì:
( ) det 0.
r A n A
= ⇔ ≠